高考数学 321精品系列 专题13 复数、推理与证明.doc

20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 1313 复数 推理与证明 学生复数 推理与证明 学生 版 版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 考纲原文 数系的扩充与复数的引入 1 复数的概念 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 了解复数的代 数表示法及其几何意义 2 复数的四则运算 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加 减 运算的几何意义 考纲解读 考纲解读 考查复数的有关概念 纯虚数 模 共轭复数等 考查复数的代数运算 注意复数相等的 考查 对复数的几何意义也要掌握 合情推理与演绎推理一般以填空题考查为主 类比推理多一些 常与其它知识结合 如立 体几何 数列等 证明一般不单独命题 近几年考点分布近几年考点分布 复数问题在高考中年年必有 从近几年的高考试题来看 复数的概念及其代数形式的运算成 为命题的热点 通常分两种题型 选择题和填空题 一是考查复数的概念 如纯虚数 两个复 数相等 二是复数代数形式的加 减 乘 除四则运算等知识 预测下一步的高考 仍会以 考查复数的有关概念 包括实部与虚部 虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点 继续稳定在一道选择题或填空题上 且属于中低档题 推理与证明是数学的基础思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一 般包括合情推理与演绎推理 在解决问题的过程中 合情推理具有猜测结论和发现结论 探索和提供思路的作用 有利于创新意识的培养 证明包括直接证明与间接证明 其中数 学归纳法是将无穷的归纳过程 根据归纳原理转化为有限的特殊 直接验证和演绎推理相 结合 的过程 要很好地掌握其原理并灵活运用 推理与证明问题综合了函数 方程 不 等式 解析几何与立体几何等多个知识点 需要采用多种数学方法才能解决问题 如 函 数与方程思想 化归思想 分类讨论思想等 对学生的知识与能力要求较高 是对学生思 维品质和逻辑推理能力 表述能力的全面考查 可以弥补选择题与填空题等客观题的不足 是提高区分度 增强选拔功能的重要题型 因此在最近几年的高考试题中 推理与证明问 题正在成为一个热点题型 并且经常作为压轴题出现 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 复数的基本运算 复数的基本运算 2 2 复数的乘法与除法 复数的乘法与除法 复数的乘法与多项式乘法是类似的 注意有一点不同即必须在所得结果中把 换成一 1 再把实部 虚部分别合并 而不必去记公式 复数的乘法不仅满足交换律与结合律 实数集 r 中整数指数幂的运算律 在复数集 c 中仍 然成立 即对任何 及 有 例2 已知复数z的实部为 1 虚部为2 则 5i z a 2 i b 2 i c 2i d 2i 解析解析 由题意知 12zi 则 55 1 2 510 2 12 1 2 5 iiii i zii 所以选 a 答案答案 a a 名名师点睛师点睛 复数的最本质的运算方式是代数形式的运算 所以代数形式运算是试题考 查的重点 其试题难度一般 试题活而不难 主要考查学生灵活运用知识的能力 备考提示备考提示 本题主要考查了复数的基本运算 复数的四则运算是复数的一个重点考查 热点 也是掌握复数的基础 考点二考点二 考查考查类比推理类比推理 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 一 选择题 1 2012 浙江文理 已知 i 是虚数单位 则 3 1 i i a 1 2ib 2 ic 2 id 1 2i 解析 3 1 i i 3 1 24 12 1 1 2 iii i ii 答案 d 命题意图 本题主要考查了复数的四则运算法则 通过利用分母实数化运算求解 2 2012 天津文 i是虚数单位 复数 53 4 i i a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 解析 复数i i ii ii i i 1 17 1717 4 4 4 35 4 35 选 c 3 2012 天津理 i是虚数单位 复数 7 3 i z i a 2i b 2i c 2i d 2i 5 2012 上海理 若i21 是关于x的实系数方程0 2 cbxx的一个复数根 则 a 3 2 cb b 3 2 cb c 1 2 cb d 1 2 cb 解析 实系数方程虚根成对 所以i21 也是一根 所以 b 2 c 1 2 3 选 b 6 2012 陕西文理 设 a br i是虚数单位 则 0ab 是 复数 b a i 为纯虚数 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 0ab 00ab 或 复数 b a i 为纯虚数 0 0ab 故选 b 7 2012 山东文理 若复数z满足 2 117i izi 为虚数单位 则 z 为 a 3 5ib 3 5ic 3 5id 3 5i 解析 i iii i i z53 5 1114 722 5 2 711 2 711 答案选 a 另解 设 rbabiaz 则iiabbaibia711 2 2 2 根据复数相等可知72 112 abba 解得5 3 ba 于是iz53 8 2012 辽宁文 复数 1 1 i a 11 22 i b 11 22 