高考数学必备秘笈--抽象函数+解题技巧.pdf

1 抽象函数与解题策略 一 抽象函数的定义 特征和一般解题策略 1 什么是抽象函数 那些没有给出函数的具体解析式 只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数 2 抽象函数与一般函数的有什么联系 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型 例如 x f x f xx f 2121 对应 的 是 指 数 函 数 2121 xxxx aaa x f x f xx f 2121 对 应 的 是 对 数 函 数 2a1a21a xlogxlog xx log 等等 当然 也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型 而是新定义的一种函数 抽象函数也可以与我们熟悉的函数 如指数函数 对数函数等一样 有自己的性质 如 奇偶性 周期性 单调性等 有自己的特殊点 有自己的对称性 能画出大致图像 3 抽象函数的解题策略一般有哪些 面对抽象函数数学题 我们的解题思路一般不外乎 合理赋值 化抽象为具体 作恒 等变形 找出该函数规律性 特征性特点 分类讨论 归纳出抽象函数的实质问题 二 高考中的抽象函数 1 抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分 根据上海卷命题的要求 每年函数部分的内容将 占到整个卷面分值的三分之一左右 2005 年高考上海卷中 函数相关的内容将近 55 分 而 抽象函数是函数中考核要求较高 难度较大的内容 2000 年开始 不论是全国卷还是上海 卷都对学生提出了考查抽象函数的要求 03 年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题 目 03 04 05 年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目 2 为什么抽象函数在高考中被如此重视 一般抽象函数数学题融函数单调性 周期性 奇偶性 定义域 值域 图像以及不等式 方程等知识于一体 通过赋值整体思考 找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质 2 能运用相关性质去解决有关问题 在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能 力的考查是新时期的一个重要特点 3 具体地来看 抽象函数在历届高考中在哪些题型中出现过 在最近五年的高考中 抽象函数可以出现在各种类型的题目中 例如 可以考抽象函数 的填空题 选择题 2002 年北京卷第 11 12 题 2003 年上海卷第 16 题 2004 年上海卷第 5 题 等等 还可以考抽象函数的解答题 2001 年全国卷最后一题 2002 年北京卷最后 一题 2003 年上海卷最后一题 2003 年北京卷最后一题 2005 年上海卷第 21 题 等等 4 全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区别吗 有一定程度上的区别 全国卷中 特别是北京卷 经常会在最后一个大题考抽象函数 是非常典型的抽象函数性质的讨论 计算和证明 对于解题技巧 综合运用各类知识和技能 的要求非常高 上海卷中的抽象函数 特别是最近几年 以一种 定义新函数 的题型出现 突出考核学生的学习能力 应用能力和创新能力 不特别强调解题的技巧 具体的差别 可 以通过例题的练习和讲解来得以区分 总之 关于抽象函数题的难度都是相当高的 三 典型例题 例题 1 设 f x 是定义在实数集 R 上的函数 且满足下列关系 x10 f x10 f x20 f x20 f 求证 f x 是奇函数 又是周期函数 证明 已知 x10 f x10 f x10 10 f x10 10 f x20 f x f x20 f 1 又 x20 f x20 f x20 f x f 2 x f x20 f x20 20 f x40 f 即 f x 是以 40 为周期的周期函数 由 1 式 x f x20 f 由 2 式 x20 f x f 3 x f x f 即 f x 是奇函数 综上所述 f x 是奇函数 又是周期函数 例题2 f x 是定义在R上的函数 且 x f1 x f1 1x f f x 0 1 若f 1 2 求f 2005 的值 解 已知 x f 1 x f1 x f1 1 x f1 x f1 1 1x f1 1x f1 2x f x f x f 1 1 2x f 1 4x f f x 是以4为周期的周函数 则2 1 f 2005 f 例题3 已知函数f x 对于x 0有意义 且满足条件f 2 1 f xy f x f y f x 是非减函 数 定义 Dxx 21 0 有意义 且 x 2 0 x 2 51 x 例题4 