近年自主招生试题中的数列有界问题.pdf

3 2 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 近年自主招生试题中的数列有界问题 山东省东营市胜利第一中学 2 5 7 0 2 7 李加军吴盛盛 近几年各名校自招试题中屡屡出现从数列的 有界性考查递推数列 解决的方法是不等式放缩或 数列极限的定义 知识和能力上要高于高考要求 与 高等数学接轨 相当于竞赛的一试或预赛程度 要求 学生思维灵活 应具有较强的恒等变形能力和技巧 适当拓展部分课外知识 下面结合具体实例分析 供 读者参考 预备知识 1 数列极限的占一 定义 设 口 为 数列 8 为定数 若对任给的正数g 总存在正整数 使得当7 时有I 口 一口I 占 则称数列 口 收敛于n 定数 称为数列 口 的极限 并记作l i m a 口 2 单调递增有上界 或单调递减有下界 数列 存在极限 3 不等式的传递性 若口 b b c 则口 c 例1 2 0 1 4 年 华约 自招试题 已知数列 口 满足 口1 0 口 1 n i p q 口 1 若q 1 求口 2 若Ip I 1 Iq I 1 求证 数列 口 有界 解 1 因为口 1 所以D l n p 口 所以 口n 1 一a n n p i 若P 0 贝0 口 1 n 所以a 口1 0 i i 若p 1 贝0a l 一口 I 于是当 l 2 时 有n n 一a i 1 口 i 1 鱼L 卫生二蛆 掣 又口 0 也适 合 所她 血产 i i i 当p 0 且P 1 时 由口 一口 n p 得口 8 i 一8 口 i 1 p 卜1 即口 l 一1 P 8 1 凡一2 p 一2 2x p 2 1 P 则p a 1 1 一1 p n 一2 p 4 1 2Xp 3 1 x p 2 两式相减得 p 一1 口 n 一1 P 一 P 1 p 3 p 2 p n 一1 p 一訾 n l 矽一智 止垮竿血 所雌 鱼L 卷铲 经验证 p 时也适合 f 巫 p 1 牡 2 i 譬赫1 p 如川 o p 一 2 一 7 2 方法一 In lI In p q a I I t Ip I4 I qII 口 I 7 1 IpI l 口 I 所以I 口 lI I 口 I t IP4 所以I 口 I l 一1 IpI4 1 l 一1 I P I8 2 2I P 2 IpI 垃型 生业 因为IpI l 所 IPI 一1 2 一1 以 l 一1 IpI 4 一 lI pI n 一1 IpI 一 n I I pr 0 删h n k 抽 所 以数列 口 有界 方法二 i 当p q 0 时 0 所以数列 口 有界 i i 当p g o 时 口 p 口 n p 一 所以 等三 一争一 所以务3 1 n 2 一 争 掣 所地 半又当 l pI 1N l i r a n 1 Ip l 4 l i r a 并 卜 十一lnI 土恐n 赫 上恐2 土恐n 万j 五丁百2 土恐 2 I pI I nIpI 2 土恐揣 o l i r a I 口 I l i m 丛旦 三 上上 0 l 时 都有I 口 I 1 取 M l lo lI I 口2I I 口 1I 1 贝4 对一切儿 N 都有I 口 I 肘 故数列 a 有界 i i i 当p q 时 由口 1 印 q a 得口 1 万方数据 2 0 1 4 年第6 期 中学数学研究 3 3 止等铲训 ga n 墨静飞 于是口 号卫学P n l 墨黼 g 所虬 吐 垮 掣 目为 l g l l q p 2 川一 一 罂l i m 一l i m 畦鼍等产世 P 南q H 口一p 一 舾印4 又当op 1 时 地 l p I 4 2 恐r 责j 2 n nI 土恐 jk 土恐击卫 生 o 一lim IIP I n P I nI P I 口 I H 一 H l J H 南璺 l I pI o 2 时 都有In l 0 为常数 1 