i c 1 i d 1 i 解析 1111 1 1 1 222 iii iii 故选 a 点评 本题主要考查复数代数形式的运算 属于容易题 复数的运算要做到细心准确 9 2012 课标文 复数z 3 2 i i 的共轭复数是 a 2i b 2i c 1 i d 1 i 命题意图 本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念 是简单题 解析 z 3 2 i i 1 i z的共轭复数为1 i 故选 d 10 2012 江西文 若复数 z 1 i i 为虚数单位 z 是 z 的共轭复数 则 2 z z 的虚部 为 a 0b 1 c 1d 2 12 2012 广东文 设i为虚数单位 则复数 34i i a 43i b 43i c 43i d 43i 解析 34i 43i i 答案 d 13 2012 福建文 复数 2 2 i 等于 a 34i b 54i c 32i d 52i 答案 a 解析 2 2 4 1434iii 考点定位 考查复数的代数运算 是常考题 14 2012 北京文 在复平面内 复数 10 3 i i 对应的点坐标为 a 1 3 b 3 1 c 1 3 d 3 1 答案 a 解析 1010 3 1 3 3 3 3 iii i iii 实部是 1 虚部是 3 对应复平面上的点为 1 3 故选 a 考点定位 本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面 实部虚部的概念 15 2012 安徽文 复数z满足 2zi ii 则z a 1 i b 1 i c i d i 解析 2 21 i zi iizii i 选b 16 2012 新课标理 下面是关于复数 2 1 z i 的四个命题 其中的真命题为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz的共轭复数为1 i 4 pz的虚部为1 a 23 ppb 12 p pc pp d pp 点评 突出考查知识点1 2 i 不需采用分母实数化等常规方法 分子直接展开就可以 18 2012 辽宁理 复数 2 2 i i a 34 55 i b 34 55 i c 4 1 5 i d 3 1 5 i 解析 2 2 2 3434 2 2 2 555 iiii i iii 故选 a 点评 本题主要考查复数代数形式的运算 属于容易题 复数的运算要做到细心准确 19 2012 湖北理 方程 2 6130 xx 的一个根是 a 32i b 32i c 23i d 23i 解析 根据复数求根公式 2 6613 4 x32 2 i 所以方程的一个根为32i 答案 a 20 2012 广东理 设i为虚数单位 则复数 56i i a 65i b 65i c 65i d 65i 解析 56i 65i i 答案 d 21 2012 福建理 若复数z满足1zii 则z等于 a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 解析 1 1 i zi i 故选 a 考点定位 本题主要考查复数的代数运算 主要掌握复数四则运算法则 22 2012 大纲理 复数 1 3 1 i i a 2i b 2i c 12i d 1 2i 命题意图 本试题主要考查了复数的四则运算法则 通过利用除法运算来求解 解析 因为 1 3 1 3 1 24 12 1 1 1 2 iiii i iii 答案 c 23 2012 北京理 设 a br 0a 是 复数abi 是纯虚数 的 a 充分而不必要 b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分又不必要 条件 解析 当0a 时 如果0b 此时0abi 是实数 不是纯虚数 因此不是充分条件 而 如果abi 已经是纯虚数 由定义实部为零 虚部不为零可以得到0a 因此是必要条件 故 选 b 考点定位 本小题主要考查的是充分必要条件 但问题中汲到了复数问题 复数部分本题 所考查的是纯虚数的定义 24 2012 安徽理 复数z满足 2 5zii 则z a 22i b 22i c i d i 解析 55 2 2 522 2 2 2 i ziizizii iii 选d 考点定位 考查复数运算 26 2012 年高考 上海理 设 25 1sin n nn a nn aaas 21 在 10021 sss 中 正数的个数是 a 25 b 50 c 75 d 100 解析 对于 1 k 25 ak 0 唯a25 0 所以sk 1 k 25 都为正数 27 2012 年高考 江西文 观察下列事实 x y 1 的不同整数解 x y 的个数为 4 x y 2 的不同整数解 x y 的个数为 8 x y 3 的不同整数解 x y 的个数为 12 则 x y 20 的不同整数解 x y 的个数为 a 76b 80c 86d 92 解析 本题主要为数列的应用题 观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4 公 差为 4 的等差数列 则所求为第 20 项 可计算得结果 答案 b 28 2012 江西理 观察下列各式 a b 1 a 2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 a 28 b 76 c 123 d 199 解析 本题考查归纳推理的思想方法 观察各等式的右边 它们分别为 1 3 4 7 11 发 现从第 3 项开始 每一项就是它的前两项之和 故等式的右边依次为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 