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持续期模型的若干探讨华南师范大学本科毕业论文论文题目：持续期模型的若干探讨指导老师：易建新学生姓名：谢海亮学 号：20060003007院 系：数学科学学院专 业：金融数学与金融工程毕业时间：2010年6月中文摘要本文回顾了固定收益证券利率风险衡量的模型，并对持续期模型进行了详细分析和应用。在这个基础上，介绍持续期模型的两种改善模型：Fisher-Weil持续期和指数持续期模型。在文章最后做了两项工作，一是介绍了持续期模型的一种推广：近似持续期模型；二是给出了笔者关于持续期模型的一种推广。关键词：固定收益证券，利率风险管理，持续期模型 ABSTRACTThis paper reviews the fixed-income securities interest rate risk measurement models, analyses the duration model in detail and applies it to practice. On this basis, introduces two improved duration models: Fisher-Weil duration and exponential duration. In the end, this article did two tasks: first，introduce a promotion of the duration model: Approximate duration; Second, I gave another kind of promotion of the duration model.Key Words：Fixed-Income Security, Interest Rate Risk Management, Duration Model自从西方国家放开利率管制后，市场利率的可预测性降低，波动幅度增大，对固定收益证券的影响越来越大。而对于持有主要是固定收益证券这一类利率敏感性资产和负债的金融机构而言，利率风险已经上升成为其主要风险。在这一背景下，对利率风险管理的持续期模型逐渐成熟。1传统方法的利率风险衡量11 以证券的期限为度量一般而言，期限越长的债券，其价格受到利率变动的影响越大，其利率风险也越大。因此，人们常用期限来度量债券的利率风险，这是衡量利率风险的最传统方法。但是，这只是一个很笼统的说法，对于期限相同的Full-coupon bonds和Zero-coupon而言，利率风险是不一样的。Full-coupon bonds 定期支付利息（通常每年两次），并到最后归还本金，期间所得利息收益可以进行再投资，所以受到利率的影响要小于后者。更有甚者，我们可以找到期限短的债券比期限长的债券利率风险大。为此，人们尝试改进这一方法。12以证券的平均期限为度量这种改进的方法是计算债券的平均到期时间，也就是用未来的付款作为权数来计算债券的平均到期时间，以此衡量债券的利率风险。对于期限为1年，票面利率为8%的Full-coupon bonds而言，该债券的平均期限为；而对于Zero-coupon 而言，平均期限就等于该债券的期限。改进方法的优点：较之11所用方法考虑了利息的抵抗利率风险的作用。改进方法的缺点：投资期间，所得利息可以再投资，而改进未考虑利息的时间价值。2以持续期为核心的经典模型为了解决货币时间价值的困扰， Macaulay持续期Macaulay, Frederick R. The movement of interest rates, bond yields, and stock prices in the united states since 1856M . New York: National Bureau of Economic Research, 1938.应运而生。Macaulay持续期是用数学的方法估计债券价格对其收益变动的敏感性，按现金流的加权平均时间计算，利息和本金的现值作为权数。21以货币现值为权数的平均期限为度量这一方法用年数表示现金流现值的加权平均时间价值，也就是我们经常使用的Macaulay持续期(下文在不造成混淆的情况下简称持续期)。211持续期的计算公式固定收益证券的现值为： 其中：债券的现值； 到期收益率；到期前的期数； 收到现金流的时期；时的现金流。