肖鸿宇一元二次方程与根的分布.doc

一元二次方程根的分布设一元二次方程（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】。【定理3】。推论1 。推论2 。【定理4】有且仅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，请读者自证。【定理6】或三、例题与练习【例1】 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（）（2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。 （）（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （）【例2】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （）（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。 （）（3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。 变式：改为较小实根 （不可能；）（4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （）（5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （）（6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。 （或）【例3】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)知识要点：1一元二次方程与二次函数有着密切的关系对于一元二次方程实根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从顶点，判别式，对称轴，自变量取一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决2实系数一元二次方程根的各种情况：(1)有两零根b=c=0；(2)至少有一零根c=0；(3)只有一零根b0，且c=0；(4)有一正根和一负根0；(6)有一负根和一零根c=0且0)的两根是a，b，且ab，令f(x)=ax2+bx+c(1) 若manb0，f(n)0 ；(2) 若amb，则f(m)m，bm，则0，f (m)0，b/2am ；(4) 若na，b0，f(m)0，nb/2am；等等例题分析：1已知a，b是x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个实根，且a2b，求m的取值范围 f(2)0，m0或f(1)0，f(-1)0，m -5或53已知方程3x2-5x+a=0的两根a，b满足2a0，1b0，f(0)0，f(1)0，-12a04要使方程2x2+3x+5m=0的任一根都小于1，求m的取值范围 1m*5实数a在什么范围内时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于2且小于0，另一个根大于1且小于3 ? -12a0习题：1方程x2+2x+1-a=0有两个相异的根，则()Aa0Ca1Da12方程x2+x+a=0有两个负根，则a的范围是()Aa0BaC003试确定m的值，使方程3x210x+m=0有 (1)两正根；(2)一正一负根；(3)一根是零；(4)一根是1；(5)两根互为倒数(1)0m；(2)m0；(3)m=0；(4)m=7；(5)m=34若方程2ax2-x-1=0在0x15方程x2-2mx+2m+3=0有两个负数根，求实数m的范围若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两实数根x1，x2，且0x11x22，求k的范围(1)3/2m-1(2)2k-1或3k4*6m是何实数时，关于x的方程x2-m2x+m2=0的两个根