故 1010 123 ab 选 c 点评 归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题 体现考纲中要求了解归纳 推理 来年需要注意类比推理等合情推理 二 填空题 1 2012 上海文 计算 i i 1 3 i为虚数单位 解析 i i ii ii i i 21 2 413 1 1 1 3 1 3 2 2012 湖北文 若 3 1 bi abi i a b为实数 i为虚数单位 则ab 解析 因为 3 1 bi abi i 所以 31biabiiabba i 又因为 a b都为实 数 故由复数的相等的充要条件得 3 ab bab 解得 0 3 a b 所以3ab 点评 本题考查复数的相等即相关运算 本题若首先对左边的分母进行复数有理化 也可 以求解 但较繁琐一些 来年需注意复数的几何意义 基本概念 共轭复数 基本运算等的考 查 3 2012 重庆理 若 12ii a bi 其中 a br i 为虚数单位 则 ab 解析 1 2 1 31 34iiiabiabab 考点定位 本题主要考查复数的乘法运算与复数相等的充要条件 此题属于基础题 只要 认真计算即可得分 4 2012 上海理 计算 i i 1 3 i为虚数单位 7 2012 江苏 设ab r 117i i 12i ab i 为虚数单位 则ab 的值为 答案 8 考点 复数的运算和复数的概念 解析 由 117i i 12i ab 得 117i 12i117i11 15i14 i 53i 12i12i 12i14 ab 所以 5 3ab 8ab 8 2012 湖南理 已知复数 2 3 zi i 为虚数单位 则 z 解析 2 3 zi 2 9686iii 22 8610z 点评 本题考查复数的运算 复数的模 把复数化成标准的 abi a br 形式 利用 22 zab 求得 9 2012 陕西文理 观察下列不等式 2 13 1 22 23 115 1 233 222 1117 1 2344 照此规律 第五个不等式为 法一 由上面多组数据研究发现 2n 1 位回文数和 2n 2 位回文数的个数相同 所以可以算出 2n 2 位回文数的个数 2n 2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况 第一位 不能为 0 有 9 种情况 后面 n 项每项有 10 种情况 所以个数为 n 109 法二 可以看出 2 位数有 9 个回文数 3 位数 90 个回文数 计算四位数的回文数是可以看 出在 2 位数的中间添加成对的 00 11 22 99 因此四位数的回文数有 90 个按此规律 推导 而当奇数位时 可以看成在偶数位的最中间添加 0 9 这十个数 因此 则答案为 n 109 11 2012 湖北文 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表 示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数 1 3 6 10 记为数列 n a 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列 n b 可以推测 2012 b是数列 n a中的第 项 21k b 用k表示 解析 由以上规律可知三角形数 1 3 6 10 的一个通项公式为 1 2 n n n a 写出其若 干项有 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 110 发现其中能被 5 整除的为 10 15 45 55 105 110 故 142539410514615 ba ba ba bababa 从而由上述规 律可猜想 25 5 51 2 kk kk ba k为正整数 2151 51 51 1 5 51 22 kk kkkk ba 故 20122 10065 10065030 baaa 即 2012 b是数列 n a中的第 5030 项 点评 本题考查归纳推理 猜想的能力 归纳推理题型重在猜想 不一定要证明 但猜想需 要有一定的经验与能力 不能凭空猜想 来年需注意类比推理以及创新性问题的考查 解析 题目要求联通所有的城市 且费用最小 则首先连接费用最小的城市 连接方法 如下 连接gf 此时联通两个城市gf 费用为1 再连接dg 此时联通三个城市dgf 费用为321 再连接cg 此时联通四个城市cdgf 费用为6321 再连接af 此时联通五个城市acdgf 费用为93321 再连接cb 此时联通六个城市bacdgf 费用为1453321 再连接ae 此时联通七个城市ebacdgf 费用为16253321 所以铺设道路的最小总费用为 16 本题考查的知识点为演绎推理 理解题意 直接计算最 小值即可 13 2012 湖南理 设 n 2n n n n 2 将 n 个数 x1 x2 xn依次放入编号为 1 2 n 的 n 个位置 得到排列 p0 x1x2 xn 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数 取出 并按原顺序依次放入对应的前 2 n 和后 2 n 个位置 得到排列 p1 x1x3 xn 1x2x4 xn 将此操作称为 c 变换 将 p1分成两段 每段 2 n 个数 并对每段作 c变换 得到 2 p 当 2 i n 2 时 将 pi分成 2i段 每段 2i n 个数 并对每段 c 变换 得到 pi 1 例如 当 n 8 时 p2 x1x5x3x7x2x6x4x8 此时 x7位于 p2中的第 4 个位置 1 当 n 16 时 x7位于 p2中的 第 个位置 2 当 n 2n n 8 时 