试谈空间想象能力的培养.pdf

1 2 中 等狱掌 口 等 试 谈空 间想象能力的培养 朱华根 培养 学生的空间想像能力 是立体几何教学的 一项重要 任务 我认为 空间想象能力主要包括三 个方面 对空间图形的观察能力 绘图能力和分析 思考 能力 下面谈谈在立体几何教学中培养学生的 空间 想象能力的一些粗浅体会 第一 培养学生的观察能力 一 引导学生去砚察 讲异面直线约概念时 可以先提出这样一个问 题 两条 不重合的 直线若不相交 是否一定平 行 不 少学生可能回答 一定平行 这时可让学 生观 察教室里的一些直线之间的关系 引导他们发现 在空间里有既不相交又不平行的直线存在 讲直线与平面所成的角 的概念时 可以联系炮 的仰角这个概念 指出在一些实际问题中需要研究 直线与平面所成的角 但以前所讲的角都是由两条 射线组成的 对于它的大小和度量 学 生们很熟 悉 而直线与平面所成的角 其基本元素是一条直 线和一个平面 似乎很难定义这种 角 的大小 这样一 说 学生很感兴 趣 于是可以让学生观察直 线与平面相交 的模型 师生 共同讨论线面夹角的 定 义方法 二 引导学生去哥找 根据所述空间图形的特性 引导学生去寻找具 有这种属性的空间模型 是培养学生观察能力的一 个好方法 它是使学生最终摆脱模型进行对空间图 形分析研究的一个重要途径 具体做法可从以下几方面考虑 1 对直线与直线 直线与平面 平面与平面的 每一种位置关系 要求学生能够举出具体的实例 对某些公理 定理灼实际应用也应该适当介 绍一 点 2 对于柱 锥 台 球等几何体 应要求学生 能够找出空间的具体模型 并要求学生能自 制模 型 3 对一些学生想象不 出的空间图形 可以要求 学生去寻找相应的空间形式 例如 初学阶段不少 学生可能想象不出 三条直线两两垂直交于一点 的目形 于是可以要求学生去寻找这个田形的具休 形式 学生很快就会发现教室的一角 就是这个空 闻图形的具体形式 第二 培养学生的绘图能力 在平面上画空间图形 往往不能画出其真实形 状 而只能画出其直观图 所以立体几何中的绘图 问题尤为突出 一 应 妥求学生能够熟练而正确地画出基本田 形的谊观困 首先 要求学生能够熟练地画出直线与直线 直线与平面 平面与平面的各种位置关系的直观 图 较熟练地画出一些柱 锥 台和球的直观图 教 学时应 注意以下几个间题 1 基本图形的画法应是多样化的 如异面直 线 可引导学生总结出以下几种画法 图D 中异粼 合爸爸 图 1 2 基本图形教学时 也应介绍一些基本的画 图方法 如画相交平面 图2 一 子 一 续参 冲 今 图 2 3 注意防止学生理解上的形式主义和一些不 妥当的画法 例 如 画一个平行四边形表示平面 有的学生 就误认 为平面就是平行四边形 又如有的 学生画直线与平面相交 就画成如图3的 样子 在 画 夹在平行的直线与平面间 的平行线 段相 等 的 图形时 常画成如图4的样子 匹分 图 3 图 4 图 5 4 注意解决真实与直观的矛盾 立体几何中的图形要画成直观图 而不少学生 则喜欢画真实图 画直角 便一定要画成真角 硬 1 9 8 3 年第 六期 正六边形 使一定要画成正六边形 这样一来 要 画 三条直线两两垂直相交于一点 就 没有办 法 了 或只好画成如图 5 的样子 如果有这样一题 平面 内有一个正六边 形 它的中心是O 边长 是Z c二 OH土a OH 二4 c 二 求 点H到这个正六边 形顶点和边的距离 在画这题所述的空间图形 时 他只好画成如图6或图7的样子 个空l司图形的直观图 可以按图1 1所示的步骤进 行 丫 分决 r 伞成 一 一 以 鞠 二 妥使学生能画一些比较复杂的空向图形 画图的用处很多 可以帮助进一步认清空间图 形的形状 可以启发解题思路 可以使书写简洁明 了 要使学生能够画 一些比较复杂的空间图形 还 应该向学生进一步介绍空 间图形的一些画法 下面 列举几种画空间图形的方法 1 衬托法 衬托法又可分为好几种 平面衬托法 就是其 中最基本的一种 如画异面直线时 常用平面衬托 法来画 又如虚实衬托法 不少学生不太注意虚实 线的 运用 往往把该画实线的画成虚线 如所添的辅助 线 把该画虚线的画成实线 所以画出来的图 往 往没有立体感 教学时应要求学生重视虚实线的运 用 如可让学生看下面两 组图 图8和图9 图 11 3 奠基法 如果图形比较复杂或一时想象不出空间图形的 样子 则 可以某个简单的图形 常用平面 为羞 础 然 后根据所述图形的性质 逐步添上图形的其 它 一些元素 此即所谓奠基法 现在举个简单的例子 用奠基法画出下题的直 观图 一条线段的一端在一个平面内 过这线段在平 面内的射影的中点 作一个平面垂直于这射影 那么 所作的平面必平分原线段 先画一个平面 画 的一条斜线AB A任的 图1 2 a 