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2 综合法与分析法 1 综合法 证明不等式时 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过 而得出命题成立 综合法又叫顺推证法或由因导果法 2 分析法 证明命题时 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这是一种 的思考和证明方法 推理论证 充分条件 执果索因 3 反证法先假设要证的命题 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 的结论 以说明假设 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 不成立 推理 矛盾 不正确 4 放缩法证明不等式时 通过把所证不等式的一边适当地 或 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 放大 缩小 5 数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤 1 证明当 时命题成立 2 假设当 k n 且k n0 时命题成立 证明 时命题也成立 综合 1 2 可知 结论对于任意n n0 且n0 n n 都成立 n n0 n k n k 1 方法规律 用综合法证明不等式是 由因导果 用分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 证明不等式的方法和技巧 1 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显 可考虑用分析法 如果待证的命题以 至少 至多 等方式给出或否定性命题 唯一性命题 则考虑用反证法 如果待证不等式与自然数有关 则考虑用数学归纳法等 2 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 尤其是对含绝对值不等式的解法或证明 其简化的基本思路是去绝对值号 转化为常见的不等式 组 求解 多以绝对值的几何意义或 找零点 分区间 逐个解 并起来 为简化策略 而绝对值三角不等式 往往作为不等式放缩的依据 3 在使用基本不等式时 等号成立的条件是一直要注意的事情 特别是连续使用
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