x173位于 p4中的第 个位置 14 2012 湖南文 对于nn 将 n 表示为 110 110 2222 kk kk naaaa 当 ik 时1 i a 当01ik 时 i a为 0 或 1 定义 n b如下 在n的上述表示中 当 01 a a a2 ak中等于 1 的个数为奇数时 bn 1 否则 bn 0 1 b2 b4 b6 b8 2 记 cm为数列 bn 中第 m 个为 0 的项与第 m 1 个为 0 的项之间的项数 则 cm的最大值是 答案 1 3 2 2 解析 1 观察知 0 001 12 1 1aab 10 102 21 20 2 1 0 1aab 一次类推 10 3 31 21 2 0b 210 4 41 20 20 2 1b 210 5 51 20 21 2 0b 210 61 21 20 2 6 0b 78 1 1bb b2 b4 b6 b8 2 由 1 知 cm的最大值为 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 福建文 2 i是虚数单位 1 i3等于 a i b i c 1 i d 1 i 解析 因为 3 11ii 故选 d 2 四川理 2 复数 1 i i 4 辽宁文 2 i为虚数单位 753 1111 iiii a 0 b 2i c i 2 d 4i 解析 357 1111 0iiii iiii 5 北京文 理 2 复数 i2 12i a ib i c 43 i 55 d 43 i 55 解析 2 2 i2 i2 1 2i 2242 1 24 12i 12i 1 2i 1 41 4 1 iiiii i i 选 a 6 课标卷文 2 复数 i i 21 5 a i 2 b i 21 c i 2 d i 21 解析 因为 2 2 55 12 510510 2 1 2 1 2 12 1 45 iiiiii i iiii 所以选 c 点评 本题考查复数的概念和运算 注意除法运算的关键是分母实数化 7 天津文 1 i是虚数单位 复数 3i 1 i 12i 24i 1 2i 2i 解解 3i1 i3i24i 12i 1 i1 i1 i2 故选 8 天津理 1 i是虚数单位 复数 1 3i 12i 1 i 55i 55i 1 i 解解 1 3i1 2i1 3i55i 1 i 12i12i1 2i5 故选 9 江西理 1 设 i i z 21 则复数 z a i 2 b i 2 c i 2 d i 2 11 广东理 1 设复数 z 满足 1 i z 2 其中 i 为虚数单位 则 z a 1 i b 1 i c 2 2i d 2 2i 1 1 1 12 1 2 z bi ii i i 故选解析 12 课标卷理 1 复数 2 1 2 i i 的共轭复数是 c a 3 5 i b 3 5 i c i d i 解析 因为 i i 21 2 2 2 2 12 242252 1 2 12 1 45 iiiiii i iii 所以 共轭复数为 i 选 c 点评 本题考查复数的概念和运算 先化简后写出共轭复数即可 13 山东文 理 2 复数 z 2 2 i i i为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 解析 因为 2 2 2 34 255 iii z i 故复数 z 对应点在第四象限 选 d 14 全国理 1 复数1zi z为z的共轭复数 则1zzz a 2i b i c i d 2i 15 命题意图 本小题主要考查复数的运算及共轭复数的概念 解析 1zi 则1 1 1 1 12 1 1zzziiiii 16 浙江文 2 若复数1zi i为虚数单位 则 1 iz a 1 3i b 33i c 3i d 3 解析 22 1 1 1 zzzzii 2 112iii 11211 3iii 故选 a 17 浙江理 2 把复数z的共轭复数记作z 若1zi i为虚数单位 则 1 z z a 3i b 3i c 1 3i d 3 19 湖南文 理 1 若 a br i 为虚数单位 且 ai ibi 则 1 1ab 1 1ab 1 1ab 1 1ab 解析 因 1ai iaibi 根据复数相等的条件可知1 1ab 答案 c 20 湖北理 1 i为虚数单位 则 2011 1 1 i i a i b 1 c i d 1 答案 a 解析 解析 因为 i i i i i 2 2 1 1 1 1 所以iiii i i 3350242011 2011 1 1 故选 a 21 福建理 1 1 i是虚数单位 若集合 1 0 1 s 则 a is b 2 is c 3 is d 2 s i 解析 2 1is 故选 b 22 安徽文 理 1 设 i是虚数单位 复数 ai i 为纯虚数 则实数a为 a 2 b 2 c d 25 上海理 19 本大题满分 12 分 已知复数 1 z满足 1 2 1 1zii i为虚数单 位 复数 2 z的虚部为 2 且 12 zz 是实数 求 2 z 解 1 2 1 1zii 1 2zi 4 分 设 2 2 zai ar 则 1 2 2 2 22 4 z zi aiaa i 12 分 1 2 z zr 2 42zi 12 分 26 陕西理 13 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 答案 2 1 2 32 21 nnnnn 解析 第n个等式是首项为n 公差 1 项数为21n 的等差数列 即 1 2 32 nnnn 2 21 21 1 21 1 21 2 nn nnn 27 江西文 6 观察下列各式 则 234 749 7343 72401 则 2011 7的末两位 数字为 a 01 b 43 c 07 d 49 29 