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2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1B2D3C4D5C6A二、填空题（每题6分，共24分）718200933710三、解答题（每题18分，共90分）11解：不相交 3分由题设，得a2b20，b2c20 9分则a2b2c2，所以c2a2015分从而知函数yx22cxa2的图象与x轴不相交 18分12解：由题设，知水箱底面积S40251000(cm2)水箱体积V水箱=10005050000（cm3），铁块体积V铁=1010101000（cm3）.3分（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时，1000a100050000, 得 a49（cm）所以，当49a50时，水深为50cm（多余的水溢出） 6分（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时，1000a100010000, 得 a9（cm） 9分所以，当9a49时，水深为 = (a+1) cm.12分（3）由（2）知，当0a9时，设水深为x cm，则1000x1000a100x得x（cm） 17分答：当0a9时，水深为 cm；当9a49时，水深为（a+1）cm；当49a50时，水深为50 cm 18分13证法一：令k，k为有理数, 得(akb)+(bkc)0.3分因为a，b，c是整数，k为有理数，所以akb=0，bkc =0，从而a=k2c, b=kc6分于是 =c. 9分又 k4+k2+1= (k4+k2+1)-k2 = (k2+k+1) (k2-k+1)， 15分则 (k2k1)ck2ckcc acb. 因为a+cb为整数，所以为整数. 18分证法二：. 6分因为是有理数，所以b2ac0，即b2ac. 9分所以 12分 15分acb.因为acb为整数，所以为整数. 18分14解：（1）t =2n+16分（2）由题设得，t个三角形的内角和t，ABC的内角和，9分以给定的n个点的每个点所构成的周角之和n2 12分由于t个三角形的内角和等于ABC的内角和与以n个点的每个点所构成的周角之和，所以 t=+n2，得 t =2n+1故结论成立 18分15证法一：如图1，取OB中点M，OC中点N.因为D为BC的中点，所以DMOC，DMOC，DNOB， DNOB.在RtBOQ和RtOCP中，QMOB，PNOC 所以DMPN，QMDN 6分QMDQMOOMD2ABOFOB，PNDPNOOND2ACOEOC因为ABOACO，FOBEOC，所以QMDPND 15分C AD BE F O P Q M NC AD BE F O P Q NM 于是QMDDNP，从而DQ=DP18分图2图1证法二：如图2，在直线BF上取点M，使QM=BQ，在直线CA上取点N，使PN=CP连接CM，BN，OM，ON所以DQ=CM，DQCM，DP=BN，DPBN6分因为OPAC，OQAB，所以OMOB，ONOC 9分BOM18002ABO，CON18002ACO，因为ABO
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