高考数学总复习 第三章 导数及其应用 高考大题专项突破1 函数、导数、方程、不等式压轴大题课件 理 新人教A版.ppt

高考大题专项突破一函数 导数 方程 不等式压轴大题 2 从近五年的高考试题来看 对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目 命题特点是 以三次函数 对数函数 指数函数及分式函数为命题载体 以切线问题 单调性问题 极值最值问题 恒成立问题 存在性问题 函数零点问题为设置条件 与参数的范围 不等式的证明 方程根的分布综合成题 重点考查学生应用分类讨论的思想 函数与方程的思想 数形结合思想及化归与转换思想来分析问题 解决问题的能力 3 1 常见恒成立不等式 1 lnxx 1 2 构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数等 把不等式两边变成具有相同结构的式子 根据 相同结构 构造辅助函数 3 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 a的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x1 x 4 放缩法 若所构造函数的最值不易求解 可将所证明的不等式进行放缩 再重新构造函数 4 3 函数不等式的类型与解法 1 x d f x k f x max k 2 x d f x k f x min k 3 x d f x g x f x max g x min 4 x d f x g x f x min g x max 4 含两个未知数的不等式 函数 问题的常见题型及具体转化策略 1 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最大值 2 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最小值 3 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最小值 5 4 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最大值 5 x1 a b 当x2 c d 时 f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域与g x 在 c d 上的值域的交集非空 6 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 7 x2 c d x1 a b f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 6 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一讨论单调性或求单调区间突破策略一分类讨论法例1已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 思路导引 1 讨论f x 的单调性 求函数的定义域 求导函数判断导函数的符号 确定单调区间 2 讨论a的取值范围 求f x 导函数 确定f x 的单调区间 求f x 取最小值 解不等式f x max 0得a的范围 合并a的范围 突破1导数与函数的单调性 极值 最值 7 题型一 题型二 题型三 题型四 8 题型一 题型二 题型三 题型四 9 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 10 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练1已知函数f x lnx mx m r 1 若m 1 求曲线y f x 在点p 1 1 处的切线方程 2 讨论函数f x 在 1 e 内的单调性 11 题型一 题型二 题型三 题型四 12 题型一 题型二 题型三 题型四 突破策略二构造函数法例2已知函数 k为常数 e是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 13 题型一 题型二 题型三 题型四 14 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得通过导数研究单调性 首先要判断所构造函数的导函数的正负 因此 构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估 15 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练2设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 16 题型一 题型二 题型三 题型四 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0 知f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 内单调递增 故g 1 1是g x 在区间 内的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 无单调递减区间 17 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二求函数的极值 最值突破策略一定义法例3 2017湖南邵阳一模 理21 已知函数f x x axlnx a 0 1 求函数f x 单调区间 2 当a 1时 求函数f x 在 e e e 上的值域 18 题型一 题型二 题型三 题型四 思路导引 1 求出函数f x 的导数 通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可 2 将a 1代入f x 求出函数的导数 根据函数的单调性求出函数的值域即可 19 题型一 题型二 题型三 题型四 20 题型一 题型二 题型三 题型四 21 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得1 求最值的常用方法是由导数确定单调性 由单调性确定极值 比较极值与区间的端点值确定最值 2 对kf x 恒成立 求参数k的最值问题 应先求出f x 的最值 再由此得出参数的最值 22 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练3 2017北京高考 理19 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 23 