高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题四 数列 第2讲 数列求和及简单应用课件 理.ppt

第2讲数列求和及简单应用 考情分析 总纲目录 an 考点一利用sn an的关系式求an数列 an 中 an与sn的关系 典型例题 1 已知各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 若s1 2 3 2an 1sn 则an 2 2017成都第二次诊断性检测 在数列 an 中 a1 1 a1 an n n 则数列 an 的通项公式为an 解析 1 由题意可得3 2an 1sn sn an 1 3sn an 1 0 又an 0 所以sn an 1 则sn 1 an n 2 两式相减并移项得an 1 2an n 2 又s1 a1 a2 2 则an a2 2n 2 2n 1 n 2 故an 2 根据a1 an 有a1 an 1 n 2 得 an an 1 n 2 n2an 1 n2 1 an n 2 n 2 所以 n 2 所以an a1 答案 1 2 n 2 a1 1满足上式 an 方法归纳给出sn与an的递推关系求an的一般思路 一是利用sn sn 1 an n 2 转化为an的递推关系 再求其通项公式 二是转化为sn的递推关系 先求出sn与n之间的关系 再求an 跟踪集训1 若数列 an 的前n项和sn n2 n 1 则它的通项公式an 答案 解析当n 1时 a1 s1 12 1 1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 n 1 2 n 1 1 2n 2 a1 1不满足上式 an 2 在数列 an 中 a1 2n 1 n n 则an 答案n 2n 1 解析依题意得 数列的前n项和为2n 1 当n 2时 2n 1 2n 1 1 2n 1 又 21 1 1 21 1 因此 2n 1 n n 故an n 2n 1 考点二数学文化与数列 典型例题 2017课标全国 3 5分 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有灯 a 1盏b 3盏c 5盏d 9盏 解析由题意可知 由上到下灯的盏数a1 a2 a3 a7构成以2为公比的等比数列 s7 381 a1 3 故选b 方法归纳与等差数列一样 我国古代数学涉及等比数列的问题也有很多 因此 涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题 掌握等比数列的概念 通项公式和前n项和公式 答案b 跟踪集训 2017潍坊二模 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意思为 有一个人走378里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天才到达目的地 则此人第4天和第5天共走的路程为 a 60里b 48里c 36里d 24里答案c由题意知 此人每天走的路程构成公比为的等比数列 设等比数列的首项为a1 则有 378 解得a1 192 则a4 192 24 a5 2 4 12 a4 a5 24 12 36 所以此人第4天和第5天共走了36里路 故选c 考点三数列求和 典型例题 2017天津 18 13分 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 解得q 2或q 3 又因为q 0 所以q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减 得 3tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 4 3n 1 4n 1 3n 2 4n 1 8 得tn 4n 1 所以 数列 a2nb2n 1 的前n项和为 4n 1 方法归纳数列求和最常用的四种方法 1 公式法适合求等差数列或等比数列的前n项和 对于等比数列 利用公式法求和时 一定要注意q是否取1 2 错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 3 裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后 消去一部分从而计算和的方法 适用 于求数列的前n项和 若 an 为等差数列 d为公差 则 4 分组求和法一个数列既不是等差数列 也不是等比数列 若将这个数列适当拆开 重新组合 就会变成几个可以求和的部分 即能分别求和 然后再合并 跟踪集训1 2017课标全国 15 5分 等差数列 an 的前n项和为sn a3 3 s4 10 则 答案 解析设公差为d 则 an n 前n项和sn 1 2 n 2 21 2 2 2 2017合肥第一次教学质量检测 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且满足s4 24 s7 63 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 1 n an 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 an 为等差数列 解得 an 2n 1 2 bn 1 n an 22n 1 1 n 2n 1 2 4n 1 n 2n 1 tn 2 41 42 4n 3 5 7 9 1 n 2n 1 gn 当n 2k k n 时 gn 2 n tn n 当n 2k 1 k n 时 gn 2 2n 1 n 2 tn n 2 tn 考点四数列中的不等式问题 典型例题设sn为数列 an 的前n项和 已知a1 2 对任意n n 都有2sn n 1 an 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列的前n项和为tn 求证 tn 1 解析 1 因为2sn n 1 an 所以2sn 1 nan 1 n 2 两式相减 得2an n 1 an nan 1 n 2 即 n 1 an nan 1 n 2 所以当n 2时 所以 因为a1 2 所以an 2n 方法归纳解决数列与函数 不等式的综合问题要注意以下几点 1 数列是一类特殊的函数 其定义域是正整数 在求数列最值或不等关系时要特别注意 2 解题时应准确构造函数 利用函数性质时应注意限制条件 3 证明不等关系时进行适当的放缩 1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 s3 a5 令bn 1 n 1an 则数列 bn 的前2n项和t2n为 a nb 2nc nd 2n 随堂检测 答案b设等差数列 an 的公差为d 由s3 a5得3a2 a5 3 1 d 1 4d 解得d 2 an 2n 1 bn 1 n 1 2n 1 t2n 1 3 5 7 4n 3 4n 1 2n 故选b 2 2017湖南五市十校联考 等差数列 an 的前n项和为sn 且a1m时 sn与an的大小关系是 a snand 大小不能确定 答案c若a10 若d0 当m 3时 有am sm 因此am 0 sm 0 又sn sm am 1 an 显然sn an 故选c 3 2017武汉武昌调研考试 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 9 a2为整数 且sn s5 则数列的前9项和为 答案 解析设等差数列 an 的公差为d 由sn s5得又a1 9 得 d 又a2为整数 d 2 an a1 n 1 d 11 2n 数列的前n项和tn t9 4 2017张掖第一次诊断考试 已知数列 an 的前n项和为sn 若an 3sn 4 bn log2