然后画出B在a内的射影B 尸 取好AB 的中 一 街奋妙孕 图8图 9 学生 看后将会大吃一惊 原来虚实线还有如此 妙用 这样 学生在以后的画 图过程中 就会注意 虚实线的运用了 2 以线代面法 在某些情况下 先以某直线代替某平面 能够 较容易地抓住图形的本质 使画图简 单 容 易 进 行 请看下面两个例子 例1 已知二面角a 一a一日内一点P到二面角 的二个面a 日 及棱a的距离分别 是亿 2 亿 3 和 2 求这个二面角的度数 所述 的空间图形的直观 图 可以按图1 0所示的步骤进行 丫叨 了公动 P 一片 以 述夕 田 1 0 例3 画三个平面两两相 交子三条平行直线这 图 12 点c 产 图iZb 过c 作一平面日 上A B 尹 取AB中 点 c 连c c 产 图12 最后得到题目要求的图形 当然 在对空间图形的形状不很清楚的情况 下 用奠基法作的图一般需作些修改 如所画的图 欠直观或需要换一下观察角度等 第三 培养学生对空间图形的分析思考能力 在初学立体几何时 培养学生的分析思考能力 也很重要 在这方面 要注意以下三点 1 许多立体几何问题可以化为平面几何间题 去解决 或可参照平面几何中的类似间题的解答方 法找到解题途 径 例 3 宋证 顺次连结 空间四边形各边 中 点所得的四边形是平行四边形 证明本题可参照 类似的平面几何题 求证 顺次连结 平面 四 边形的各边中 点所得的四边形是平形四边形 的证 明方法 例4 证明正四面体内任意一点到各面的距离 之和 等于定长 和平面几何中 证明正三角形 内任 意一点到各边距离之和等于定长 即 的证明方法也完 全类似 后者可以利用正三 角形三边相等和三角形 的面积关系来证 前者则可以利用正四面体的各面 面积相等和四面体的体积关系来证 例5 已知二面角 一a 一 p内的一点P到二面角 的二 个面 p及棱a的距离分别是订 2 认 3 和 2 求这个二面角的度数 如图13 以下给出解 1 4 中等数学 这个题的思考 方 法 先证 乙A cB是二面角的平面 角 再证P A B C 四点共 面 于是 求二面角的度数这个问 题就转化 为乙PCA与乙Pc B PCA 乙PCB 乙A CB 的度数问题了 2 注意反证法的应用 反证法是常用的一种论证方法 学生虽然在以 前学过一点 但还是初步的 由于反证法在立体 几 何中比较常用 所以必须重视反证法的教学 必须 使学生熟悉反证法 学会用反证法证题 学生不会 运用反证法常常表 现为 不会否定结论或否定结 论后不作任何逻辑推理就说与已知矛盾 当准得 的结果不是与已知矛盾而是推得的结果间互相矛盾 时 不知所措 因此 我们必需让学生 多接触反证 法 使他们逐步明确反证法的实质及其一般步骤 3 注意平面几何 知识对立休几何知识的负迁 移作用 应使学生明确平面几何知识与立休几何知识既 有相似点 又有不同点 平面几何知识不能随便推 广到立体几何上去 教学中应尽力消除平面几何知 识的负迁移作用 经常对比立体几何知识与平面几 何知识的异同 使学生明辨是非 作者单位 浙江省 上虞县谢塘中学 如何提高解题的应变能力 李佩城 在教学中 我们常可发现一种现象 不少学生 包括平时学习不错的学生 尽管对老师讲过的题 目和课本上的习题都会做 看来是对所学过的知识 掌握了 但一遇考试 题目稍为变变形式 换换花 样 就常常被 借 住 这种现象的出现 当然与 基础知识掌握不牢不活 以维能力训练不够有关 此外 也同解题时缺乏应变能力有关 所谓解题的应变能力 是指解题时能够抓住 问 题的特点和实质 在复杂多变的情况下 不慌不乱 应付自如 运用所学过的 知识把看似陌生的间题归 结到已经熟悉的类型 迅速找到解题的思路和 方法 如何提高解题的应 变能力呢 这需从平时 教学 抓起 大体有如下几点 一 抓住棍念 公式的买质 会天活运用 可 以把一个奋式当几个 儿十个公式 用 如m 卜二 二 b 它的特点是左边两个 底 相 同 则结果必等于对数的真数 掌握了这一本质特点 2 i 万 奋 等等 X JZ n 孟 S 二 拿握奋式的各种变形 注愈奋式竹可逆性 如由 a b 一蔺石万二 万石石 C 一 sin C 二ZR 可派 生 出 31n A 5in B 一 兰 b a ZR sin A sin A 生 2双 sin A a inB b R bsi n 人 a 二 丽骊丁等等 就不难 得出n 1 一 M 51 0 3二 21 0 3 2 7 如此等等 又如 sin Z二二Zsin x o o s x 它的本质特点是在 函数 关系不变的情况下 等左边变量是右边变量 的 倍 于是有 io X 2 n 合 c 专 这些公式在解题时不同场合都 可派上用场 三 善于辫析题目提法的变化 数学知识浩如烟海 命题的语言千变万化 我 们要抓住题目的实质 善于发现形异质同之点