题型一 题型二 题型三 题型四 突破策略二分类讨论法例4已知函数f x ex e x 2x 1 讨论f x 的单调性 2 设g x f 2x 4bf x 当x 0时 g x 0 求b的最大值 24 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 f x ex e x 2 0 当且仅当x 0时等号成立 所以f x 在 内单调递增 2 g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 ex e x 2b 2 当b 2时 g x 0 当且仅当x 0时等号成立 所以g x 在 内单调递增 而g 0 0 所以对任意x 0 g x 0 当b 2时 若x满足2 ex e x 2b 2 综上 b的最大值为2 25 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得依据题意 对参数分类 分类后相当于增加了一个已知条件 在增加条件的情况下 对参数的各个范围逐个验证是否适合题意 最后适合题意的范围即为所求范围 这个范围的最大值也就求出了 26 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练4已知函数f x lnx ax2 x a r 1 当a 0时 求函数f x 的图象在 1 f 1 处的切线方程 2 令g x f x ax 1 求函数g x 的极值 27 题型一 题型二 题型三 题型四 28 题型一 题型二 题型三 题型四 29 题型一 题型二 题型三 题型四 30 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 f x 的定义域为 2 2 当且仅当x 0时 f x 0 所以f x 在 2 2 单调递增 因此当x 0 时 f x f 0 1 所以 x 2 ex x 2 x 2 ex x 2 0 由 1 知 f x a单调递增 对任意a 0 1 f 0 a a 1 0 f 2 a a 0 因此 存在唯一xa 0 2 使得f xa a 0 即g xa 0 当0 x xa时 f x a 0 g x 0 g x 单调递减 31 题型一 题型二 题型三 题型四 32 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得在证明函数f x 有最值及求最值范围时 若f x 0解不出 可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围 从而用t表示出最值 此时最值是关于t的函数 通过函数关系式求出最值的范围 33 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练5 2017辽宁大连一模 理21 已知函数f x x 2 ex a x 2 2 x 0 1 若f x 是 0 内的增函数 求实数a的取值范围 2 当时 求证 函数f x 有最小值 并求函数f x 最小值的取值范围 34 题型一 题型二 题型三 题型四 35 题型一 题型二 题型三 题型四 36 题型一 题型二 题型三 题型四 37 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四与极值 最值有关的证明问题突破策略等价转换法例6 2017河南商丘二模 理21 已知函数f x lnx 2ax a r 1 若函数y f x 的图象存在与直线2x y 0垂直的切线 求实数a的取值范围 38 题型一 题型二 题型三 题型四 39 题型一 题型二 题型三 题型四 40 题型一 题型二 题型三 题型四 解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法 通过转换变陌生问题为熟悉问题 从而得到解决 41 题型一 题型二 题型三 题型四 对点训练6已知函数f x e2x 4aex 2ax g x x2 5a2 a r 1 若a 1 求f x 的递增区间 2 若f x 在r上单调递增 求a的取值范围 42 题型一 题型二 题型三 题型四 43 题型一 题型二 突破2导数与不等式及参数范围题型一求参数的取值范围 多维探究 突破策略一从条件中构造函数例1已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 44 题型一 题型二 45 题型一 题型二 46 题型一 题型二 47 题型一 题型二 解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题 一般都需要构造函数 然后对构造的函数求导 一般导函数中都含有参数 通过对参数讨论确定导函数的正负 由导函数的正负确定构造函数的单调性 再由单调性确定是否满足函数不等式 由此求出参数范围 48 题型一 题型二 对点训练1已知函数f x ax lnx 1 过原点o作函数f x 图象的切线 求切点的横坐标 2 对 x 1 不等式f x a 2x x2 恒成立 求实数a的取值范围 49 题型一 题型二 2 不等式ax lnx a 2x x2 恒成立 等价于a x2 x lnx对 x 1 恒成立 设y1 a x2 x y2 lnx 由于x 1 且当a 0时 y1 y2 故a 0 设g x ax2 ax lnx 当0 a 1时 g 3 6a ln3 0不恒成立 当a 1 x 1时 g x 0恒成立 综上所述 a 1 50 题型一 题型二 突破策略二从化简条件中构造函数例2设函数f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 内单调递减 在 0 内单调递增 2 若对于任意x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求m的取值范围 51 题型一 题型二 1 证明f x m emx 1 2x 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 若m0 f x 0 所以 f x 在 0 内单调递减 在 0 内单调递增 52 题型一 题型二 2 解 由 1 知 对任意的m f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 故f x 在x 0处取得最小值 所以对于任意x1 x2 1 1 f x1 f x2 e 1的充要条件是即em m e 1 e m m e 1 设函数g t et t e 1 则g t et 1 当t0时 g t 0 故g t 在 0 内单调递减 在 0 内单调递增 又g 1 0 g 1 e 1 2 