而持续期可以通过进行计算： 其中： 债券的续期； 贴现率。可见，持续期越大说明未来付款的加权到期时间越长，从而债券价格对收益率的敏感性越高，债券的利率风险越大。持续期仍然是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。212持续期是关于收益率的减函数 1如果用表示付款到期时间的方差，则持续期对求导，可得 显然持续期是收益率的减函数。换言之，市场利率越高，持续期越短，从而债券价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的利率风险越小。这是很容易理解的：市场利率较大的时候，利率变动的幅度相对于利率较小的时候小，所以对债券的影响也就没这么大。213持续期与票面利率的关系由于固定收益证券的种类繁多，就只拿最常见的类型进行说明。市场利率为时，期限为，票面利率为的债券的持续期图如下： 图可以看出：该情况下，债券持续期随着票面利率的上升而下降，且下降速度越来越小。214持续期与到期时间的关系直观地想，债券的持续期应该随着债券到期时间的延长而增加，但事实并非总是如此。如果债券在未来的每期息票收入相等，并在到期日一次性支付本金，则债券持续期表示Babcock公式： 其中： 票面利率； 到期日本金；息票收入与债券价格的比率；支付期限为，每个时期之初支付元，收益率为的年金的现值。显而易见，持续期是一个加权平均数。而又在大多数情况下，约为1，所以对于每期息票收入相等的某些债券而言，我们可以认为： 从可以看出，大多数债券的持续期都是随着到期日期的增加而增大。不过也存在例外的情况。简单起见，我们下面只讨论每年一期且每期息票相等的债券。记为到期日期为债券的持续期。那么可得： 由可知，该债券的持续期是关于的一个映射。为了研究的方便，令（由213可知越小，持续期的变化越大），且把看成连续变量，那么我们就可以把持续期看成一个两元函数。利用MATLAB作图，得图： 图 显而易见，在某些特定的收益率（较大）时，随着期限的增长持续期不呈单调上升状态。通过观察不同水平下的持续期图，可以发现越大，这种情况不易出现；而越小，出现的可能性则越大。所以，持续期不是期限的单调函数，用期限作为利率风险的衡量指标是有风险的。215投资组合的持续期 引理：假设现金流的现在价值为；现金流的现在价值为，假设，则其组合为一个现金流，其现在价值为。定理：假设同上，则投资组合持续期为： 证明： 推论：债券组合的持续期是组合资产持续期的加权总和，权数是相应资产的投资比重，即： 其中为第资产的投资比重。22修正持续期221修正持续期的公式及含义我们一般将市场利率变化导致债券价格变化的幅度大小称为债券的利率风险，即。显然是负的，所以我们用表示债券的利率风险，记为。当时，。将代入其中，得： 故人们将这一指标称为修正持续期。由修正持续期的构造可以知道，修正持续期的含义为：市场利率变动（绝对量）时，债券的价格变动为（相对量）。在这里，修正持续期已经不再是一个时间概念了，而是一个强度概念，表现为债券现值的收益率弹性。其实，持续期也有相类似的含义。由可得： 可知，持续期表现为债券现值的折现因子弹性。但是市场利率通常以绝对量进行变动，故修正持续期更为常用。222修正持续期是关于收益率的减函数由于持续期是市场利率的减函数，所以，修正持续期也是收益率的减函数。换言之，市场利率越高，修正持续期越小，从而债券价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的利率风险越小。223修正持续期与票面利率的关系修正持续期与票面利率的关系类似于持续期与票面利率的关系。224修正持续期与到期时间的关系修正持续期与到期时间的关系类似于持续期与到期时间的关系。225投资组合的修正持续期定理：假设同215，则投资组合修正持续期为： 推论：债券组合的修正持续期是组合资产修正持续期的加权总和，权数是单个债券的投资比重，即： 其中为第资产的投资比重。226连续复利下的持续期和修正持续期在采用连续复利来计算持续期和修正持续期时，那么债券的价值为： 持续期和修正持续期是相同的，即有 23凸度231凸度的定义如果将债券的价格函数用泰勒级数展开，则有： 在上式中，是关于的高阶无穷小量，可以忽略不计。此时，将等式右边的移到等式左边，并在等式两边同时除以，则可以将债券价格的相对变化率表示为下述更加精确的近似公式： 因为债券价格不是关于收益率的线性函数，所以单单用修正持续期是无法准确的描述债券价格关于利率变化的变化。