北师大版课题学习猜想证明拓广ppt课件.ppt

课题学习 猜想 证明与拓广 天马行空官方博客 教学目标 1 知识与技能 1 经历猜想 证明 拓广的过程 增强问题意识和自主探索意识 获得探索和发现的体验 2 在问题解决过程中综合运用所学的知识 体会知识之间的内在联系 形成对数学的整体性认识 2 过程与方法在探究过程中 感受由特殊到一般 数形结合的思想方法 体会证明的必要性 3 情感 态度与价值观 在合作交流中扩展思路 发展学生的推理能力 教学重点难点1 重点 通过对一个开放性 探究性的课题的探索 获得探索和发现的体验 体现归纳 综合和拓展 感悟处理问题的策略和方法 2 难点 处理问题的策略和方法 问题1 1 任意给定一个正方形 是否存在另一个正方形 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 解 设给定的正方形的边长为a 则其周长为4a 面积为a2 若面积变为2a2 则其边长应为此时周长应为它不是已知给定的正方形的周长的2倍 所以无论从哪个角度考虑 都说明不存在这样的正方形 2 任意给定一个矩形 是否存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 合作交流 解读探究 做一做 如果已知矩形的长和宽分别为2和1 结论会怎样呢 你是怎么做的 和同伴交流 总结如下 有三种思路可以选择 1 先固定所求矩形的周长 将问题化为方程x 6 x 6是否有解的问题 2 先固定所求矩形的面积 将问题转化为方程x 4 x 6是否有解的问题 3 也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为12和4 设其长和宽分别为x和y 则得方程组然后讨论它的解是否符合题意 议一议 当已知矩形的长和宽分别为3和1 是否还有相同的结论 已知矩形的长和宽分别为4和1 5和1 n和1呢 更一般地 当已知矩形的长和宽分别为n和m时 是否仍然有相同的结论 解 1 当已知矩形的长和宽分别为3和1 那么其周长和面积分别为8和3 所求矩形的周长为16 面积为6 设所求矩形的长为x 则宽为8 x 则有x 8 x 6 即x2 8x 6 0 解得 经检验符合题意 所以存在一个矩形 长为宽为 解 当已知矩形的长和宽分别为n和m时 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求的矩形周长和面积为4 m n 和2mn 设所求矩形的长为x 那么宽为2 m n x 根据题意 得x 2 m n x 2mn 整理得 x2 2 m n x 2mn 0 解得 结论 任意给定一个矩形 一定存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 经检验x1 x2符合题意 所以存在一个矩形 它的长为宽为 练一练 当已知矩形的长和宽分别为n和m时 是否仍然有相同的结论 挑战自我 1 观察下列各式 你能得到怎样的结论 并证明你的结论 解题思路 通过类比引伸推广 归纳出一般结论 解题关键是探索归纳 猜想 2 已知 1 如图 AB BD于点B CD BD于点D AD和BC相交于点E EF BD于点F 求证 2 若将图1中的垂直改为斜交 如图2 AB CD AD与BC相交于点E EF AB交BD于点F 则 1 的结论还成立吗 如果成立 请给予证明 不成立 请说明理由 3 猜想S ABD S BED和S BDC有什么关系 并证明你的猜想 超越自我 已知等边 ABC和点P 设点P到 ABC三边AB AC BC的距离分别为h1 h2 h3 ABC的高为h 若点P在一边BC上如图 1 此时h3 0 可得结论 h1 h2 h3 h 请直接应用上述信息解决下列问题 当点P在 ABC内 如图 2 点P在 ABC外 如图 3 这两种情况时 上述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 h1 h2 h3与h又有怎样的关系 请写出你的猜想 并证明你的猜想 N Q 证明 过P作NQ BC交AB AC AM分别为N Q K 由题意得 h1 h2 AK K NQ BC PF BC AM BC KPF MFP KMF 900 四边形KMFP是矩形 KM PF h3 AK AM KM h1 h2 h h3即h1 h2 h3 h 图3又有怎样的关系呢 解 如图2 当点P在 ABC内部时 结论 h1 h2 h3 h 仍然成立 证明 设等边 ABC的边长为a 连结PA PB PC S PAB S PAC S PBC S ABC 对于图3 又有怎样的关系 又如何证明 总结反思 拓展升华 思考 对于图1 为什么会成立 对于图2呢 对于图2 证明如下 通过本节课的学习 你有哪些收获 1 本节课的数学知识是综合