高等数学竞赛讲义_微分学部分.doc

第二届全国高等数学竞赛培训 第二讲 微分学一、一元微分学（1）导数（微分）的定义特别地：称函数在点处可微分，并称为函数在点处的微分，记为或。当时，称为的线性主部 1）是关于的高阶无穷小，即； 2）时，与是等价无穷小。 3）一阶微分形式的不变性：无论是自变量还是中间变量，都有总成立 4）可微可导连续有极限含有抽象函数的型极限常用导数的定义求解：例1：设曲线在（1，）处的切线方程为，求解：根据几何意义可知在（1，）处的切线方程为与相比较例2：设函数与在（0，0）处相切，求解：函数与在（0，0）处相切注意：往往蕴含在条件中，常常是如是奇函数或在处连续等等还有求极限并未说明可导不能用罗比塔法则用定义与抽象函数导数相关的命题：例3：对任意有且证明: 则证明: 例4:(1)设定义在实数集上,对任意恒有求 (2), 都定义在实数集上,对任意的恒有下式成立: 且求解(1)不妨设由不等式有由夹逼性: 所以在可导且由的任意性, 在实数集上可得且(2) (2)判断函数的可导性利用导数存在充要条件及结论即存在记住: 在处不可导,在处连续在处可导.如不可导为例5:设在可导,且函数在可导,求并讨论的存在性.解:时,(夹逼性)故由于在可导则在处连续,所以而所以所以因为在可导所以=-2又在不可导练习:设是连续的,且,令求解: 当时,有 所以综上,有练习: 在内有定义. (1)求在-2,0处表达式(答案: (2) 为何值时? 存在(答案:)处处可导,试确定的值.(答案: .(3)求导法则1.复合函数求导2.参数方程求导(二阶)3.隐函数求导(二阶)(幂指函数,多因子乘积,根式,乘方等)练习:若方程由方程组求（答案：）4.高阶导数计算简单函数的高阶导数时,先设法把表示成一些常用函数如等的线性组合,再利用常用函数的阶导数求导.否则利用数学归纳法等分析规律进行计算.当为非负整数且例:设求解: 所以例:设,求解: 令得由于所以例:设求解: 由假设则 所以对都成立.当时,所以牛顿-莱布尼兹公式: 例: 求解: 令(3)利用中值定理构造辅助函数证明某些命题或不等式中值定理回顾1、罗尔中值定理：如果满足（1）在上连续；（2）在内可导；（3）；则在内至少存在一点，使。2拉格朗日中值定理：如果满足（1）在上连续；（2）在内可导；则在内至少存在一点，使或3.柯西中值定理:如果满足:（1）在上连续；（2）在内可导；(3)对任一点;则在内至少存在一点，使4.泰勒中值定理:如果在含有的某个开区间具有直到阶的导数,则对任一,有: 例题选讲及总结:例1:设在上可导,且有.证明:至少存在一点,使分析: 证明:设: .显然在上连续,在内可导,由罗尔定理至少存在一点使即.罗尔定理的应用：常用罗尔定理验证。步骤如下：1） 找出及区间；2） 说明在连续，在可导；3） 验证4） 说明结论：“由罗尔定理”练习:已知在连续,在可导,且,求证: 在内至少存在一点使得分析:令例3: 已知在连续,在可导且.试证:(1)存在使(2)对任意实数,必存在使得分析(1)说明是函数在的零点,只要说明在满足零点定理条件即可.(2) 这里上式为注意到将上式两边同乘以即其中,因此只需证明在满足罗尔定理l 常设辅助函数有：； ；。练习: 设在上一阶可导，在内二阶可导， 。（） 证明：（1）存在，使；（） （2）存在，使. (提示:先证有两个零点，再证有零点。拉格朗日中值定理的应用：常用于证明含函数值与导数值的恒等式或不等式。l 证不等式步骤：1）找出及区间；2）说明在连续，在可导； 3）说明结论“由拉格朗日中值定理”注：夹在中间的函数为同一类型的函数时，其不等式的证明用拉格朗日中值定理，否则利用单调性更为简单。如：当； 当，。l 证恒等式：1）试恒等式为，为的范围； 2）验证； 3）说明“由拉格朗日定理推论得”； 4）在内任取一定值代入中，求得常数。 如l 证含有函数及导函数的等式。例4： 设在区间上连续，在内可导，且。证明：在内至少存在一点，使得分析：将变形为则只需将在上应用拉格朗日中值定理，将与在上应用柯西中值定理练习:设在区间上连续，在内可导。证明：在内至少存在一点，使得设在区间上连续，在内可导。且。试证：存在，使得。提示：可设再令分别在应用拉格朗日中值定理。例5：设在区间上二阶连续可导，证明在内至少存在一点，使得证明：设，将在处展开成三阶泰勒公式，得其中在之间。令得 将上两式相减，并注意有：由于在区间上二阶连续可导，由介值定理，存在使得所以。例6：设函数在区间上具有二阶导数， .证明：证明：对于及有泰勒公式： 对都成立。令求在内的最小值，令是唯一驻点，当，成立即：。(4)导数的应用1函数的单调性 1）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调增加；2）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调减少。2函数的极值 1）函数在点的邻域内有定义，有，则为一个极大值，是一个极大值点；，有，则为一个极小值，是一个极小值点；注：极值是考虑函数在局部范围内取值情况；使函数取得极值的点称为函数的极值点。2）极值存在的必要条件：设函数在处可导且在处取得极值，则。3）极值存在的第一充分条件：设函数在的某个去心邻域内可导，在处连续，则当的符号在两侧左正右负时，为极大值。当的符号在两侧左负右正时，为极小值。 2） 极值的第二充分条件：设函数在处二阶可导且，则 当时，为极小值； 当时，为极大值。3函数最大值、最小值 某函数在闭区间上连续，则可先求出函数在内所有驻点及导数不存在的点处的函数值并与比较，其中最大者是函数在上的最大值，最小者是函数在上的最小值。4曲线的凹凸性与拐点 1）若函数在内连续且有一阶、二阶导数，则当时，曲线是凹弧；当时，曲线是凸弧。连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。2）曲线拐点的判别 若函数在内具有二阶连续导数，并且。如果在左右两侧符号相反，则点就是曲线的拐点。二阶导数不存在的点，也可能是曲线的拐点。5、曲线的曲率、曲率半径 若函数在点处二阶可导，1）在点处曲线的曲率2）曲率半径 3）为弧微分。例:求使不等式对所有的自然数都成立最大的数和最小的数.解: 即令,令 故在上单调递减,所以