为此，人们引进了凸度这个概念，记凸度为： 如果债券现金流为，则有凸度为： 232凸度是市场利率的减函数凸度对求导，可得显然持续期是市场利率的减函数。换言之，在其他条件不变的情况下，市场利率越高，债券的凸度越小，市场利率越低，债券的凸度越大。 233投资组合的凸度定理：假设同215，则投资组合的凸度为： 推论： 债券组合的凸度是组合资产凸度的加权总和，权数是单个债券的投资比重，即： 其中为第资产的投资比重。234凸度的作用 债券的凸度是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。债券的凸度越大，说明债券价格曲线的弯曲程度越大，从而只用修正持续期度量债券的利率风险所产生的误差越大。从可以看出，修正持续期对债券价格的影响取决于市场利率的变化方向：当市场利率上升时，修正持续期越大，债券价格的降低幅度越大，从而对投资者越不利；当市场利率下降时，修正持续期越大，债券价格的上升幅度越大，从而对投资者越有利。由此可见，修正持续期是把“双刃剑”，对投资者既有害也有利。而债券的凸度对投资者只会带来好处。不论市场利率如何变化，债券的凸度越大，市场利率变化时债券价格的上升幅度就越大。凸度越大的债券，其抵抗利率风险的能力就越强。但是若注意到232的结论，我们便可得出这样一个结果：债券凸度和时间效应是一对矛盾。这意味着，并不是凸度越大才是越好的。24持续期模型的应用241附息债券与零息债券的关系问题1：债券现金流，现值为，其中表示第期的现金流入。若有一零息债券的现值，且对于利率的敏感性一样。求该零息债券的期限。解：假设该零息债券的期限为，到期支付额为，则该零息债券的现值等于： 附息债券与该零息债券有相同的现值，即： 附息债券与该零息债券有相同的利率敏感性，即： 将、和代入，很容易得出： 即一个附息债券的持续期可以表示成与其具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。这里也表明了用期限来表示债券的利率风险是有道理的，不过前提是将附息债券转化为零息债券。242债券出售时间问题 2问题2：债券现金流，其中表示第期的现金流入。假设现在的利率为，应该持有多长时间，才能使得其到期的价值不低于现在的价值？假设投资者持有现金流不久，利率立即发生变化，变为，若持有期为，于是问题1可以准确的表示为：为多少时，恒有 ？定理：的必要条件是。证明：若，则当时取得最小值。从而，整理得。即在持有期等于债券的持续期时，卖出债券可以使得其到期的价值不低于买入时的价值。243利率风险的防范问题问题3：假设债务流； 如果现在的市场利率是，如何选择资产，使得对任意的市场利率为，恒有？ 定理：如果现在的市场利率是，债务流。如果选择债券投资的现金流满足（1），即；（2），即；（3），即。则在局部满足问题2的要求。证明：若选择债券投资的现金流满足（1）、（2）和（3）的条件，则有：案例说明： 案例一：金融机构的负债结构是一个外生变量，而其资产结构却可以根据需要进行调整。因此，通过安排资产的结构来防范未来的利率风险是一种常用的手段。假设金融机构在未来的一系列负债为，那么它现在需要安排一系列在未来到期的资产，以准备偿付未来到期的债务。显然，在最初的时点上，资产的现值应该等于负债的现值。只有如此，才说明资产正好可以支付负债。但是，当市场利率在未来发生变化时，资产的价值可能将不再等于负债的价值。要使资产的价值一直大于或等于负债的价值必须满足下述条件：(1)资产的现值应该等于负债的现值。(2)资产的修正持续期等于负债的修正持续期。这一点可以保证当市场利率发生变化时，资产的价值和负债价值的线性部分将发生同样幅度的变化。(3)资产的凸度大于负债的凸度。这一条件意味着当市场利率发生变化时，资产的价值将超过负债的价值（非线性部分）。如果能够恰当地安排资产的结构，从而使得上述三个条件都成立，那么金融机构便可防范利率风险。然而在实践中要做到这一点并非易事，尤其是第3条通常难以满足。这是因为，如果确实能做到这一点，那就说明存在无风险套利机会，而一个有效的金融市场是不会长期存在无风险套利机会的。案例二：某人在10年以后需要偿还一笔债务。按当前的市场利率6计算，这笔债务的现值为1000元。为了防范利率风险，债务人希望购买价值1000元的债券实施免疫策略，假设可供选择的债券有如下三种： 债券A：面值1000元，期限为10年，息票率为67。 