求证 对任意正数M 存在N N 当t i N 时 a 肘 2 设6 2r 瓦 s 是 6 n 的前项和 求证 对任意d 0 存在N N 当 l N 时 有O IS 一1I 0 C 0 所以口 l n c a 2 n 口 l n c a 2 一 c a 一1 2 a n a n l D n a 4 一1 a 2 一a l 所以 a n a n a R l a n l a n 一2 a 2 一口l a l n 一1 口2 一口1 n 一1 c a 2 故对任意正数M 存 在 f j 与1 2E 当n 时 口 口 1 2 叁 一1 c 8 1 2 等嘲2 腹 2 由a l a c a 2 得a I n 1 c a 所虬 去 毒 玩c a n 2 瓮署 面1 一瓦1 所以s 如i 1 i 1 一石1 所以I J s 一 I l 0 且由 1 知口 l l c 口l 所以 C 口lc a l 忑1 o 取 磊辛a c 口n l l c 口l Ld c I J 舭 l J 7 时 有o I s 一击l 砑1 研1 土 一 L 一 d L 一 0 c 0 所 以a 州 a c a 2 a 所以 a 是单调递增数列 假设结论不成立 则存在正数M 对任意的正整数 t i 都有a M 从而 a 单调递增有上界 故必有 极限 设为1 由于数列各项为正 所以Z 0 对a 川 d c a 2 两边取极限 得Z Z c Z 2 故l 0 与 1 0 矛盾 故假设不成立 即对任意正数M 存在 N 当 l N 时 a 胍 2 由a 蒯 a c a 2 得a 州 a 1 c a 所她 去 去 羔 鼍暑 瓦1一瓦11 所峨2 酗2 者一玄1 所训s n 1 一上I 上 o 又由第 1 问知l i m n o 所以 c a lC 口8 8 一l i m 1 o 所以姆Is 一击l 一l i m 1 c a1 c a 4 1 o 忡 n 尊 C 口l 8 根据极限的定义知对任意d 0 存在N N 当 1 时 有o Is n 一壶I o 使 万方数据 3 4 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 得对任意正整数n 均有a 土a 一南a 1 十 I x R 当 l 2 时 a 2 a 1 2 一a 1 a29 3 a 4 得a 一2 下面用数学归纳法证明 而当a 一2 时恒有 2 n 当n 1 或 l 2 时 由上已经验证结论成立 假设 l k 时结论成立 即由I X 一2 得a 2 k k 2 贝0a I l a 2 一k a I I X a a 一k a 2 k 2 k k a 2 k 2 a 于是a I 1 2 k 1 2 k 2 a 一2 k 1 2 k k 一1 a 一2 2 2 a 一2 a 2 0 所以a I 1 2 k 1 故n 玉 1 时结论也成立 由数学归纳法知结论成立 故 实数a 的取值范围是 一2 2 方法一 若口 一2 七 1 当n 2 t l I 一 时 a 1 2 2 a 一2 口 2 一n a 一4 2 a 4 a n a 一 l 一2 显然a 0 又a 一2 时 口 2 n I 2 l 2 所以n 2 时 a l 一2 2 a 2 所以毒i 壶 所以士 1 2 石l 尹1 乏与 士 老 所以 可1 去 j 1 去 老 去 士 去 士 1 虿122 卜一i 忑 尹 i 互2i j 1 虿 砉 F I l 虿1 歹1 尹1 2 一嘉 1 一a 2 口 a I 所以口 o 即 有a M 说明 通过变形得到上 a n l ll i a i a n 可知 需要裂项相消 但要找到M 先要将口 放缩 这是本 题的关键点 也是难点 例4 2 0 1 3 卓越联盟 试题 数列 a 满足 口 1 口 2 一n a a 首项口t 3 1 若a 2 n 恒成立 求实数a 的取值范围 2 若a 一2 求证 i 之i i 之i i