湖南文 16 给定 kn 设函数 fnn 满足 对于任意大于k的正整数n f nnk 1 设1k 则其中一个函数f在1n 处的函数值为 2 设4k 且当4n 时 2 3f n 则不同的函数f的个数为 答案 1 a a为正整数 2 16 解析 1 由题可知 f nn 而1k 时 1n 则 1f nnn 故只须 1 fn 故 1 fa a 为正整数 2 由题可知4k 4n 则 4f nnn 而4n 时 2 3f n 即 2 3 f n 即 1 2 3 4 n 2 3 f n 由乘法原理可知 不同的函数f的个数 为 4 216 30 四川文 16 函数 f x的定义域为 a 若 12 x x a 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x为单函数 例如 21f xxxr 是单函数 下列命题 函数 2 f xx xr 是单函数 函数 2 x f xxr 是单函数 若 f x为单函数 12 x xa 且 12 xx 则 12 f xf x 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 写出所有真命题 的编号 31 四川理 16 函数fx 的定义域为 a 若 1212 xxafx fx 且 时总有 12 x xfx 则称 为单函数 例如 函数fx 2x 1 xr 是单函数 下列命题 函数fx 2 x x r 是单函数 若fx 为单函数 121212 xxaxxfxfx 且 则 若 f a b 为单函数 则对于任意 b b 它至多有一个原象 函数 f x 在某区间上具有单调性 则 f x 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 解析 2 2 ff 但22 不正确 与 若 12 x x a 且 12 f xf x 时总有 12 xx 等价的命题是 若 12 x x a 且 12 xx 时总有 12 f xf x 故 正确 函数在某个区间上具有单调性 但 f x 在整个定义域不 一定是单函数 故 错 答案 32 湖南理 16 对于 nn 将n表示为 01 1 2 2 1 10 22222 kk kkk aaaaan 当0 i时 1 i a 当 ki 1时 i a为0或1 记 ni为上述表示中 i a为0的个数 例如 0 211 012 2020214 故 01 i 24 i 则 1 12i 2 127 1 2 n ni 33 山东理 15 设函数 0 2 x f xx x 观察 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推 理可得 当nn 且2n 时 1 nn fxf fx 解析 观察知 四个等式等号右边的分母为2 34 78 1516xxxx 即 2 1 2 4 1 4 8 1 8 16 1 16xxxx 所以归纳出分母为 1 nn fxf fx 的分母为 nn x212 故当nn 且2n 时 1 nn fxf fx nn x x 212 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 2010 湖南文数 湖南文数 1 复数 2 1i 等于 a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 2 2010 浙江理数 浙江理数 5 对任意复数 i rzxyx y i为虚数单位 则下列结论正 确的是 a 2zzy b 222 zxy c 2zzx d zxy 5 5 20102010 陕西文数 陕西文数 2 复数z 1 i i 在复平面上对应的点位于 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 解析 本题考查复数的运算及几何意义 1 i i i ii 2 1 2 1 2 1 所以点 2 1 2 1 位于第一象限 6 2010 辽宁理数 辽宁理数 2 设 a b 为实数 若复数1 1 2i i abi 则 a 31 22 ab b 3 1ab c 13 22 ab d 1 3ab 命题立意 本题考查了复数相等的概念及有关运算 考查了同学们的计算能力 解析 由 12 1 i i abi 可得12 iabab i 所以 1 2 ab ab 解得 3 2 a 1 2 b 故选 a 7 7 20102010 江西理数 江西理数 1 已知 x i 1 i y 则实数 x y 分别为 a x 1 y 1 b x 1 y 2 c x 1 y 1 d x 1 y 2 答案 d 解析 考查复数的乘法运算 可采用展开计算的方法 得 2 1 xix iy 没有虚 部 x 1 y 2 8 2010 安徽文数 安徽文数 2 已知 2 1i 则 i 13i a 3i b 3i c 3i d 3i 解析 13 3iii 选 b 方法总结 直接乘开 用 2 1i 代换即可 9 2010 浙江文数 浙江文数 3 设 i 为虚数单位 则 5 1 i i a 2 3i b 2 3i c 2 3i d 2 3i 12 2010 四川理数 四川理数 1 i 是虚数单位 计算 i i2 i3 a 1 b 1 c i d i 解析 由复数性质知 i2 1 故 i i2 i3 i 1 i 1 答案 a 1313 20102010 天津文数 天津文数 1 i 是虚数单位 复数 3 1 i i a 1 2i b 2 4i c 1 2i d 2 i 答案 a 解析 本题主要考查复数代数形式的基本运算 属于容易题 进行复数的除法的运算需 要份子 分母同时乘以分母的共轭复数 同时将 i2改为 1 331 24 12 1 1 1 2 iiii i iii 