e1时 由g t 的单调性 g m 0 即em m e 1 当m0 即e m m e 1 综上 m的取值范围是 1 1 53 题型一 题型二 解题心得在面对陌生的已知条件 一时没有解题思路时 不妨对已知条件进行等价转化 在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题或者熟悉的题型 从而求解 54 题型一 题型二 55 题型一 题型二 56 题型一 题型二 57 题型一 题型二 突破策略三分离参数后构造函数例3已知函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点p 0 2 且在点p处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 2 若x 2时 f x kg x 求k的取值范围 58 题型一 题型二 难点突破 作差构造 f x kg x kg x f x 0 设f x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 f x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 令f x 0得x1 lnk x2 2 此时 类比二次函数根的分布进行分类讨论f x 的最小值大于或等于0时的k的范围 分离参数后构造函数 若x 2时 f x kg x 当x 2 x2 4x 2 2kex x 1 恒成立 59 题型一 题型二 解 1 由已知得f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而f x 2x a g x ex cx d c 故b 2 d 2 a 4 d c 4 从而a 4 b 2 c 2 d 2 2 方法一 由 1 知 f x x2 4x 2 g x 2ex x 1 设函数f x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 则f x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 令f x 0得x1 lnk x2 2 由题设f x 0 可得f 0 0 即k 1 60 题型一 题型二 若1 k0 即f x 在 2 x1 单调递减 在 x1 单调递增 故f x 在 2 内的最小值为f x1 而f x1 2x1 2 4x1 2 x1 x1 2 0 故当x 2时 f x 0 即f x kg x 恒成立 若k e2 则x1 x2 2 从而当x 2时 f x 0 即f x 在 2 单调递增 而f 2 0 故当x 2时 f x 0 即f x kg x 恒成立 若k e2 x1 lnk0 f 2 2ke 2 2 2e 2 k e2 0 从而当x 2时 f x kg x 不可能恒成立 综上 k的取值范围是 1 e2 61 题型一 题型二 62 题型一 题型二 解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确 也存在分类讨论相当复杂的情形 难以继续作答 可以利用分离参数法简化构造函数 使得问题简单求解 若求导后不易得到极值点 可二次求导 还不行时 就使用参数讨论法 即以参数为分类标准 看是否符合题意 63 题型一 题型二 对点训练3 2017陕西渭南二模 理21 已知f x bx b d x bx 1 ex b r 1 若b 0 讨论d x 的单调性 2 若不等式f x d x 有且仅有两个整数解 求b的取值范围 64 题型一 题型二 65 题型一 题型二 66 题型一 题型二 题型二证明不等式 多维探究 突破策略一作差构造函数例4已知函数f x ex ax2 1 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y bx 2 1 求a b的值 2 当x 0时 求证 f x e 2 x 2 思路导引 2 中设g x f x e 2 x 2 若能判断g x 的单调性 可由单调性证出g x 0 为此需要求g x 的导数 并判断g x 的正负 若不好判断再设h x g x 进行第二次求导 由h x 的正负 判断出g x 的单调性 再通过g x 的几个特殊值的正负 判断出g x 的正负即g x 的单调性 67 题型一 题型二 解 1 f x ex 2ax f 1 e 2a b f 1 e a 1 b 2 解得a 1 b e 2 2 设g x f x e 2 x 2 ex x2 e 2 x 1 则g x ex 2x e 2 设h x ex 2x e 2 h x ex 2 g x 在 0 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 上单调递增 在 x0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又g 0 g 1 0 g x ex x2 e 2 x 1 0 当且仅当x 1时取等号 f x e 2 x 2 0 即f x e 2 x 2 68 题型一 题型二 解题心得1 欲证函数不等式f x g x x a 只需证明f x g x 0 x a 设h x f x g x 即证h x 0 若h a 0 h x h a x a 接下来往往用导数证得函数h x 是增函数即可 2 欲证函数不等式f x g x x i i是区间 只需证明f x g x 0 x i 设h x f x g x x i 即证h x 0 也即证h x min 0 x i 若h x min不存在 则须求函数h x 的下确界 而这用导数往往容易解决 3 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 或证明f x min g x max且两个最值点不相等 69 题型一 题型二 对点训练4 2017广东汕头高三期末 理21 已知f x ex ax2 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y bx 1 1 求a b的值 2 求f x 在 0 1 上的最大值 3 证明 当x 0时 ex 1 e x 1 xlnx 0 1 解 f x ex 2ax 由题设得f 1 e 2a b f 1 e a b 1 解得a 1 b e 2 2 解 由 1 知f x ex x2 f x ex 2x 设h x ex 2x h x ex 2 f x 在 0 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以f x f ln2 2 2ln2 