上海市金山中学高二数学4月阶段测试试卷 新人教A版(1).doc

2014-2015学年度 11月月考卷题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第i卷（选择题）请点击修改第i卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1过点且与直线平行的直线方程是（ ）a. b.c. d.【答案】【解析】试题分析：设与直线平行的直线方程为，将点代入得，即，所以所求直线方程为，故选择.考点：直线方程及两条直线的位置关系.2若（是虚数单位），则的最小值是（ ）a. b. c. d.【答案】【解析】试题分析：，的最小值是，故选择，也可从两个复数差的模的几何意义考虑.考点：复数的运算及复数模的几何意义3动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（ ）a.有最大值 b.有最小值 c.有最小值 d.有最小值【答案】【解析】试题分析：设动圆圆心，半径为，依题意则有，由得，代入得，即，所以，因此圆的面积有最小值，故选择.考点：4正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（ ）a.圆的一部分 b.椭圆的一部分c.双曲线的一部分 d.抛物线的一部分 【答案】【解析】试题分析：设，可知，首先不考虑点在面内，只考虑，则点落在以为轴，母线与轴的夹角为的圆锥面上，然后加上点在面这个条件，则点的轨迹是面与圆锥面的交线，而面与轴是平行的，由圆锥曲线的产生来源可知：点的轨迹是双曲线的一部分，故选择.考点：圆锥曲线的产生及空间想象能力.第ii卷（非选择题）请点击修改第ii卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）5若直线经过点，方向向量为，则直线的点斜式方程是_.【答案】【解析】试题分析：若直线经过，且直线的方向为，则把方程称为直线的点斜式方程，据此代入，解得.考点：直线的点方向式方程.6若直线 与直线垂直，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，即有考点：两条直线的位置关系判定.7若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为 .【答案】【解析】试题分析：因为方程（）是实系数方程，所以它的虚根是以共轭虚数的形式成对出现的.因此由（为虚数单位）是方程的一个根，可知也是此方程的根，所以由韦达定理得，即有.考点：复数及一元二次方程根的理论.8与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是_.【答案】【解析】试题分析：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为（），将点代入得，即有，所以所求方程为，即.考点：共渐近线的双曲线方程的特点.9将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为_.【答案】【解析】试题分析：首先函数的图象为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆，它绕轴旋转一周所形成的几何体是以原点为球心，为半径的球，故体积为.考点：球及球的体积计算.10在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .【答案】【解析】试题分析：在东经圈上有甲、乙两地它们的球面距离就是东经圈这样一个大圆（实际是半个大圆）上甲、乙两地所对的劣弧长，而这两地所对的球心角即为它们的纬度之差，即弧度，从而两地的球面距离是.考点：球面距离的计算.11设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_.【答案】【解析】试题分析：因为一个扇形的半径为，圆心角为弧度，用它做成一个圆锥的侧面，设这个圆锥的底面半径为，高为，依题意圆锥的母线，由，即，所以，从而，进而有该圆锥的体积 （）.考点：圆锥及圆锥的体积计算.12已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，.考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.13已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有_条.【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.考点：直线与双曲线的位置关系.14如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是_.【答案】【解析】试题分析：由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的，设气球的半径为，入射角为的平行光线与底面所成角就为，则有，即，从而气球的表面积为.考点：球及球的表面积计算.15设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_.【答案】【解析】试题分析：过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足设为，则为底面的中心，连接并延长交于，则有，连接，则，因此面，从而面面，交线为，过点作的垂线，垂足为，则即为点到侧面，由侧棱与底面成角，知，又，则有，从而，进而，在中，运用等面积思想有，得.考点：立体几何中的有关计算.16已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于_.(不扣分)【答案】（不扣分)【解析】试题分析：以为边作正三角形，设线段与椭圆的交点为，则点为边的中点，连接，则，由于是边长为的正三角形，所以，由椭圆的定义可知，即有.考点：椭圆的定义及性质.17如图，在直三棱柱中，是上一动点，则的最小值是_.【答案】【解析】试题分析：在图2中，连接，由已知条件可求得，因为，所以，将直角和等腰直角展开在同一平面内，如图，则由余弦定理得，因为，所以的最小值是，空间距离的最小值，经常要通过图形展开，转化为平面图形问题来解决.考点：空间图形的折叠与展开及距离计算.18在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，则由中的所有点所组成的图形的面积是_.【答案】【解析】试题分析：因为的中点为坐标原点，由点与点到直线的距离之和等于，可知坐标原点到直线的距离为，则直线即为单位圆的切线，这样所有单位圆的切线就构成了集合，根据表示可知它是由单位圆内部的所有的点所组成的集合，面积即为单位圆的面积.考点：集合语言及直线与圆的知识.评卷人得分三、解答题（题型注释）19已知复数满足：且是纯虚数，求复数.【答案】或者.【解析】试题分析：求复数，从复数实数化的方法考虑，即求复数的实部和虚部，这样就必须建立关于实部和虚部的方程组，而题目中恰好提供了建立方程的两个条件，只要设（），等价转化一下，即可解决问题.试题解析：设（） 1分 3分又是纯虚数 5分，且 7分解可得或者 11分或者 12分考点：复数的概念及运算20已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】试题分析：（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点， 8分 所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）考点：1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.21如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于.（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）了解圆柱的概念，掌握圆柱体积和侧面积计算公式即能解决此题；（2）求异面直线所成角，经常采用平移法，即通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角来解决问题，此题可通过平移至，转化直线与所成角来处理.试题解析：（1）设圆柱的底面半径为，由题意， . 2分 . 6分（2）连接，由于，即为异面直线与所成角 (或其补角)， 8分过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，由，由等角定理，得，所以，可解得，在中，由余弦定理， 13分异面直线与所成角. 14分考点：1.圆柱的体积与表面积；2.异面直线所成角.22定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1），相似；（2）；（3），或，.【解析】试题分析：（1）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（2）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（3）解析几何中的定点、定值问题是有一定难度的，这种带有探究性问题，通常都假设存在，然后去求，若有解则存在，若无解，则不存在，如何求？如何从一个方程中求出多个字母的值，关键依赖于对题意的正确理解和运算能力，通过这道题我们也能悟出此类题的一般的解题规律.试题解析：（1），相似； 4分（2）由，得； 8分（3）设、（为常数），将代入，整理得 10分则有 （）由得，即亦即（）将（）代入（）整理得： 12分因为对动直线，总要存在定点，所以上式成立与无关，因此必须有 14分得，或，. 16分考点：1.椭圆的方程与性质；2.解析几何中的定点问题的处理.23已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）作出解题所需图形，对照图形和双曲线的定义不难解决此问题；（2）按照数量积的定义即需求模和夹角，这都可以通过解析几何的工具性知识在形式上得到表示，然后通过设而不求和整体思想得以解决；（3）通过分析可将等式的证明转化为垂直关系的判定，仍然运用设而不求和整体思想来解决，注意要对直线的斜率是否存在分情况讨论，这样解题才严谨.试题解析：（1）设、的坐标分别为、因为点在双曲线上，所以，即，所以 在中，所以 2分由双曲线的定义可知：