债券B：面值1000元，期限为15年，息票率为6988。 债券C：面值1000元，期限为30年，息票率为59。 试问债务人应该如何选择上述三种债券?解：在解决问题之前，我们先把各种债券的性质先给列出来：表 市场利率保持6%不变时各种债券的性质债券类型负债ABC面值-1000100010001000期限10101530息票率66.76.9885.9持续期107.66551014.6361修正持续期9.4347.23169.43413.8076凸度97.968121.48296.14价格-10001051.521095.96986.24由各债券的修正持续期可知，需要考虑以下方案(其他方案是这两种方案的线性组合)：方案1：只购买债券B，可以购买到元的面值，即份债券B，该方案的凸度大于负债的凸度，方案可取；方案2：购买债券A和债券C的组合。假设持有债券A和C的比例分别是，则，解得，故该组合为份A和份C，凸度为，该方案较之方案1更可取。由投资策略4，我们知道应该选择方案2，即购买份A和份C。25持续期模型的不足 3由于持续期的基础是债券现值公式，所以持续期模型有如下隐含假设：一是水平收益率曲线（flat yield curve）；二是收益率曲线平行移动（parallel shift）。而实际上的收益率曲线通常是向上倾斜的。此外，收益率曲线的某些部分可能有较大的波动，而其他部分的波动则较小。因此，在根据修正持续期进行利率风险度量和风险管理时，必须注意上述假设对现实世界的接近程度。持续期的另一个重要假设严重限制了其作为利率风险衡量尺度的有效性。该公式假设随着利率的变动，债券现金流不受影响。然而，这一假设对于浮动利率工具，或可赎回(可卖出)债券，或有提前偿付风险的抵押支持证券而言都无效。对于浮动利率证券，持续期没有考虑到证券息票利率可随利率变化而调整的事实。这使得持续期公式夸大了多数浮动利率证券的价格敏感性。对于可赎回债券，可看成是一个由不可赎回债券和对该债券的买入期权组成的证券。我们可以看到，投资者是在买入债券，卖出买入期权。如果利率下降，使债券剩余现金流的现值上升，并超过其买入期权价格，发行人将行使期权买入剩余现金流。同样地，当利率发生变动，房屋所有者有权改变提前偿付抵押贷款的数量和时间。在后两种情况下，持续期公式中有关现金流不受影响的假设显然不现实。简而言之，Macaulay持续期不应被用来衡量现金流易受到利率变动影响的证券的利率风险。3持续期模型的改进和推广31持续期的改进 31 1Fisher-Weil持续期 4持续期模型假设收益率曲线是平坦的，但是现实中的情形并不是这么一回事。针对这一个问题， Fisher-Weil持续期Fisher, L. & R. Weil, 1971, Coping with the Risk of Interest rate Fluctuations: Returns to Bondholders from Naive and Optimal Strategies J, The Journal of Business 44(4), 408-431.出现了。Fisher-Weil持续期采用即期收益率曲线对各期现金流进行折现来克服持续期的局限性。假设时刻的即期利率为，则证券的现值为： 又假定收益率曲线水平移动，即，其中即表示即期利率的变化率，定义Fisher-Weil持续期为： 所以从上式可以看出：Fisher - Weil持续期是债券价值对利率水平(整条收益率曲线) 变动的弹性，即市场利率水平上升(或下降) 一个百分点时，债券价值下降(或上升)的百分比。与持续期相比，Fisher-Weil持续期允许收益率曲线不是水平的，未来即期利率可能变化，因此对利率风险的估计更精确，与现实也更为贴近。当即期利率曲线向上倾斜时，表明未来即期利率上升，再投资收益增加，将会更多地弥补价格风险，因此利率风险相对较小，Fisher-Weil持续期小于Macaulay持续期；当即期利率曲线向下倾斜时，表明未来即期利率下降，再投资收益减少，因此利率风险相对较大，Fisher-Weil持续期大于Macaulay持续期。312指数持续期 5即使经过改进利率期限结构的估计，持续期模型在衡量利率风险的时候还有着一些缺陷。首先，传统持续期在利率微小变动的时候，其准确性尚可，但是如果利率变化幅度较大时，利用持续期来衡量债券价格的变动会产生较大的偏差。