梯形辅助线专练.doc

【本讲教育信息】一、教学内容：梯形中常见辅助线的作法. 二、知识要点：梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决. 常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形【典型例题】例1. 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB8，DC6，B45，BC10，求梯形上底AD的长. 分析：作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F，这样可构造两个直角三角形. 解：分别过点A、D作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形. 在RtABE中，B45，AEBE. 设AEBEx，则ABx8，x4，AEBEDF4，在RtDFC中，CF2，ADEFBCBECF104284. 评析：过梯形上底两端点作梯形的高，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形. 例2. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8. 评析：平移一腰，即将梯形转化为三角形、平行四边形. 例3. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，BD6cm. 求梯形ABCD的面积. 解：过点D作DEAC交BC的延长线于点E. 又ADBC，四边形ACED是平行四边形. ACDE，SADCSECD. SADCSDAB，SDABSECD. SDBES梯形ABCD. 四边形ABCD是等腰梯形，ACBD. ACDE，BDDE6cm. ACBD，ACDE，DEBD. S梯形ABCDSDBEBDDE6618（cm2）. 评析：平移一对角线，将梯形转化为三角形、平行四边形. 例4. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 解：四边形ABCD是等腰梯形. 证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示. ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC，四边形ABCD是等腰梯形. 评析：延长两腰，将梯形转化为三角形. 例5. 如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB2，BC3，CD1. E是AD的中点，求证：CEBE. 分析：证两直线垂直可利用90，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一. 由已知AB2，CD1，BC3. 所以转化线段，构造CDABBC的情况. 可延长CE交BA的延长线于F. 可证CDEFAE，从而AFCD，CEEF，即得BFBC，再利用等腰三角形的性质得CEBE. 证明：延长CE交BA的延长线于F，CDBF，DEAF，DCEF. DEAE，CDEFAE. AFCD1，EFCE. AB2，BC3，ABAFBC. 即BFBC. BECE. 评析：连结顶点和一腰的中点构造全等三角形. 【方法总结】在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四边形和矩形的性质来解决问题. 【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22*3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 7. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长. *8. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？【试题答案】1. 24 2. D 3. C4. 过D作DEAC交BC延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，DEAC，CEAD. 梯形ABCD为等腰梯形，ACBD，BDED，BDAC，BDDE. 在RtBDE中，BD2DE2BE2，即2BD21002，BD50. 5. 过D作DEAB交BC于E. 则四边形ABED是平行四边形. BEAD15cm，ABDE. EC491534cm. ABCD，CDDE. 又C60，CDE是等边三角形. CDEC34cm. 6. 过D点作DFAC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，ACDF，ADCF，BDAC，BDDF. 四边形ABCD为等腰梯形，ACDB. BDFD，DEBC，BEEF，DEBEEFBF5. 7. 分别延长AD、BC相交于点E. ABCD，1B. ADCE1，ADCEB. ADC2B，EB，1E，AEAB，DEDC. AEADDEADDC8. ABAE8. （或过C作CEAD交AB于E，证明CEBEAD. ）8