温馨提示 近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题 运算时要细心 不要 失分哦 1414 20102010 天津理数 天津理数 1 i 是虚数单位 复数 1 3 12 i i a 1 i b 5 5i c 5 5i d 1 i 解析 本题主要考查复数代数形式的基本运算 属于容易题 进行复数的除法的运算需 要份子 分母同时乘以分母的共轭复数 同时将 i2改为 1 1 3 12 i i 55 1 12 1 2 5 i i ii 1 3i 1 2i 温馨提示 近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题 运算时要细心 不要 失分哦 15 2010 广东理数 广东理数 2 若复数 z1 1 i z2 3 i 则 z1 z2 a 4 2 i b 2 i c 2 2 i d 3 2 a 12 1 3 1 3 1 1 3 1 42zziiii 1616 20102010 福建文数 福建文数 i是虚数单位 4 1 i 1 i 等于 a i b i c 1 d 1 解析 4 1 i 1 i 2 44 1 i i 1 2 故选 c 命题意图 本题考查复数的基本运算 考查同学们的计算能力 1717 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 1 复数 32 23 i i a i b i c 12 13i d 12 13i 1818 1818 20102010 山东理数山东理数 2 已知 2 ai bi a b i 2ai bi i a b r 其中 i 为虚 数单位 则 a b a 1 b 1 c 2 d 3 答案 b 解析 由 a 2i b i i 得a 2i bi 1 所以由复数相等的意义知a 1 b 2 所以a b 1 故选 b 命题意图 本题考查复数相等的意义 复数的基本运算 属保分题 19 2010 安徽理 1 i是虚数单位 33 i i a 13 412 i b 13 412 i c 13 26 i d 13 26 i 解析 33 3313 391241233 iiii i i 选 b 规律总结 33 i i 为分式形式的复数问题 化 简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数 3i 然后利用复数的代数运算 结合 2 1i 得 结论 20 2010 湖北理数 湖北理数 1 若 i 为虚数单位 图中复 平面内点 z 表示复数 z 则表示复数 1 z i 的点是 a e b f c g d h 答案 d 解析 观察图形可知3zi 则 3 2 11 zi i ii 即对应点 h 2 1 故 d 正确 两年模拟两年模拟 20122012 年模拟试题年模拟试题 四川省南充 2012 届高三月考 已知i是虚数单位 且yiix 1 则实数x y分 别为 a 1x 1y b 1x 2y c 1x 1y d 1x 2y 答案 d 四川省成都市 2012 届高三 9 月月考 复数 1 i i a 2i b 0 c 1 2 i d 2i 答案 b 四川省德阳市 2012 届第一次诊断 已知复数 1212 2 1 zi zizzz 则在复平面 上对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 d 陕西省长安 2012 届第一次考试理已知 2 rbaib i ia 其中i为虚数单位 则 ba a 1 b 1c 2 d 3 答案 b 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理 复数 2 2 i i 表示复平面内的点位于 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题 若a b r i 为虚数单位 且 a i i b i 则a b 答案 1 1ab 江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试 若复数z满足 3 i zi i 则 z 答案 17 江西省赣州市 2012 届上学期高三期末 3 2i 1 i a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 答案 b 河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测 如果复数 i bi 21 2 其中 i 为虚数单位 b 为 实数 的实部和虚部互为相反数 那么 b 等于 a 3 2 b 3 2 c 2 d 2 答案 a 哈尔滨市六中 2012 学年度上学期期末 已知a是实数 i ia 1 是纯虚数 则a a 1 b 1 c 2 d 2 答案 a 安师大附中 2012 届高三第五次模拟 复数 3 1 i i 等于 a i 21 b 1 2i c i 2 d i 2 答案 c 广东省江门市 2012 年普通高中高三调研测试 复数 i i z 2 2 i是虚数单位 的虚部是 a i 5 4 b i 5 4 c 5 4 d 5 4 答案 d 辽宁省沈阳四校协作体 2012 届高三上学期 12 月月考 复数 i i z 1 31 的共轭复数是 a i 42 b i 42 c i 21 d i 21 黑龙江省绥棱一中 2012 届高三期末 若复数 3 12 ai ar i i是虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值是 a 2 b 4 c 6 d 6 答案 d 西安市第一中学 2012 学年度第一学期期中 