其次，当利率增加时，持续期加凸度的方法衡量出来的债券价值高于实际价值，即投资者实际损失比预期损失要大。这对风险厌恶的投资者来说，这是难以忍受的。于是，一种新的估计方法出现了指数持续期(exponential duration) M Livingston, L Zhou, 2005, EXPONENTIAL DURATION: A MORE ACCURATE ESTIMATION OF INTEREST RATE RISK, The Journal of Financial Research, September 2005.Volume 28 Issue 3 Page 343 -361.。并且这种方法比传统方法更加精确，尤其是在面对利率大幅度的变化时其精确度显著高于传统方法。在计算持续期时，用指数回报来代替简单回报，即用代替 。取对数回报的导数得： 于是得到：。那么当利率改变时，债券新的价格为。利用泰勒公式展开得： 由可见，指数持续期既包含了传统持续期的含义也包含了凸度的含义。一般来说，指数持续期的价格估计要低于传统持续期加凸度的价格估计，因为后者仅考虑了正值的二次方向，而忽略了后面的奇数次方项（负数）；但大于只用持续期估计的价格。所以，用指数持续期估计债券的价格更精确。32扩展持续期基于持续期的某些特殊含义，可以将持续期扩展。321近似持续期 6 241揭示了持续期的一种含义，即一个附息债券的持续期可以表示成与其具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。基于持续期的这一个含义，可以将持续期扩展成近似持续期（approximate duration）Zheng, H., L, Thomas and D.E. Allen, 2003, The Duration Derby: a comparison of duration based strategies in asset liability management J, Journal of Bond Trading and Management 1(4), 371-380.。他们的具体思路是，对于一个给定的附息债券，要找一个到期期限为的零息债券，使得这两个债券具有相同现值，且它们的价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”。在非水平即期利率曲线假设下，附息债券现值由决定，零息债券现值为，又附息债券现值和零息债券现值相等，即，现使附息债券现值和零息债券现值对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度的误差加权平均最小化，即： 其中，表示参数变化引起两债券现值变化之差的权重。于是，问题变为一个求解满足条件、和的最小化的最优化问题。将求解该最优化问题得出的零息债券的到期期限定义为附息债券的近似持续期。直观地讲，附息债券的近似持续期是一个零息债券的到期期限，该零息债券价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”于附息债券的敏感度。322持续期的又一推广242也揭示了持续期的一种含义，即一个附息债券的持续期可以表示成不使债券贬值的持有期限 。基于持续期的这一个含义，笔者设想将持续期扩展成为保障持续期（guaranteed duration）。笔者的具体思路是，对于一个给定的附息债券，寻找使债券不贬值的持有期集合。然后从中选取最小值者，将这个最小值定义为附息债券的保障持续期。付息债券的现值为，累积函数为，且满足以下条件： 则付息债券在时刻的价值为，由242分析可知，使债券不贬值的持有期应满足条件： 那么使债券不贬值的持有期集合可表示为： 则定义保障持续期为： 于是，问题变为一个求解满足条件的最小化的最优化问题。直观地讲，保障持续期是指能保障投资者预期收益的最小持有期。对于一般的固定收益证券而言，是存在的。如果使债券不贬值的持有期不存在，对于风险厌恶的投资者而言这样的固定收益证券是不能购买的,所以这种情况下。那么完整的保障持续期定义为： 4结语持续期模型作为衡量固定收益证券利率风险的主要工具，能准确有效地衡量利率水平变化对债券和存贷款价值的影响，是利率风险管理的重要分析工具。持续期技术虽然存在着一些局限性，但相对于利率敏感性缺口等传统的利率风险管理方法，更能准确地度量市场利率的变动对资产价值的影响。相信随