江苏省苏州市第五中学高中数学 一元二次方程学案 苏教版必修1.doc

一元二次方程一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议一元二次方程的根配方法求根公式掌握选择适当的方法求一元二次方程的根，会用判别式、根与系数的关系解决相关问题一元二次方程的判别式讨论根的个数掌握一元二次方程根与系数的关系探究发现理解二、 预习指导1 预习目标(1)如何求一元二次方程的根；(2)判别式对方程根的影响(0，0，0)；(3)一元二次方程求根公式的形式及其应用；(4)一元二次方程的根与系数的关系2 预习提纲(1) 一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法可以将其变形为ax2bxc _ 因为a0，所以，4a20于是当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x1x2；当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，有当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；当0时，方程没有实数根(2) 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个实数根，则有_； _所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0(a0)的两根分别是x1，x2，那么x1x2_，x1x2_这一关系也被称为“韦达定理”特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20的根因此以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1x203 典型例题例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根(1)x23x30； (2)x2ax10； (3)x2ax(a1)0； (4)x22xa0分析：一元二次方程的根的情况取决于它的判别式在第(3)，(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，因此在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论解：(1)3241330，方程没有实数根(2)该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， (3)解法一：由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以， 当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21； 当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1 解法二： 当a2时x1x21； 当a2时 x11，x2a1(4)由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以,当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根点评：在第(3)( 4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解：解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由()2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于或等于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m1点评：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或等于零因为，目前我们学习的韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根，求| x1x2|解：解法一：由题意可得，| x1x2| 解法二： 点评：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，则| x1x2|(其中b24ac)今后我们经常会遇到求这个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根，(1)求| x1x2|的值； (2)求的值；(3)求x13x23的值分析：如果方程的根容易求出且比较简单，那么直接利用求出的x1和x2求解；如果方程的根x1和x2比较复杂，那么利用韦达定理求解解：解法一：解方程得：x13,x2 | x1x2|， ， x13x23 解法二：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ， (1)| x1x2|2x12 x222x1x2(x1x2)24x1x2 6， | x1x2| (2) (3)x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()点评：若将原题方程换为：x2x10，上述两种解法哪种更优？请同学们试一试.由于一元二次方程中在不求根的情况下能迅速求出，所以要把所求表达式尽量化简成含的式子，然后代入求解例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围分析：要求a的范围，关键是列出a的不等式(组)，可将已知条件转化成符号语言，也可利用根与系数的关系解：解法一：当0，即a时，设x1，x2是方程的两根，则，所以即 所以解法二：设x1，x2是方程的两根，则(1)24(a4)0 x1x2a40 ， 由得 a，由得 a4a的取值范围是a4点评：a是与系数有关的量，而已知条件是根的情形，利用根与系数的关系简洁.例7 已知一元二次方程的根为()，求方程的根解：的根为， ， ，方程可转化为 ， ，的两根为：点评：从这个题目中我们可以发现方程的两根是方程两根的倒数，而两个方程系数之间也有着某种联系.再如一元三次方程的根为，则方程的根为.一般的，在一元整式方程(1)其中，中，设方程(1)的n个根分别为且()，则方程的n个根分别为.这个被称为一元整式方程的倒根变换4 自我检测(1)关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是_(2)方程kx24x10的两根之和为2，则k (3)已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是_(4)已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 (5)方程2x2x40的两根为，则22 (6)方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| (7)试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？(8)写出一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数三、 课后巩固练习 a组1若关于x的方程 (x1)2 1m 没有实数根，则m的取值范围是_2请写出一个两实数根之积为3的一元二次方程_ 3已知、是方程2 x23x10的两个实数根，则 (2)(2 )的值是_4已知关于x的方程2 x2m xn0的两根之和是3，两根之积为4，则m _ ,n_5若关于x的方程 x23xm0的一个根是另一个根的2倍，则m的值是_6求证：关于的方程有两个不相等的实根7对于二次三项式，小明同学得出如下结论：无论取何实数，它的值都不可能等于10，你是否同意他的说法？说明你的理由8(1)如果是方程的一个根，求方程的另一个根及值；(2)如果是方程的一个根，求方程的另一个根及值b组9设是方程的两个根，求下列各式的值：；10若m、n是方程x22009 x10的两个实数根，求m2 nm n2 m n 的值11若方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m_12已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为_13已知关于的一元二次方程，(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为且满足，求的值14设是关于的方程的两个实数根，是关于的方程的两个实根，求的值组15当a取什么数值时，关于x的方程a x2 4 x 1 0只有正实数根？16已知关于x的方程 3 x2 10 x k 0有实数根，求满足下列条件的k的值：(1)有两个实数根； (2)有两个正数根； (3)有一个正数根和一个负数根17已知关于的方程有两个不等的实数根，(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由18已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根(1)是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(2)求使2的值为整数的实数k的整数值19已知菱形abcd的边长为5，两条对角线交于o点，且oa,ob的长分别是关于的方程的根的根，求的值20若关于的方程的两根是一个矩形两边的长，(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的两条对角线长是时，求的值21已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实根22如果方程的两根相等，求之间的一次关系式23若实数，且，求代数式的值四、 心得体会五、 拓展视野一元二次方程求根公式的历史在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题如英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样一个问题：“我把我的正方形的面积加上正方形边长的得，求该正方形的边长”这个问题相当于求解方程该泥版上给出的解法是：1的是，其一半是，将它自乘得，并把它加到上，得，其平方根是，再从中减去的一半，得，于是就是所求正方形的边长这一解法相当于将方程的系数代入公式求解，只不过在计算时用的是60进制现有资料表明，古希腊时期的丢番图至少写过三本著作，算术是其中最重要的一本，共13卷，这是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题幸存的6卷，第一卷主要是一些多元一次或二次方程的问题，其它五卷主要是不定方程问题现仅举几例管窥一下其内容和方法，题中所说的数都是(正)有理数卷问题27：求两数使其和为20，其乘积为96对这个现今非常简单的一类问题，丢番图的解法是巧妙的设所求两数之差为，于是两数为，故有，得所求两数为12和8卷问题8：把一给定平方数分成两个平方数给定的数取16，分成的平方数分别为和方法是，设所求之一为，则另一为，于是=16，解得=，=海伦用纯粹算术方法提出和解决了代数问题他没有采用特别的符号，他是用文字来陈述的例如，他处理这样一个问题：给定一个正方形，知其面积与周长之和为896尺，求其一边这个问题用我们的解法是，求满足的海伦在方程两加上4配成完全平方，然后开放海伦也曾经对二次方程给出一个相当于公式的根的表达式，这个表达式明显由公式变通来的，海伦用配方的方法，解他的方法是：(1)用乘方程的两边，得：；(2)方程两边同时加上，得；(3)使方程两边都成完全平方，得(4)两边开平方，得，于是，由于海伦没有负数的概念，所以他得出的也只有一个正根古印度的数学家对负数的了解也比较早由于印度人允许方程的某些系数是负数，所以他们不象丢番图那样将二次方程分三种类型来讨论，而是归结为(*)来解婆罗摩笈多