把复数z的共轭复数记作z 若1zi i为虚数单位 则 1 z z a 3i b 3i c 1 3i d 3 答案 a 北京市西城区 2012 学年度第一学期期末 复数 i 1 i a 1i 22 b 1i 22 c 1i 22 d 1i 22 答案 a 福建省南安一中 2012 届高三上期末 设iiz 1 是虚数单位 则 z z 2 2 答案 1 浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考 复数 i i z 2 3 的模是 答案 2 上海市南汇中学 2012 届高三第一次考试 月考 1 1 ii 表示为 abi a brab 则 答案 2 四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考 已知i为虚数单位 且复数 22 1 iimim 为纯虚数 则实数m的值是 a 0 或 1 b 1 c 0 d 1 上海市南汇中学 2012 届高三第一次考试 月考 本题满分 12 分 本题有 2 小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 已知关于 t 的方程 2 20tta 一个根为13 i ar 1 求方程的另一个根及实数 a 的值 2 若 2 36x 0 a xmm x 在上恒成立 试求实数 m 的取值范围 答案 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 已知数列 2nnnan 把数列 n a的各项排列成如图所示的三角形数阵 记 tsm表示该数阵中第s行的第t个数 则 数阵中的2012对应于 a 16 45 mb 26 45 mc 16 46 md 26 46 m 答案 a 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 对于任意实数yx 定义运算 cxybyaxyx 其中cba 为常数 等号右边的运算是通常意义的加 乘运算 现 已知421 632 且有一个非零实数m 使得对任意实数x 都有xmx 则 m 答案 5 四川省绵阳 2012 届高三九月 若 xf是定义在r上的函数 对任意的实数x 都有 4 4 xfxf和2 2 xfxf且4 1 f 则 2009 f的值是 a 2009 b 2010 c 2011 d 2012 广东省 2012 学年度第一学期期末 规定符号 表示一种两个正实数之间的运算 即 a babab 则函数 1f xx 的值域是 答案 1 广东省 2012 学年度第一学期期末 观察下列等式 212 1 1xxxx 22234 1 1232xxxxxx 2323456 1 1 36763xxxxxxxx 242345678 1 1410161916104xxxxxxxxxx 由以上等式推测 对于nn 若 222 0122 1 nn n xxaa xa xa x 则 2 a 答案 1 2 n n 广东省江门市 2012 年普通高中高三调研测试 定义ba cb dc ad 的 运算结果分别对应下图中的 1 2 3 4 那么下图中的 m n 所对应的运算结 果可能是 a db da b db ca c cb da d dc da 答案 b 山东聊城市五校 2012 届高三上学期期末联考 某个命题与正整数有关 若当 nkkn 时该命题成立 那么可推得当 n1 k时该命题也成立 现已知当 4n 时该命题不成立 那么可推得 a 当5n 时 该命题不成立 b 当5n 时 该命题成立 c 当3n 时 该命题成立 d 当3n 时 该命题不成立 北京市朝阳区 2012 届高三上学期期末考试 已知两个正数 a b 可按规则 cabab 扩充为一个新数c 在 a b c三个数中取两个较大的数 按上述规则扩充得到 一个新数 依次下去 将每扩充一次得到一个新数称为一次操作 1 若1 3ab 按上述规则操作三次 扩充所得的数是 2 若0pq 经过 6 次操作后扩充所得的数为 1 1 1 mn qp m n为正整数 则 m n的值分别为 答案 1 255 2 8 13 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理 我们把形如 x yf x 的函数称为幂指函数 幂指函数在求导时 可以利用对法数 在函数解析式两边求对数得 lnln ln x yf xxf x 两边对 x 求导数 得 ln yfx xf xx yf x 于是 ln x fx yf xxf xx f x 运用此 方法可以求得函数 0 x yxx 在 1 1 处的切线方程是 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理 设函数 0 2 x x x xf 观察 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且 2n 时 1 nn fxf fx 答案 nn x x 2 12 山西省太原五中 2012 届高三 9 月月考理 用数学归纳法证明 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 时 由kn 的假设证明 1 kn时 如果从等式左边证明右边 则必须证得右边为 a 12 1 2 1 1 1 kkk b 22 1 12 1 2 1 1 1 kkkk c 12 1 2 1 2 1 kkk d 22 1 12 1 2 1 kkk 答案 d 山西省太原五中 2012 届高三 9 月月考理 直线 3x 4y 5 0 经过变换 yy xx 2 3 后 坐标没 变化的点为 安徽省望江县 2012 届高三第三次月考理 已知等差数列 n a中 