高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题九 选做大题 9.1 坐标系与参数方程课件 文.ppt

专题九选做大题 9 1坐标系与参数方程 选修4 4 3 4 5 6 7 8 1 极坐标系与极坐标 1 极坐标系 如图所示 在平面内取一个定点o 叫做极点 自极点o引一条射线ox 叫做极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 2 极坐标 设m是平面内一点 极点o与点m的距离 om 叫做点m的极径 记为 以极轴ox为始边 射线om为终边的角xom叫做点m的极角 记为 有序数对 叫做点m的极坐标 记为m 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 可取任意实数 9 2 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 x轴的非负半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 设m是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标为 则它们之间的关系为x cos y sin 另一种关系为 2 x2 y2 tan x 0 3 直线的极坐标方程若直线过点m 0 0 且此直线与极轴所成的角为 则它的方程为 sin 0sin 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1 直线过极点 0和 0 2 直线过点m a 0 且垂直于极轴 cos a 10 4 圆的极坐标方程若圆心为m 0 0 半径为r 则圆的方程为 2 2 0 cos 0 r2 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1 圆心位于极点 半径为r r 2 圆心位于m a 0 半径为a 2acos 5 曲线的参数方程在平面直角坐标系xoy中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值 上式所确定的点m x y 都在这条曲线上 则称上式为该曲线的参数方程 其中变量t称为参数 11 6 一些常见曲线的参数方程 12 13 考向一 考向二 考向三 考向四 参数方程与极坐标方程间的互化例1在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 t为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 4cos 1 说明c1是哪一种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公共点都在c3上 求a 14 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 消去参数t得到c1的普通方程x2 y 1 2 a2 c1是以 0 1 为圆心 a为半径的圆 将x cos y sin 代入c1的普通方程中 得到c1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 2 曲线c1 c2的公共点的极坐标满足方程组若 0 由方程组得16cos2 8sin cos 1 a2 0 由已知tan 2 可得16cos2 8sin cos 0 从而1 a2 0 解得a 1 舍去 a 1 a 1时 极点也为c1 c2的公共点 在c3上 所以a 1 15 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 无论是参数方程化为极坐标方程 还是极坐标方程化为参数方程 都要先化为直角坐标方程 再由直角坐标方程化为需要的方程 2 求解与极坐标方程有关的问题时 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 若最终结果要求用极坐标表示 则需将直角坐标转化为极坐标 16 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆c的极坐标方程为 2cos 1 求c的参数方程 2 设点d在c上 c在d处的切线与直线l y x 2垂直 根据 1 中你得到的参数方程 确定d的坐标 解 1 c的普通方程为 x 1 2 y2 1 0 y 1 2 设d 1 cost sint 由 1 知c是以c 1 0 为圆心 1为半径的上半圆 因为c在点d处的切线与l垂直 所以直线cd与l的斜率相同 17 考向一 考向二 考向三 考向四 求两点间距离的最值例2在直角坐标系xoy中 曲线c1 t为参数 t 0 其中0 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 2sin c3 2cos 1 求c2与c3交点的直角坐标 2 若c1与c2相交于点a c1与c3相交于点b 求 ab 的最大值 18 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 曲线c2的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 2 曲线c1的极坐标方程为 r 0 其中0 19 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程 常用的消参方法有代入消参 加减消参和三角恒等式消参等 往往需要对参数方程进行变形 为消去参数创造条件 2 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与x轴正半轴重合 两坐标系的长度单位相同 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 20 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 1 写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程 2 设点p在c1上 点q在c2上 求 pq 的最小值及此时p的直角坐标 21 考向一 考向二 考向三 考向四 因为c2是直线 所以 pq 的最小值即为p到c2的距离d 的最小值 22 考向一 考向二 考向三 考向四 求三角形面积的最值例3 2017全国 文22 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c1的极坐标方程为 cos 4 1 m为曲线c1上的动点 点p在线段om上 且满足 om op 16 求点p的轨迹c2的直角坐标方程 2 设点a的极坐标为 点b在曲线c2上 求 oab面积的最大值 23 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 设p的极坐标为 0 m的极坐标为 1 1 0 由 om op 16得c2的极坐标方程 4cos 0 因此c2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 2 设点b的极坐标为 b b 0 由题设知 oa 2 b 4cos 于是 oab面积 24 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得对于极坐标和参数方程的问题 既可以通过极坐标和参数方程来解决 也可以通过直角坐标解决 但大多数情况下 把极坐标问题转化为直角坐标问题 把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 25 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 26 考向一 考向二 考向三 考向四 求动点轨迹的方程例4已知动点p q都在曲线c t为参数 上 对应参数分别为t 与t 2 0 2 m为pq的中点 1 求m的轨迹的参数方程 2 将m到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断m的轨迹是否过坐标原点 27 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 依题意有p 2cos 2sin q 2cos2 2sin2 因此m cos cos2 sin sin2 当 时 d 0 故m的轨迹过坐标原点 解题心得在求动点轨迹方程时 如果题目有明确要求 求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程 那么就按要求做 如果没有明确的要求 那么三种形式的方程写出哪种都可 哪种形式的容易求就写哪种 28 考向一 考