近似已知函数的求导方法.pdf

2 0 0 6 年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 第 2 8卷第 1期 近似已知函数的求导方法 罗兴钧 杨素华 赣南师范学院数学与计算机系 赣州 3 4 1 0 0 0 陈仲英 中山大学科学计算与计算机应用系 广州 5 1 0 2 7 5 DI FFERENTI ATI ON OF APPROXI M ATELY SPECI FI ED FUN CTI ONS L u o X i n g j u n Y a n g S u h u a D e p t o f Ma t h a n d C o m p u t e r G a n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y G a n z h o u 3 4 1 0 0 0 Ch e n Z h o n g y i n g D e p a r t m e n t o f S c i e n t i fi c C o m p u t i n g a n d C o m p u t e r A p p l i c a t i o n s Z h o n g s h a n U n i v e r s it y G u a n g z h o u 5 1 0 2 7 5 Abs t r a c t W e p r e s e n t a n e w s t a b l e a p p r o x i ma t e me t h o d f o r d i ff e r e n t i a t i o n o f s p e c i fi e d f u n c t i o n s Th e c o n v e r g e n c e r a t e o f t h e a p p r o x i ma t e d i ff e r e n t i a t i o n i s i m p r o v e d u n d e r s o me c o n d i t i o n s a n d t h e i mp r o v e d e s t i ma t e i s O 6 4 a s c o mp a r e d wi t h t h e Gr o e t s c h 8 me t h o d f o r a p p r o x i ma t e d i ff e r e n t i a t i o n Nu me r i c a l e x p e r i me n t s a x e p r e s e n t e d Ke y wo r d s I l l p o s e d p r o b l e ms a p p r o x i ma t e d i ff e r e n t i a t i o n c o n v e r g e n c e r a t e A MS 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s ifi c a t i o n s 6 5 J 2 0 6 5 D 2 5 中图法分类号O 2 4 1 2 O 2 4 1 4 1 引 言 在实际问题中会遇到求近似已知函数的微商 这是一个典型的不适定问题 f1 一 引 即函 数的一个微小的扰动会使得导数值有巨大的变化 因此求导数是相当不稳定的 对这类 收稿日 期 2 0 0 4 0 4 0 3 l 维普资讯 2 0 0 6 年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 7 7 问题需要用特殊的方法 常用的方法有磨光法 3 l 差分法 4 6 正则化方法 l 及极小二 乘法 8 J G r o e t s c h 在文献 5 6 9 中对这一问题做过详细的研究 尤其在文献 9 中 采用 了一种新的方法 即通过求积分的方法来求近似导数 得到了求导运算中稳定近似导数 的最优收敛率为 0 0 这里 是近似数据的误差界 G r o e t s c h在文献 9 中引进一算子 D I f h D h X t f x t d t f 一h 这里 h是小参数 把 D a f x 作为 z 的近似值 假设 z 是某区间 上的有三 阶有界的连续导数 z 是 z 的有界可积近似函数 则只要选择 h c 3 就有 lID h f 一 l1 0 我们在文献 9 的基础上提出了一种新的求近似导数的稳定方 法 在一定条件下近似导数的收敛率达到 0 并且上述收敛率是最优的 2 稳定求导数方法 假定 z 是某区间I上的有界连续可微函数 引入算子 z 吾 z d t 一 z d t 2 1 其中的 h 0 为参数 并把 D h f X 作为 z 的近似值 已知 z 的有界可积近似函数 z 满足 l1 一 l 1 s u p l z 一 z l 2 2 霉 定理 2 1 假设 z 在区间 上有 5 次有界连续导数 M s u p z l 则 lI D I 一 l1 c h 这里 c 3 M 0 证明由T a y l o r 公式 z 筹 z 蔷 z z 蔷 5 口 2 3 这里 介于 z与 z 之间 我们将 t 展开后再代入 2 1 得到 3 h 卅 卅 d t 一 丽L 3 h 卅 卅 4 V 广t 6 5o 6 l2 t d t 卅 3 h t O d t 一 5 f t d t 维普资讯 7 8 罗兴钧等 近似已知函数的求导方法 第 1期 从而按假设我们有 一 I 1 M h M h 4 M 定理 2 2 假设定理2 1 的条件成立 则 i D h f 当h 0 时 ii Dh 当 h 0 0时 证明 i 由定理 2 1 立刻可知结论 i 成立 再来证明 i i 由于 lD Jl 一Dh f x I D A I 一 l 筹 蒜 a t 3 2 1 一 h 则由定理 2 1 及上式可知 IlD Il Il D J1 f J D h Il IlDJl 一f 11 M h 由此可见结论 i i 成立 推论 2 1 假设定理 2 1 的条件成立 令 9 M 则当 l 时 9 l t zJ 值 且 最 小 值 为 M 且 llO h I M 2 4 显然 如果取 h d X l 则 lI D Jl f 一 ll 0 这个结果是最优的吗 能不能获 得更好的收敛阶 0 6 呢 下面的定理给出了确切的回答 定理 2 3 假设 在区间 上有 5 阶有界连续导数 若对某个 h l D D 时 对所有满足不等式 ll 一 lI 的 有 I1 一 I 1 D 则 为 4 次多项式 证明假设有 使得 5 0 0 则由连续性知存在某个 p a 0 P 1 0 使得 a 1 一p 5 t 0 1 p 一 五 日 t 恤 维普资讯 2 0 0 6 