向量组及其线性组合.ppt

第四章向量组的线性相关性 n元非齐次线性方程组 n元齐次线性方程组 知识回顾 第一节向量组及其线性组合 一 n维向量的概念二 向量空间三 向量组与矩阵四 向量的线性组合和线性表示 4 1向量组及其线性组合 一 n维向量的概念 定义1 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量 例如 1 2 n 为n维实向量 1 2i 2 3i n n 1 i 为n维复向量 写成一行的n维向量 称为行向量 也就是行矩阵 通常用aT bT T T等表示 如 写成一列的n维向量 称为列向量 也就是列矩阵 通常用a b 等表示 如 注意 1 行向量和列向量总被看作是不同的向量 2 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算 3 当没有明确说明是行向量还是列向量时 都当作列向量 二 向量空间 向量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象 可随意平行移动的有向线段 代数形象 向量的坐标表示式 坐标系 当n 3时 空间 解析几何 线性代数 点空间 点的集合 向量空间 向量的集合 坐标系 代数形象 向量空间中的平面 几何形象 空间曲线 空间曲面 一一对应 点 x y z 的集合 平面 向量 x y z T的集合 当n 3时 向量不再有 几何 意义 仍沿用几何空间的名词 但其意义更为广泛 叫做n维向量空间 叫做n维向量空间Rn中的n 1维超平面 例如 在描述一空间运动物体时 不仅与所处的空间位置 x y z 有关 还与时间t有关 这就是四维时空空间 用向量表示为 x y z t 机身的仰角 机身的水平转角 0 2 机翼的转角 例如 确定飞机的状态 需要以下6个参数 飞机重心在空间的位置参数P x y z 所以确定飞机的状态需用6维向量 x y z 表示 在日常工作 学习和生活中 有许多问题都需要用向量来进行描述 三 向量组与矩阵 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 矩阵A aij m n有n个m维列向量 向量组a1 a2 an称为矩阵A的列向量组 向量组 1T 2T mT称为矩阵A的行向量组 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 类似地 矩阵A aij m n有m个n维行向量 所组成的向量组 1T 2T mT构成一个m n矩阵 所组成的向量组a1 a2 an构成一个m n矩阵 n个m维列向量 m个n维行向量 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 四 线性组合与线性表示 定义2 给定向量组A 1 2 m 对于任何一组实数k1 k2 km 向量k1 1 k2 2 km m称为向量组A 1 2 m的一个线性组合 k1 k2 km称为这个线性组合的系数 线性表示 给定向量组A 1 2 m和向量b 如果存在一组数 1 2 m 使b 1 1 2 2 m m则向量b是向量组A的线性组合 这时称向量b能由向量组A线性表示 即线性方程组 1 1 2 2 m m b有解 定理1 向量b能由向量组A 1 2 m线性表示的充分必要条件是矩阵A 1 2 m 与矩阵B 1 2 m b 的秩相等 由上章定理5 定义3 设有两向量组A 1 2 m与B 1 2 s 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B与向量组A可以相互线性表示 则称这两个向量组等价 若记A 1 2 m 和B 1 2 s 向量组B能由向量组A线性表示 即对每一个向量 j j 1 2 s 存在数k1j k2j kmj 使 j k1j 1 k2j 2 kmj m 即 从而 这里 矩阵K kij m s称为这一线性表示的系数矩阵 若Cm n Am sBs n 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 B为这一表示的系数矩阵 同时 若Cm n Am sBs n 则C的行向量组能由B的行向量组线性表示 A为这一表示的系数矩阵 设矩阵A经初等行变换变成B 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合 即B的行向量组能由A的行向量组线性表示 由初等变换可逆性可知 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示 于是 A的行向量组与B的行向量组等价 类似地 若矩阵A经初等列变换变成B 则A的列向量组与B的列向量组等价 1 对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为方程组A的一个线性组合 2 若方程组B的每一个方程都是方程组A的线性组合 则称方程组B能由方程组A线性表示 此时方程组A的解一定是方程组B的解 3 若方程组A与方程组B能相互线性表示 则称方程组A与方程组B可互推 等价方程组是同解的 向量组的线性组合 线性表示 等价等概念的一个重要应用是用来描述线性方程组 也就是说矩阵方程 1 2 m X 1 2 s 有解 则由上一章的定理6可得 若向量组B 1 2 s能由向量组A 1 2 m线性表示 即存在矩阵K 使 1 2 s 1 2 m K 注 第三章定理6矩阵方程AX B有解的充要条件是R A R A B 定理2 向量组B 1 2 s能由向量组A 1 2 m线性表示的充分必要条件是矩阵A 1 2 m 的秩与矩阵 A B 1 2 m 1 s 的秩相等 即R A R A B 推论 向量组A 1 2 m与向量组B 1 2 s等价的充分必要条件是R A R B R A B 其中A和B是由向量组A和B所构成的矩阵 R A R A B 事实上 R B A R B 例1 设 证明 向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求表示式 证明 要证向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 需要证明 矩阵A a1 a2 a3 与B a1 a2 a3 b 的秩相等 为此将B化为行最简形 R A R B 因此 向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 由B的行最简形可得方程组Ax b通解为 故表示式为 b a1 a2 a3 x 3c 2 a1 2c 1 a2 ca3 其中c为任意常数 b 2a1 a2 特别地 取c 0 得表示式为 证明 记A a1 a2 B b1 b2 b3 论 只需证R A R B R A B 将 A B 化为行阶梯形 根据定理2的推 得R A R A B 2 又容易看出B中有2阶非零子式 则2 R B R A R B R A B 因此 故R B 2 R A B 2 定理3 若向量组B 1 2 s能由向量组A 1 2 m线性表示 则R 1 2 s R 1 2 m 即R B R A 以上所讨论的内容建立在向量组与矩阵之间有对应关系 从而以上结论之间有如下结果 若向量组B 1 2 s能由向量组A 1 2 m线性表示 有矩阵K 使 1 2 s 1 2 m K 矩阵方程 1 2 m X 1 2 s 有解 例3 n阶单位矩阵E e1 e2 en 的列向量称为n维单位坐标向量 证明 n维单位坐标向量组E e1 e2 en能由n m矩阵A a1 a2 am 的列向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R A n 证明 根据定理2 向量组E e1 e2 en能由向量组A线性表示的充分必要条件是R A R A E 因此R A R A E n 故R A E n 而R A E R E n 又因矩阵 A E 仅有n行 本例的结论用矩阵方程的方式可描述为 矩阵方程An mX E有解的充分必要条件是R A n 用矩阵的方式可描述为 对矩阵Am n 存在Qn m使AQ Em的充分必要条件是R A m 存在Pn m使PA En的充分必要条件是R A n 当A为n阶方阵时 P Q就是A的逆矩阵 因此 上述结论可以看作逆矩阵概念的推广 五 小结 1 n维向量的概念 实向量 复向量