2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷含解析）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理第I卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( )A B C D 【答案】C【解析】试题分析：由已知得，故，故选C考点：1、复数的概念；2、集合的运算2下列函数为奇函数的是( )A B C D 【答案】D考点：函数的奇偶性3若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得，即，解得，故选B考点：双曲线的标准方程和定义4为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入 （万元）8.28.610.011.311.9支出 （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A11.4万元 B11.8万元 C12.0万元 D12.2万元【答案】B考点：线性回归方程5若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A考点：线性规划6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A2 B1 C0 D 【答案】C【解析】试题分析：程序在执行过程中的值依次为：；，程序结束，输出，故选C考点：程序框图7若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系8若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析：由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以，选D考点：等差中项和等比中项9已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式10若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C考点：函数与导数第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11 的展开式中，的系数等于 （用数字作答）【答案】【解析】试题分析： 的展开式中项为，所以的系数等于考点：二项式定理12若锐角的面积为 ，且 ，则 等于_【答案】【解析】试题分析：由已知得的面积为，所以，所以由余弦定理得，考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理13如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为所以此点取自阴影部分的概率等于考点：几何概型14若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 【答案】考点：分段函数求值域15一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算 定义为： 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 【答案】考点：推理证明和新定义三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望【答案】()；()分布列见解析，期望为【解析】试题分析：()首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为，事件包含的基本事件数为，代入古典概型的概率计算公式求解；()列出随机变量的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可试题解析：（）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则（）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又所以X的分布列为所以考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望17如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.()求证：平面 ； ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值【答案】()详见解析；() 试题解析：解法一：（）如图，取的中点，连接，又G是BE的中点，又F是CD中点，由四边形ABCD是矩形得，所以从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二：()如图，取中点，连接，又是的中点，可知，又面，面，所以平面在矩形ABCD中，由，分别是，的中点得又面，面，所以面又因为，面，面，所以面平面，因为面，所以平面（）同解法一考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角18.已知椭圆E：过点，且离心率为()求椭圆E的方程； ()设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】()；() G在以AB为直径的圆外在圆上试题解析：解法一：()由已知得解得所以椭圆E的方程为故所以，故G在以AB为直径的圆外解法二：()同解法一.()设点，则由所以从而 所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系19已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.()求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于的方程在内有两个不同的解 （1)求实数m的取值范围； （2)证明：【答案】() ，；()（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：()纵向伸缩或平移： 或；横向伸缩或平移：（纵坐标不变，横坐标变为原来的倍），(时，向左平移个单位；时，向右平移个单位)；() （1)由()得，则，利用辅助角公式变形为（其中），方程在内有两个不同的解，等价于直线和函数有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得和，进而利用诱导公式结合已知条件求解试题解析：解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为(2)1) （其中）依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.2)因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时, 所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时, 所以于是考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式20已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有【答案】()详见解析；()详见解析；() 【解析】试题分析：()构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可；()构造函数即，求导得，利用导数研究函数的形状和最值，证明当时，存在，使得即可；()由()知，当时，对于故，则不等式变形为，构造函数，只需说明，易发现函数在递增，而，故不存在；当时，由()知，存在,使得对任意的任意的恒有，此时不等式变形为，构造，易发现函数在递增，而，不满足题意；当时，代入证明即可试题解析：解法一：(1)令则有当 ,所以在上单调递减；故当时，即当时，(2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.当时，令得取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.综上，当时，总存在,使得对任意的恒有(3)当时，由（1）知，对于故，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）当时，由（1）知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.当时，取由（2）知存在,使得.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意综上，.考点：导数的综合应用21本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵()求A的逆矩阵；()求矩阵C，使得AC=B.【答案】()； ()【解析】试题分析：因为，得伴随矩阵，且，由可求得；()因为，故，进而利用矩阵乘法求解试题解析：(1)因为所以(2)由AC=B得,故考点：矩阵和逆矩阵选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；()设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值【答案】() ，；() 【解析】试题分析：()将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，利用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；()利用点到直线距离公式求