高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 古典概型课件.ppt

12 2古典概型 第十二章概率 随机变量及其分布 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件 2 每个基本事件出现的可能性 知识梳理 互斥 基本事件 古典概率模型 只有有限个 相等 3 如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件a包括的结果有m个 那么事件a的概率p a 4 古典概型的概率公式p a 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在适宜条件下 种下一粒种子观察它是否发芽 属于古典概型 其基本事件是 发芽 与 不发芽 2 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 3 从市场上出售的标准为500 5g的袋装食盐中任取一袋测其重量 属于古典概型 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 有3个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5 从1 2 3 4 5中任取出两个不同的数 其和为5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件a中基本事件构成集合a 且集合a中的元素个数为n 所有的基本事件构成集合i 且集合i中元素个数为m 则事件a的概率为 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p127例3 一个盒子里装有标号为1 2 3 4的4张卡片 随机地抽取2张 则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 答案 解析抽取两张卡片的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6种 和为奇数的事件有 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 解析 1 2 4 5 6 3 3 p145a组t5 袋中装有6个白球 5个黄球 4个红球 从中任取一球 则取到白球的概率为 答案 解析 1 2 4 5 6 3 4 p134a组t6 已知5件产品中有2件次品 其余为合格品 现从这5件产品中任取2件 恰有一件次品的概率为 解析 答案 1 2 4 5 6 3 0 6 题组三易错自纠5 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行 则2本数学书相邻的概率为 解析 答案 1 2 4 5 6 3 解析设两本不同的数学书为a1 a2 1本语文书为b 则在书架上的摆放方法有a1a2b a1ba2 a2a1b a2ba1 ba1a2 ba2a1 共6种 其中数学书相邻的有4种 6 2017 合肥检测 已知函数f x 2x2 4ax 2b2 若a 4 6 8 b 3 5 7 则该函数有两个零点的概率为 解析 答案 1 2 4 5 6 3 题型分类深度剖析 1 下列试验中 古典概型的个数为 向上抛一枚质地不均匀的硬币 观察正面向上的概率 向正方形abcd内 任意抛掷一点p 点p恰与点c重合 从1 2 3 4四个数中 任取两个数 求所取两数之一是2的概率 在线段 0 5 上任取一点 求此点小于2的概率 a 0b 1c 2d 3 解析 答案 题型一基本事件与古典概型的判断 自主演练 解析 中 硬币质地不均匀 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个 不是古典概型 符合古典概型的特点 是古典概型 2 2018 沈阳模拟 有两个正四面体的玩具 其四个面上分别标有数字1 2 3 4 下面做投掷这两个正四面体玩具的试验 用 x y 表示结果 其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数 y表示第2个正四面体玩具出现的点数 试写出 1 试验的基本事件 解答 解这个试验的基本事件为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 2 事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件 解答 解事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件为 1 3 1 4 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 3 事件 出现点数相等 包含的基本事件 解事件 出现点数相等 包含的基本事件为 1 1 2 2 3 3 4 4 3 袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 解由于共有11个球 且每个球有不同的编号 故共有11种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 解由于11个球共有3种颜色 因此共有3个基本事件 分别记为a 摸到白球 b 摸到黑球 c 摸到红球 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 典例 1 2017 全国 从分别写有1 2 3 4 5的5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 题型二古典概型的求法 师生共研 解析从5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张的情况如图 解析 答案 2 袋中有形状 大小都相同的4个球 其中1个白球 1个红球 2个黄球 从中一次随机摸出2个球 则这2个球颜色不同的概率为 设取出两个球颜色不同为事件a 解析 答案 3 我国古代 五行 学说认为 物质分金 木 土 水 火五种属性 金克木 木克土 土克水 水克火 火克金 将这五种不同属性的物质任意排成一列 设事件a表示 排列中属性相克的两种物质不相邻 则事件a发生的概率为 解析 答案 1 本例 2 中 若将4个球改为颜色相同 标号分别为1 2 3 4的四个小球 从中一次取两球 求标号和为奇数的概率 解答 解基本事件数仍为6 设标号和为奇数为事件a 则a包含的基本事件为 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 2 本例 2 中 若将条件改为有放回地取球 取两次 求两次取球颜色相同的概率 解答 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数 这就需要正确列出基本事件 基本事件的表示方法有列举法 列表法和树状图法 具体应用时可根据需要灵活选择 跟踪训练 2017 山东 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家a1 a2 a3和3个欧洲国家b1 b2 b3中选择2个国家去旅游 1 若从这6个国家中任选2个 求这2个国家都是亚洲国家的概率 解由题意知 从6个国家中任选2个国家 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 b1 b2 b1 b3 b2 b3 共15个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有 a1 a2 a1 a3 a2 a3 共3个 解答 解答 2 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个 求这2个国家包括a1但不包括b1的概率 解从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 共9个 包括a1但不包括b1的事件所包含的基本事件有 a1 b2 a1 b3 共2个 典例某县共有90个农村淘宝服务网点 随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额 单位 万元 的茎叶图如图所示 其中茎为十位数 叶为个位数 1 根据茎叶图计算样本数据的平均数 题型三古典概型与统计的综合应用 师生共研 解由题意知 样本数据的平均数 解答 2 若网购金额 单位 万元 不小于18的服务网点定义为优秀服务网点 其余为非优秀服务网点 根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数 解答 3 从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查 求恰有1个网点是优秀服务网点的概率 解答 解样本中优秀服务网点有2个 分别记为a1 a2 非优秀服务网点有4个 分别记为b1 b2 b3 b4 从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 b1 b2 b1 b3 b1 b4 b2 b3 b2 b4 b3 b4 共15种 记 恰有1个是优秀服务网点 为事件m 则事件m包含的可能情况有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 共8种 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型 已成为高考考查的热点 概率与统计结合题 无论是直接描述还是利用概率分布表 频率分布直方图 茎叶图等给出信息 准确从题中提炼信息是解题的关键 跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高 被测学生身高全部介于155cm和195cm之间 将测量结果按如下方式分成八组 第一组 155 160 第二组 160 165 第八组 190 195 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 已知第六组比第七组多1人 第一组和第八组人数相同 1 求第六组 