解斜三角形的应用学案.doc

高一数学学案5.10510 解斜三角形的应用学案华川中学 数学教研组 刘星伟教材分析：据史记夏本记记载,早在公元前2000年,大禹就利用直角三角形的关系测量过山川地势。在公元前一世纪左右的周髀算经一书里已有关于平面测量术的记载，公元三世纪我国数学家刘微提出了三角测量法重差术理论，可计算以1为半径的圆的内接正六边形，正十二边形等的边长。公元十二世纪时，赵友欽计算出圆内接正四边形等的边长，实际上已经求得了某些特殊角的正弦值。尽管如此，我国古代的三角学是直观的、经验性的，缺乏系统的整理和深入的研究。我们的祖先使中国人曾经辉煌，但，由于种种原因中国人却没有获得最辉煌的结果。三角学发展的早期与测量和航海有密切的关系，在平面三角产生以前，人们便研究了球面三角的一些问题。古代农业发展需要正确编著历书，航海需要根据天体的位置正确地确定航行的方向。在天文观测中，需要计算弦长等。正是由于农业、航海等方面的需要，同时也是天文等方面发展的需要，在欧氏推理几何的基础上，三角学得到了很大的发展，正弦定理和余弦定理的发现，使三角学的发展达到顶峰。三角学的知识和方法，在我们今天的生产、生活、科学技术上仍然被广泛地应用在各个方面。现在，我们就一起探讨应用解斜三角形知识解决实际问题的方法。学习要求：通过解斜三角形的应用的学习，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。学习重点：1.实际问题化归为数学问题的方法； 2.解斜三角形方法的应用。学习难点：实际问题化归为数学问题的方法的准确运用。学习过程：【一】相关知识准备：(一) 专用名词解释：1仰角：2 俯角：3 视角：4 方位角：5 方向角：6 坡度： （二） 解斜三角形的基本类型： 1 两边夹角型： 已知，ABC中AB边长为c，AC边长为b，A=，则BC边长为 ；B= 。 2 两边邻角型： 已知，ABC中，AB边长为c，AC边长为b，B=则BC边长为 ；A= 。 3两角夹边型： 已知，ABC中，A=，B=，AB边长为c，则BC边长为 ；AC边长为 。 （三） 相应数学概念与实际对象的对应关系： 1线段可以表示实际问题中的哪些对象？ 2角可以表示实际问题中的哪些对象？【二】课时学习： 第一课时：两角一边型实际问题学习过程第二次备课复习引入已知，ABC中，AB边长为12，AC边长为3，BAC=600，则BC边长为 ；C= 。如果，我们赋予上述ABC中的边、角以相应的实际意义，将可以解决怎样的实际问题？如果，把三角形的边赋予一段某种材料的实际意义，得：1现有一段30m的材料，能否围成一个两边长分别3m、12m且夹角为600的三角形场地。如果，把三角形的边赋予两地距离的实际意义，得：2A镇东偏南600，3千米处是B镇，西偏南600，12千米处是C镇，则B、C两镇距离是多少？如果，把三角形边长赋予视线的实际意义，得：3购买楼房时，甲想了解楼房之间的距离是否超过10米，由于有障碍物，无法直接测量。根据现场条件，甲站在距A楼3米，距B楼12米处，测得视角为600，甲最终是否满意？4请同学们提出：还能解决怎样的实际问题？建模方法问题：如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复运动。当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转600，求活塞移动的距离。（即连杆的端点A移动的距离A0A）请参阅课本第146页图5-41审题【1】作基本图形1.问题中可以抽象为数学中的线段的对象是 。2问题中可以抽象为数学中的角的对象是 。3问题中B0CB=00时，可以抽象地画出图形为 。 4问题中B0CB=900时，可以抽象地画出图形为 。 5问题中B0CB=1800时，可以抽象地画出图形为 。6问题中B0CB=600时，可以抽象地画出图形为 。【2】找基本量1问题涉及的基本量有 。2问题中，已知量有 ；未知量有 。【3】找基本关系1线段与线段之间的关系有 。2角与角之间的关系有 。3线段与角之间的关系有 。【4】建立数学模型实际问题可以转化为数学问题：已知， ，求 。图形：解答【1】解决数学问题：【2】数学问题答案的实际意义是 。方法总结数学建摸方法的应用1 课本第147页练习第2题2 在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成150的方向把球击出。