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 e 1 70 题型一 题型二 3 证明 f 0 1 由 2 知 f x 过点 1 e 1 且y f x 在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 故可猜测当x 0 x 1时 f x 的图象恒在切线y e 2 x 1的上方 下证 当x 0时 f x e 2 x 1 设g x f x e 2 x 1 ex x2 e 2 x 1 则g x ex 2x e 2 设t x ex 2x e 2 t x ex 2 g x 在 0 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 上单调递增 在 x0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 71 题型一 题型二 72 题型一 题型二 突破策略二移项分别构造函数例5已知函数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y e x 1 2 1 求a b 2 证明f x 1 73 题型一 题型二 74 题型一 题型二 75 题型一 题型二 解题心得证明不等式f x g x 成立 可以构造函数h x f x g x 通过证明函数h x 的最小值大于等于零即可 可是有时候利用导数求函数h x 的最小值不易 可证明f x 的最小值大于等于g x 的最大值即可 76 题型一 题型二 77 题型一 题型二 2 证明 由f 1 0 得k 1 令g x x2 x f x 令h x 1 x xlnx x 0 则h x lnx 2 x 0 因此当x 0 e 2 时 h x 0 h x 单调递增 当x e 2 时 h x 0 h x 单调递减 所以h x 的最大值为h e 2 e 2 1 故1 x xlnx e 2 1 78 题型一 题型二 79 题型一 题型二 突破策略三放缩 控元构造函数例6已知函数f x ex ln x m 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 80 题型一 题型二 81 题型一 题型二 解题心得判断函数f x 的单调性可求f x 0或f x 0或f x 0的区间 82 题型一 题型二 对点训练6设函数f x x a lnx b 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x y 2 0 1 求y f x 的解析式 83 题型一 题型二 84 题型一 题型二 85 题型一 题型二 题型三 突破3导数与函数的零点及参数范围题型一判断 证明或讨论函数零点个数突破策略一应用零点存在性定理例1设函数f x e2x alnx 1 讨论f x 的导函数f x 零点的个数 2 证明 当a 0时 f x 2a aln 思路导引 1 讨论f x 零点的个数要依据f x 的单调性 应用零点存在性定理进行判断 86 题型一 题型二 题型三 87 题型一 题型二 题型三 2 证明 由 1 可设f x 在 0 的唯一零点为x0 当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 单调递减 在 x0 单调递增 所以当x x0时 f x 取得最小值 最小值为f x0 解题心得研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况 88 题型一 题型二 题型三 对点训练1已知函数f x x2 3x 3 ex 1 试确定t的取值范围 使得函数f x 在 2 t t 2 上为单调函数 解 1 f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0 得x 1或x 0 由f x 0 得0 x 1 f x 在 0 和 1 内单调递增 在 0 1 内单调递减 若使f x 在 2 t 上为单调函数 则需 2 t 0 即t的取值范围为 2 0 89 题型一 题型二 题型三 90 题型一 题型二 题型三 突破策略二分类讨论法 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 思路导引 1 设切点 x0 0 依题意f x0 0 f x0 0 得关于a x0的方程组解之 2 为确定出h x 对自变量x 0分类讨论 确定出h x 后 对参数a分类讨论h x 零点的个数 h x 零点的个数的确定要依据h x 的单调性和零点存在性定理 91 题型一 题型二 题型三 92 题型一 题型二 题型三 93 题型一 题型二 题型三 94 题型一 题型二 题型三 解题心得1 如果函数中没有参数 那么可以直接一阶求导得出函数的极值点 判断极值点大于0和小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 那么一阶导数的正负往往不好判断 这时要对参数进行分类 在参数的小范围内判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行再次求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 95 题型一 题型二 题型三 对点训练2已知函数f x 2x3 3x2 1 g x kx 1 lnx 2 若过点p a 4 恰有三条直线与曲线y f x 相切 求a的取值范围 96 题型一 题型二 题型三 当k0 g e ke 0 g x 在 1 上有1个零点 综上所述 k 1时 h x 有1个零点 1 k 0时 h x 有两个零点 2 设切点 t f t f x 6x2 6x 切线斜率f t 6t2 6t 切线方程为y f t 6t2 6t x t 切线过p a 4 4 f t 6t2 6t a t 4t3 3t2 6t2a 6ta 5 0 97 题型一 题型二 题型三 98 题型一 题型二 题型三 99 题型一 题型二 题型三 100 题型一 题型二 题型三 101 题型一 题型二 题型三 解题心得在已知函数y f x 有几个零点求f x 中参数t的值或范围问题时 经常从f x 中分离出参数t g x 然后用求导的方法求出g x 的最值 再根据题意求出参数t的值或范围 102 题型一 题型二 题型三 对点训练3已知函数f x 2lnx x2 ax a r 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 2 若函数g x f x ax m在上有两个零点 求实数m的取值范围 103 题型一 题型二 题型三 104 题型一 题型二 题型三 突破策略二