第七组的频率并补充完整频率分布直方图 解答 解由频率分布直方图知 前五组的频率为 0 008 0 016 0 04 0 04 0 06 5 0 82 所以后三组的频率为1 0 82 0 18 人数为0 18 50 9 由频率分布直方图得第八组的频率为0 008 5 0 04 人数为0 04 50 2 设第六组人数为m 则第七组人数为m 1 又m m 1 2 9 所以m 4 即第六组人数为4 第七组人数为3 频率分别为0 08 0 06 频率除以组距分别等于0 016 0 012 则完整的频率分布直方图如图所示 2 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名 记他们的身高分别为x y 求 x y 5的概率 解答 解由 1 知身高在 180 185 内的男生有四名 设为a b c d 身高在 190 195 的男生有两名 设为a b 若x y 180 185 有ab ac ad bc bd cd共6种情况 若x y 190 195 只有ab1种情况 若x y分别在 180 185 190 195 内 有aa ba ca da ab bb cb db共8种情况 所以基本事件的总数为6 8 1 15 事件 x y 5包含的基本事件的个数为6 1 7 六审细节更完善 审题路线图 典例 12分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 1 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大于4的概率 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 求n m 2的概率 审题路线图 规范解答 审题路线图 1 基本事件为取两个球 两球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取两个球的所有结果列举出来 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 两球编号之和不大于4 注意 和不大于4 应为小于4或等于4 1 2 1 3 利用古典概型概率公式求解 2 两球分两次取 且有放回 两球的编号记录是有次序的 用坐标的形式表示 基本事件的总数可用列举法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 注意细节 m是第1个球的编号 n是第2个球的编号 n m 2的情况较多 计算复杂 将复杂问题转化为简单问题 计算n m 2的概率 n m 2的所有情况为 1 3 1 4 2 4 规范解答解 1 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6个 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有 1 2 1 3 共2个 2 先从袋中随机取一个球 记下编号为m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为n 其一切可能的结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 6分 又满足条件n m 2的事件为 1 3 1 4 2 4 共3个 故满足条件n m 2的事件的概率为 课时作业 1 2016 全国 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中 余下2种种在另一个花坛中 有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 红紫 黄白 黄白 红紫 共6种种法 其中红色和紫色不在一个花坛的种法有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 共4种 故所求概率为p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2016 全国 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是m i n中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析第一位是m i n中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 所以总的基本事件的个数为15 密码正确只有一种 概率为 故选c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 山东 从分别标有1 2 9的9张卡片中不放回地随机抽取2次 每次抽取1张 则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2018 梅州一模 甲 乙两校各有3名教师报名支教 若从这6名教师中任选2名 则选出的2名教师来自同一学校的概率为 5 2017 深圳一模 一个不透明袋中装有大小 质地完全相同的四个球 四个球上分别标有数字2 3 4 6 现从中随机选取三个球 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 设m n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 则在先后两次出现的点数中有5的条件下 方程x2 mx n 0有实根的概率为 解析先后两次出现的点数中有5的情况有 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 6 共11种 其中使方程x2 mx n 0有实根的情况有 5 5 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 6 共7种 故所求事件的概率p 7 2016 四川 从2 3 8 9中任取两个不同的数字 分别记为a b 则logab为整数的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析从2 3 8 9中任取2个不同的数字 记为 a b 则有 2 3 3 2 2 8 8 2 2 9 9 2 3 8 8 3 3 9 9 3 8 9 9 8 共有12种情况 其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况 p 8 2018届唐山模拟 无重复数字的五位数a1a2a3a4a5 当a1a3 a3a5时称为波形数 则由1 2 3 4 5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a2 a1 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a2只能是3 4 5中的一个 3 若a2 5 则a4 3或4 此时分别与 1 2 中的个数相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从袋中任取2个球 则所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 10件产品中有7件正品 3件次品 从中任取4件 则恰好取到1件次品的概率是 11 设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求事件 a b 发生的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的情况共36种 因为a b 所以m 3n 0 即m 3n 有 3 1 6 2 共2种 所以事件 a b 发生的概率为 2 求事件 a b 发生的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解由 a b 得m2 n2 10 12 海关对同时从a b c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 求这6件样品中来自a b c各地区商品的数量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以a b c三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设6件来自a b c三个地区的样品分别为 a b1 b2 b3 c1 c2 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为 a b1 a b2 a b3 a c1 a c2 b1 b2 b1 b3 b1 c1 b1 c2 b2 b3 b2 c1 b2 c2 b3 c1 b3 c2 c1 c2 共15个 每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件d 抽取的这2件商品来自相同地区 则事件d包含的基本事件有 b1 b2 b1 b3 b2 b3 c1 c2 共4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 5 7 2 6 8 依次列出m的可能取值 知7出现次数最多 13 连续2次抛掷一枚骰子 六个面上分别标有数字1 2 3 4 5 6 记 两次向上的数字之和等于m 为事件a 则p a 最大时 m 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 14 2016 山东 某儿童乐园在 六一 儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为x y 奖励规则如下 若xy 3 则奖励玩具一个 若xy 8 则奖励水杯一个 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 1 求小亮获得玩具的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解用数对 x y 表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间 与点集s