设函数f x 的定义域为R 对于任意实数m n 总有 n f m f nm f 且0 x 4 时1 x f0 1 证明 f 0 1 且x1 2 证明 f x 在R 上单调递减 3 设 Ra 1 2yax f y x B 1 f y f x f y x A 22 若 BAI 确定a 的范围 1 证明 n f m f nm f 令0n 0m 0 f m f m f 已知0 x 时 1 x f0 1 0 f 设0 xm 1 0 x f 1 n f m f nm f 0 f 1 m f 即当x1 2 Rxx 21 x f xxx f x f x f 111212 x f x f xx f 1112 0 1 xx f x f 121 1 f yx f 22 f x 在R上单调递减 1yx 22 由1 1 f Ny 0 y f Ny 1y2y y f 1y f 即对于一切大于1的正数t恒有t t f 又由 式1 4 f 1 3 f 下证明 当整数4t 时 恒有0 t f 4t 则0 2t 由 式0 2t 1t f t f 即0 4 f 5 f 同理可得0 1t f t f 0 2t f 1t f 0 5 f 6 f L 相加01 4 f t f 即当整数4t 时 恒有t0 t f 综上所述 满足t t f 的整数只有2 1t 例题6 定义在R上的单调函数f x 满足f 3 3log2且对任意x y R都有f x y f x f y 1 求证f x 为奇函数 2 若0 293 f 3k f xxx 对任意x R恒成立 求实数k的 取值范围 证明 1 已知 f x y f x f y x y R 令 x y 0 代入 式 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 令xy 代入 式 f x x f x f x 又 f 0 0 则 0 f x f x 即 f x f x 对 任意 x R R R R 成立 则 f x 是奇函数 2 f 3 log 23 0 即 f 3 f 0 又 f x 在 R R R R 上是单调函数 f x 在 R R R R 上是增函数 又由 1 f x 是奇函数 6 293 f 293 f 3k f xxxxx 2933k xxx 对任意 x R R R R 成立 分离系数 k 3 x 3 x 9 x 21 3 2 3k x x 令1221 3 2 3u x x 即 u 的最小值为122 当122k 时 不等式1 3 2 3k x x 对任意 x R R R R 恒成立 12 2 k 时 命题成立 例题 7 已知 x f是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的 a b R 都满足关系式 a bf b af ba f 1 求 f 0 f 1 的值 2 判断 x f的奇偶性 并证 明你的结论 3 若 Nn n 2 f u 2 2 f n n 求数列 u n 的前 n 项的和 n S 解 1 在 a bf b af ba f 中 令 0ba 0 0 f0 0 f0 00 f 0 f 在 a bf b af ba f 中 令 1ba 1 f1 1 f1 11 f 1 f 0 1 f 2 已知 0 1 f 1 f 1 f 1 f 2 0 1 f x f 1 xf x f x1 f x f x f 为奇函数 3 由 a af2 a af a af a f 2 a fa3 a af a fa a f 2223 猜测 a fna a f 1nn 下用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 a fa1 a f 01 原命题成立 2 假设当 n k时 原命题成立 即 a fka a f 1kk 那么当 n k 1 时 7 a fa 1k a fka a fa a af a fa a f kkkkk1k 原命题成立 由 2 1可知 对任意 a fna a f Nn 1nn 都成立 2 1 f 2 1 n 2 f u 1n n n 已知 0 2 f 2 1 2 1 f2 2 1 2 f 1 f 2 2 f 2 1 2 f 4 1 2 1 f Nn 2 1 2 1 u 1n n Nn 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 S n n n 例题 8 设 x fy 是定义在区间 1 1 上的函数 且满足条件 i 0 1 f 1 f ii 对 任意的 1 1 v u 都有vu v f u f 1 证明 对任意的 1 1 x 都有x1 x f1x 2 证明 对任意的 1 1 v u 都有1 v f u f 3 在区间 1 1 上是否存在满足题设条件的奇函数 x fy 且使得 时 由 1 1 v u 可知0vu 都有 v f u f v f u f 1 f v f 1 f u f 1v1u 1 vu 21vu1 8 综上所述 对任意的