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2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(三)例1已知直线y3x3分别与x轴、y轴交于点a，b，抛物线yax22xc经过点a，b（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点b关于直线l的对称点为c，若点d在y轴的正半轴上，且四边形abcd为梯形求点d的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为p，其对称轴与直线y3x3交于点e，若，求四边形bdep的面积图1 解析（1）直线y3x3与x轴的交点为a(1，0)，与y轴的交点为b(0,3)将a(1，0)、b(0,3)分别代入yax22xc，得 解得 所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x1，顶点为(1,4)（2）如图2，点b关于直线l的对称点c的坐标为(2,3)因为cd/ab，设直线cd的解析式为y3xb，代入点c(2,3)，可得b3所以点d的坐标为（0，3）过点p作phy轴，垂足为h，那么pdhdpe由，得而dh7，所以ph3因此点e的坐标为（3，6）所以图2 图3考点伸展第（2）用几何法求点d的坐标更简便：因为cd/ab，所以cdbabo因此所以bd3bc6，od3因此d（0，3）例2 如图1，把两个全等的rtaob和rtcod方别置于平面直角坐标系中，使直角边ob、od在x轴上已知点a(1，2)，过a、c两点的直线分别交x轴、y轴于点e、f抛物线yax2bxc经过o、a、c三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点p为线段oc上的一个动点，过点p作y轴的平行线交抛物线于点m，交x轴于点n，问是否存在这样的点p，使得四边形abpm为等腰梯形？若存在，求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若aob沿ac方向平移（点a始终在线段ac上，且不与点c重合），aob在平移的过程中与cod重叠部分的面积记为s试探究s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 图1 解析（1）将a(1，2)、o(0，0)、c(2，1)分别代入yax2bxc，得 解得， 所以（2）如图2，过点p、m分别作梯形abpm的高pp、mm，如果梯形abpm是等腰梯形，那么ambp，因此yay mypyb直线oc的解析式为，设点p的坐标为，那么解方程，得，x2的几何意义是p与c重合，此时梯形不存在所以图2 图3（3）如图3，aob与cod重叠部分的形状是四边形efgh，作ekod于k设点a移动的水平距离为m，那么og1m，gbm在rtofg中，所以在rtahg中，ag2m，所以所以在rtoek中，ok2 ek；在rtehk中，ek2hk；所以ok4hk因此所以所以于是因为0m1，所以当时，s取得最大值，最大值为考点伸展第（3）题也可以这样来解：设点a的横坐标为a由直线ac：yx3，可得a(a, a3)由直线oc：，可得由直线oa：y2x及a(a,
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