有 1112201230 1030 aaaaaa 则在等比数列 n b中 会有类似的结论 答案 10 30 11 12201 230 b bbbbb 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理 设 sin x f x x 则满足 666 nn ff 的最小正整数n是 a 7 b 8 c 9 d 10 答案 c 解析 要使 1 sin sinsin 66 66 1666 666 6 nn n nn ff nnn 成立 只 要比较函数sin 6 yx 上的整点与原点连线的斜率即可 函数sin 6 yx 上的横坐标为 正数的整点分别为 1331133 1 2 3 1 4 5 6 0 7 8 9 1 10 2222222 可得 3 0 1 013 2 90910020 所以最小正整数9 n 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理 观察下列等式 332333233332 12 12 123 123 1234 1234 根据以上规律 33333333 12345678 结果用具体数字作答 江西省赣州市 2012 届上学期高三期末 已知 223344 22 33 44 33881515 若66 aa tt a t均为实数 类比以上等式可推测 a t的值 则at 答案 41 辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考 如图2所示的三角形数阵叫 莱布尼 兹调和三角形 它们是由整数的倒数组成的 第n行有n个数且两端的数均为 1 n 2n 每个数是它下一行左右相邻两数的和 如1 11 122 111 236 111 3412 则第 10行第3个数 从左往右数 为 答案 360 1 湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试 设函数 123 1 lg xxxxx mm a f x m 其中 ar m 是给定的正整数 且2m 如果不等式 1 lgf xxm 在区间 1 上有解 则实数a的取值范围是 江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题 已知实数x y满足 32 2 14 23 xx yy 则xy的取值范围是 答案 2 1 3 江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题 已知 是正实数 设 cos 是奇函数 xxfs 若对每个实数a s 1 aa的元素不 超过 个 且存在实数a使 s 1 aa含有 个元素 则 的取值范围是 答案 2 江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试 根据下面一组等式 1 2 3 4 5 6 1 235 45615 7891034 11 1213141565 161718192021111 s s s s s s 可得 13521n ssss 答案 4 n 江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试 设函数 32 2lnf xxexmxx 记 f x g x x 若函数 g x至少存在一个零点 则实数m的取值范围是 答案 c 四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考 若三个连续的两位数满足下列条件 它们的和仍为两位数 它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大 则称这样的三个数为 三顶数 则这样的 三顶数 的组数有 组 a 9 b 10 c 11 d 12 答案 c 20112011 年模拟试题年模拟试题 一 选择题一 选择题 1 20112011 巢湖一检 巢湖一检 复数 12 i i i为虚数单位 的虚部是 d a 1 5 i b 1 5 c 1 5 i d 1 5 2 2011 2011 温州十校高三期末 温州十校高三期末 如果mi i 1 1 2 rm i表示虚数单位 那么 m b a 1 b 1 c 2 d 0 3 广东省深圳市 广东省深圳市 20112011 年年 3 3 月高三第一次调研理科月高三第一次调研理科 已知 a br 若 3 1 abiii 其中i为虚数单位 则 a 1 1ab b 1 1ab c 1 1ab d 1 1ab 4 c 解析 1 1 1 1 abiiii ab 5 广东省深圳市 广东省深圳市 20112011 年年 3 3 月高三第一次调研文科 月高三第一次调研文科 复数34i i 其中i为虚数单位 在复平面上对应的点位于 a 第一象限b 第二象限 c 第三象限d 第四象限 b 解析 3443 i ii 因此在复平面上对应的点位于第二象限 6 2011 2011 承德期末承德期末 复数riiaz 43 则实数a的值是 b a 4 3 b 4 3 c 3 4 d 3 4 10 广东省江门市广东省江门市 20112011 年高考一模文科年高考一模文科 在复平面内 点a b对应的复数分别是 i 23 i 41 则线段ab的中点对应的复数是 c a i 22 b i 64 c i 1 d i 32 11 广东省江门市广东省江门市 20112011 年高考一模理科年高考一模理科 已知集合 是虚数单位 1 2 iraiaaxxa 若ra 则 a c a 1 b 1 c 1 d 0 12 20112011 杭州质检 杭州质检 设 z 1 i i 是虚数单位 则 2 2 z z d a 1 i b 1 i c 1