山东省青岛市平度市四校高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年山东省青岛市平度市四校高二（下）期中数 学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1“0”是“x0”的（）a充分不必要条件b充要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义进行判定即可解答：解：由0x0，是充要条件，故选：b点评：本题考查了充分必要条件，考查二次根式的性质，是一道基础题2若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f（x）的图象是（）abcd考点：函数的单调性与导数的关系专题：数形结合法分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，a满足条件故选a点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减3的导数是（）abcd考点：导数的乘法与除法法则专题：计算题分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y=故选a点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题4复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）abcdi考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部解答：解：化简可得z=i，复数的虚部为：故选：c点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题5设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）a2b2cd考点：复数代数形式的混合运算专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值解答：解：复数=，它是纯虚数，所以a=2，故选a点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型6对于命题：p：x（0，），sinx+cosx1；q：xr，sin2x+cos2x1，则下列判断正确的是（）ap假q真bp真q假cp假q假dp真q真考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案解答：解：命题：p：x（0，），sinx+cosx=sin（x+）1；p真，命题q：xr，sin2x+cos2x1，q假，故选：b点评：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数的性质，是一道基础题7若a0，b0，且函数f（x）=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）a2b3c6d9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式专题：计算题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解答：解：f（x）=12x22ax2b，又因为在x=1处有极值，a+b=6，a0，b0，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9故选：d点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等8函数f（x）=mx3x+1在（，+） 上是减函数的一个充分不必要条件是（）am0bm0cm1dm1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：问题转化为只需f（x）0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围解答：解：f（x）=3mx21，若函数f（x）=mx3x+1在（，+） 上是减函数，则只需f（x）0即可，若m=0，则f（x）=10，成立，若m0，则函数f（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m0，当m0时，f（x）0，而m0是m0的充分不必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题9在半径为r的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）abcd考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题；导数的概念及应用；空间位置关系与距离分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积v=（h3+r2h）利用导数研究函数的单调性，得v在（0，r）上是增函数，在（r，r）上是减函数，由此可得当h=r时，圆柱的体积的最大值是r3解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得h2+r2=r2，所以r=这个圆柱的体积v=r2h=（h3+r2h）v=（3h2+r2）=3（h+r）（hr）v0，得hr； v0，得hrv在（0，r）上是增函数，在（r，r）上是减函数因此，当h=r时，圆柱的体积的最大值vmax=（r）3+r2r）=r3故选：a点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题10函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）a（，e）b（0，）c（，）d（，+）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间解答：解：f（x）=lnx+1，令f（x）0，解得：0x，故选：b点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为考点：点到直线的距离公式专题：转化思想分析：由题意知，当曲线上过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x2的距离即为所求解答：解：点p是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx的导数 y=2x=1，x=1，或 x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x2的距离等于，故点p到直线y=x2的最小距离为，故答案为点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想12函数f（x）=x4x36的极值点是x=2考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点解答：解：f（x）=x32x2，令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，函数f（x）在（，2）递减，在（2，+）递增，x=2是函数的极值点，故答案为：x=2点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题13若复数z满足z（2i）=11+7i（i为虚数单位），则=35i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则z的共轭复数可求解答：解：由z（2i）=11+7i，得，故答案为：35i点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题14已知向量=（x2，x+1），=（1x，t），若函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围为t5考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质专题：导数的概念及应用；平面向量及应用分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t3x22x在（1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论解答：解：=（x2，x+1），=（1x，t），f（x）=x2（1x）+t（x+1）=x3+x2+tx+1，f（x）=3x2+2x+t，函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，f（x）=3x2+2x+t0在（1，1）上恒成立，t3x22x在（1，1）上恒成立，而函数y=3x22x，x（1，1）的值域为，5）t5故答案为：t5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题15若函数f（x）=x3x在（a，10a2）上有最小值，则a的取值范围为2，1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：由题意求导f（x）=x21=（x1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得2a110a2；从而解得解答：解：f（x）=x3x，f（x）=x21=（x1）（x+1）；故f（x）=x3x在（，1）上是增函数，在（1，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数；f（x）=x3x=f（1）=；故x=1或x=2；故2a110a2；解得，2a1故答案为：2，1）点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题三.解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（）计算（）2（）已知复数z满足：|z|=1+3iz，求的值考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：（）根据复数的基本运算即可求解即可计算（）2（）利用待定系数法先求出z，然后进行化简解答：解：（） （）2=1（） 设z=a+bi，（a，br），而|z|=1+3iz即则，则，即z=4+3i，则=3+4i点评：本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力分母实数化是解决复数除法的基本方法17已知p：x2+8x+200，q：x22x+1m20（m0）（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法专题：计算题分析：p：2x10，q：1mx1+m（1）由p是q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围（2）由“非p”是“非q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围解答：解：p：2x10，q：1mx1+m（1）p是q的充分不必要条件，2，10是1m，1+m的真子集m9实数m的取值范围为m9（2）“非p”是“非q”的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件0m3实数m的取值范围为0m3点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用18已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（）求a，b的值；（）求函数f（x）在1，2上的最值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的概念及应用分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值解答：解：f（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=6，b=9 （6分）（2）由（1）得：f（x）=6x3+9x2，f（x）=18x2+18x，令f（x）0，解得：0x1，令f（x）0，解得：x1或x0，函数f（x）在1，0），（1，2递减，在（0，1）递增，f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（1）=15，f（2）=12，函数f（x）的最大值f（1）=15，最小值f（2）=12点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题19已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值解答：解：（）当a=1时，f（x）=3x2+2x1=（3x1）（x+1），令f（x）0，解得x或x1，令f（x）0，解得1x，所以f（x）的单调递增区间为（，1），（，+），单调递减区间为（1，）；（）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，所以方程x3+x2+ax+bax=0恰有2个不同的解，即函数g（x）x3+x2+b的图象与x轴恰有2个交点，g（x）=3x2+2x，令g（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=，可列表：g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=取得极大值+b，要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，只需g（x）极小值=0，或g（x）极大值=0，b=0或b=点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想20（13分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，ac与bd的交点为o，e为侧棱sc上一点（）当e为侧棱sc的中点时，求证：sa平面bde；（）求证：平面bde平面sac；（）（理科）当二面角ebdc的大小为45时，试判断点e在sc上的位置，并说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（i）做出辅助线，连接oe，由条件可得saoe根据因为sa平面bde，oe平面bde，得到sa平面bde（ii）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直（iii）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置解答：解：（）证明：连接oe，由条件可得saoe因为sa平面bde，oe平面bde，所以sa平面bde（）证明：由（）知so面abcd，acbd建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥sabcd的底面边长为2，则o（0，0，0），s（0，0，），a（，0，0），b（0，0），c（，0，0），d（0，0）所以=（20，0），=（0，0）设ce=a（0a2），由已知可求得eco=45所以e（+a，0，a），=（+，）设平面bde法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）易知=（0，0）是平面sac的法向量因为n=（，0，1）（0，0）=0，所以n，所以平面bde平面sac（8分）（）设ce=a（0a2），由（）可知，平面bde法向量为n=（，0，1）因为so底面abcd，所以=（0，0，）是平面bdc的一个法向量由已知二面角ebdc的大小为45所以|cos（，n）|=cos45=，所以，解得a=1所以点e是sc的中点点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对21已知函数f（x）=px2lnx，其中pr（）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（）若函数g（x）=，且p0，若在1，e上至少存在一个x