根据经验与测速仪的显示，通常情况下，球速为游击手最大奔跑速度的4倍。问，按这样的布置游击手能不能接着球？作业课本第148页，习题5.10中第1题;优化设计第115页,强化训练第3、6、10题课后反思 第二课时 两角一边型实际问题学习过程第二次备课复习引入已知，ABC中，A=300，B=750，AB=120，则，AC= ，BC= ，三角形的面积SABC= 。如果，我们赋予上述ABC中的边、角以相应的实际意义，将可以解决怎样的实际问题？1如果，把三角形的边赋予两地距离的实际意义。得：为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB=300，CBA=750，AB=120米，则河的宽度为 。2如果，把三角形边长赋予视线的实际意义，得：有一块三角形绿地ABC，站在A处看BC视角为300，走过120米后到达B处，在B处望AC视角为750，则三角形地ABC面积为 。3请同学们提出：还能解决怎样的实际问题？数学建模问题：用同样高度的两个测角仪AB和CD，同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B、D间的距离为a，测角仪高度是b，求，气球的高度。审题【1】 作基本图形1.问题中可以抽象为数学中的线段的对象是 。2问题中可以抽象为数学中的角的对象是 。3问题中可以抽象地画出图形为 。【2】 找基本量1问题涉及的基本量有 。2问题中，已知量有 ；未知量有 。【3】找基本关系1线段与线段之间的关系有 。2角与角之间的关系有 。3线段与角之间的关系有 。【4】建立数学模型实际问题可以转化为数学问题：已知， 求 。图形：解答【1】解决数学问题：【2】数学问题答案的实际意义是 。方法小结方法运用1 课本第147页练习12 一船以每小时15千米的速度向东航行，船在A处看到一座灯塔B在北偏东600，行驶4小时后，船到达C处，看到这座灯塔在北偏东150，求这时船与灯塔间的距离。作业课本第148页 习题5.10第2、3、4题。优化设计第116页，强化训练第9题课后反思 第三课时 综合型实际问题学习过程第二次备课复习与回顾数学建模的基本步骤应用题基本模形123456实际问题数学结论综合应用综合应用问题1为了求得底部不能到达的水塔AB的高，在地面引一条基线CD=a，这条基线延长后不过塔底，设测得ACB=，BCD=，BDC=，求水塔的高。方法小结问题2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号。我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为450，距离A为10海里的C处，并测得渔船已沿方位角为1050的方向，以每小时9海里的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，试问，舰艇应按照怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用的时间。方法小结问题3A、 B两城市相距200千米，城市C在连接A、B两地的直线公路外，且ABC=600，汽车以每小时80千米的速度由A向B行驶，同时摩托车以每小时50千米的速度由B沿B、C之间的直线公路向C行驶，问，运动开始几小时后，两车相距最近。方法小结方法总结作业优化设计第116页第7、8题补充题：要测量河对岸两地A、B之间的距离，现只有工具测角仪和长皮尺，无法渡河，请设计可行的测量方案。课后反思【三】高考试题赏析1.（2005年普通高考天津卷第20题）某人在一山坡P处，观看对面山顶上的一座铁塔。如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米）。图中所示的山坡可视为直线L，且点P在直线L上，L与水平地面的夹角为，tan。试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高） 2（2006年普通高考上海卷第18题）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险，等待营救，甲船立即前往救援，同时，把消息告知在甲船的南