年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 7 9 则 t dt一 t 3 2 一1 一 h 令 f 6 t f t 一吁 t 则 IIf 一f lI 由T a y l o r 公式有 咖 筹 y S 卅 4 c5 8 d 8 千 县 3 h t 但是 当 0 h H 时 及 z t z t 一8 4 1 5 s d s d t 一 志 t 厂 5 8 础 t l 蚪 茁 t 一 8 4 1 5 s d sd t 而 3 厂 5 8 d 8 捌t 面3 a 1 p 厂 T X Jf Wf2 8 4 d sdt 3 o 茁 t 一8 s d s d t t 5 8 a t c 捌 t 维普资讯 8 O 罗 兴 钧 等 近 似已 知 函 数的 求 导 方 法 蔓兰 塑 一 c e a sa t 于是 当 0 h H时 D h 一 竺 4 C 0 是不成立的 同理可以证明 0 也 是不成立 于是 5 0 在区间 J 上恒成立 故 是 4 次多项式 3 数值例子 为了获得近似已知函数的近似导数 采用复合梯形求积公式t c d 砉 c t 这里 h t 2 l h i 1 2 n一1 h 2 n 于是 近似 G r o e t s c h求导公式可近似写为 d t m t 啪 3 1 维普资讯 2 0 0 6 年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 近似求导公式 2 1 可近似写为 D h x tf x t h d t 一 二 啪t z D h z 8 1 这里 t i 1 i h i 0 1 2 假设 z r a n d 取 z s i n 0 一 2 z 2 n 1 0 0 则 2 z c o s 表 1 是数值实验结果 表中第一行 G M NM 分别表示 G r o e t s c h Me t h o d N e w Me t h o d D h z D h 分别表示用G r o e t s c h Me t h o d N e w Me t h o d 求 的近似导数值 表 1中取 h l 0 4 4 0 0 h 2 0 4 5 4 5 j 这样做可以分别使误差 II 一 II G r o e t s c h M e t h o d 和 IIJ Jl 一 II N e w M e t h o d 的上 界 取最小 见推 论 2 1 这样做才好比较两种方法 T a b l e 1 N u me r i c a l R e s u l t s h 1 0 4 4 0 0 h 2 0 4 5 4 5 I j 以下图形是用 MA T L A B进行计算所得 图形 1 2 中 0 1 图形 3 4中 0 0 4 实线表示导函数 精确解 对应的图形 带 O 线表示导函数的计算值 从表中及以下图 形中来看 我们的求导方法 N e w M e t h o d 是有效的 优于G r o e t s c h的求导方法 图形显 示 尤其在曲线两端附近 效果更明显 开口 u 憎 1 G 嘣 n h M t h o d h 0 4 4 0 1 1 3 开 g u n 2 N e w M e t h o d h o 4 S 4 5 0 1 1 5 3 一 一 I ID Jl 一 o I ID 一 II I I 11 号 I ID 一 II 0 1 0 2 8 4 4 0 1 3 0 0 I 3 2 0 3 0 8 2 0 2 0 0 8 0 2 4 7 5 0 0 7 9 2 1 3 3 2 8 0 5 9 7 3 0 0 4 0 1 4 7 9 0 0 46 5 1 2 7 9 5 0 61 1 0 0 0 2 0 0 9 7 6 0 0 2 9 5 1 3 2 4 3 0 6 7 5 1 0 0 1 0 0 5 6 2 0 0 2 3 0 1 2 1 1 2 0 9 1 6 3 0 0 0 5 0 0 3 8 6 0 0 1 2 0 1 3 2 1 9 0 8 3 3 3 0 0 0 2 5 0 0 2 4 6 0 0 0 5 9 1 3 3 7 0 0 7 1 0 8 维普资讯 8 2 罗兴钧等 近似已知函数的求导方法 第 1期 F i g u r e 3 G r o e t s c h M e t h o d h 0 4 4 o J Ml 0 3 F i g u r e 4 N e w M e t h o d h 0 4 5 4 5 0 0 4 1 5 参 考 文 献 1 Ti k h o n o v A H Ar s e n i n V Y S o l u t i o n s o f i l l po s e d p r o b l e ms Ne wYo r k W i l e y 1 9 7 7 2 An d r e a s Ki t s c h An i n t r o d u c t i o n t o t he ma t h e ma t i c a l t h e o r e m o f i n v e r s e p r o b l e ms S p r i n g e r Ve r l a g Ne w Yo r k 1 9 9 6 3 Mu r i o D A Au t o ma t i c n u me r i c a l d i ff e r e n t i a t i o n b y d i s c r e t e mo d i fi c a t i o n Co mp u t Ma t h Ap p 1 1 9 8 7 1 3 B8 1 3 8 6 4杨宏奇 李岳生 近似巳知函数微商的稳定逼近方法 自 然科学进展 2 0 0 0 l O 1 2 1 0 8 8 1 0 9 3 5 Gr o e t s c h C W Op t i ma l o r d e r o f a c c u r a c y i n V a s i n S me t h o d f o r d i ff e r e n t i a t i o n o f n o i s y f u n c t i o n s J O p t i m T h e o r y A p p 1 1 9 9 2 7 4 2 3 7 3 3 7 7 6 Gr o e t s c h C W Di ff e r e n t i a t i o n o f a p pr o x i ma t e l y s p e c i fi e d f u n c a t i o n s Ame r Ma t h e Mo n t h l y 1 9 9 1 9 8 8 4 7 8 5 1 7 Cu l l u m J Nu me r i c a l d i ff e r e n t i a t i o n a n d r e g u l a r i z a t i o n S I AM J Nu