连续热镀锌生产线的简化与数学建模.pdf

研究与分析 2 0 1 2 年 第2 期 总 第1 1 8 期 机械 研究与应用 连 续热镀 锌生产线 的简化 与数 学建模 王 洋 李 勇 许 飞 罗 文 徐培 民 1 安徽工业 大学 机械 工程学院 安徽 马鞍 山2 4 3 0 3 2 2马鞍 山钢铁股份有 限公 司 安徽 马鞍山2 4 3 0 0 0 摘要 为研究气刀处的带钢大幅抖动原因 试对带钢连续热镀锌 系统进行动力学建模 整个镀锌生产线是一个复 杂的大系统 动力学建模时必须对其进行适当简化 以得到一个仅包含热张紧辊 退火段带钢 沉没辊 出锌锅 上行段带钢 塔顶辊 下行段带钢 转向辊和八个弹簧支承的比较简单的混杂系统力学模型 先将简化后的混 杂系统分成多个子模型 用带钢张力和附加惯性载荷代替边界条件 然后基于牛顿第二定律对这些子模型进 行建模 以期得到整个系统的控制方程 此项研究可为混杂系统建模提供一种新参考 关键词 系统简化 牛顿第二定律 动力学方程 耦合振动 附加惯性载荷 中图分类号 T F 3 0 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 7 4 4 1 4 2 0 1 2 0 2 一 O 0 1 2 0 4 Sim p lifi ca t io n a nd m a t he m a t ica l m o de ling o f co n t inuo u s ho t g a lv an iz ing l i n e W a n g Ya n g L i Yo ng Xu Fe i L u o W e n Xu Pe i min 1 S ch o o l o f m e ch a n i ca l e n g i n e e r in g A n h u i u n i v e r s i t y o f t e ch n o lo g y Ma a n s h a n A n h u i 2 4 3 0 3 2 C h i n a 2 Ma a n s h a n i r o n s t e e l co rp o r a t i o n L t d Ma a n s h a n A n h u i 2 4 3 0 0 0 C h i n a Ab s t r a ct I n t h is p a p e r in o r d e r t o in v e s t ig a t e t h e r e a s o n o f la r g e v ib r a t io n o f t h e s h e e t me t a l n e a r t h e a ir k n if e t h e d y n a mic mo d e l o f a co n t in u o u s h o t d ip g a lv a n iz in g lin e is e s t a b lis h e d T h e w h o le lin e is a co mp le x la r g e s y s t e m t h e r e f o r e it mu s t b e s imp lifi e d t o a me ch a n ical mo d e l o f a h y b ri d s y s t e m w h ich co n t a in s a t e n s io n r o n e r a s t ri p in a n n e al in g s e ct io n a s in k r o lle r a u p g o in g s tri p e me r g in g f r o m t h e h e a ti n g z in c p o t a t o p r o H e r a d o w n g o in g s t r ip a s t e e ri n g r o lle r a n d e is h t s p r in g s u p p o r t s b e f o r e ma t h e ma t ic al mo d e lin g F ir s t t h e s imp lifi e d h y b ri d s y s t e m is d iv id e d in t o s e v e r al s u b mo d e ls t h e s t ri p t e n s io n s a n d t h e a d d it io n al in e r t ia l lo a d s a r e u s e d t o r e p la ce t h e b o u n d a r y co n d it io n s a n d t h e n t h e s e s u b mo d e ls a r e mo d e led b y Ne w t o n s e co n d la w t o d e ri v e t h e g o v e r n in g e q u a t io n s o f t h e w h o le s y s t e m T h e r e s e arch in t h is p a p e r ca n p r o v id e a n e w mo d e lin g me t h od f o r a h y b ri d s y s t e m Ke y wo r d s s y s t e m s imp li f i ca t io n n e w t o n s e co n d la w d y n a mi c e q u a t i o n s co u p l e d v i b r a t i o n a d d i t i o n al in e ai al lo a d s 1 引 言 带钢连续热镀锌生产中 出锌锅段带钢的抖动会 改变带钢与气刀喷嘴 间的距离 这直 接影 响镀 锌质 量 须对其抑制或控制 为摸清 出锌锅段带钢大幅振 动的原因 先将连续热镀锌生产线系统进行简化以得 到最简力学模型 进而建立系统的数学模型 为后续 系统线性分析 非线性分析 以及其他研究 打好基础 K i m 研究 了轴 向张力作用下两 端固支轴 向运动镀 锌板 的参数共振 将两塔顶辊简单支承下轴 向运动带 钢简化为轴向拉力作用下 的轴向运动弹性矩形板 给 出薄板 的横向振动运动微分方程 王军 将带钢连 续热镀锌生产线 出锌锅段带钢 的抖动 问题简化为重 力场中竖直放置 的轴向运动弦线 的横向振动问题 用 牛顿第二定律建立动力学方程 这些简化和建模方 法都没有考虑相邻段带钢和辊子支承运动对出锌锅 段带钢的动力学影 响 而在特定情况下 带钢 与辊子 间的耦合振动也会引起带钢较大振动 汽车发动机 平带驱动系统是研究此类混杂系统耦合振动比较典 型的例子 B e ik ma n n 等考虑带 的振动 和张 紧装 置以及带轮的振动耦合 将实际平带驱动系统简化为 包含所有必需部件 的典型 的 三轮模型 该模 型较 好描述 了现实中平带驱动系统 的振动特性 最后利用 H a mi lt o n原理建立起 系统 的动力学方程 与平带驱 动系统 的简化相 比 朱 红发L 5 考虑 了带钢 的横 向振 动与辊子的运动及冷却塔振动的相互耦合作用 将整 个镀锌生产线简化为一个仅包含带钢 沉没辊 塔顶 辊和下行段转向辊的比较简单的混杂系统力学模型 然后基于 H a m ilt o n原理建 立系统 的数学模 型 但 没 有考虑出锌锅段带钢和相邻段带钢 的耦合振动 以及 沉没辊 转向辊柔性支承的影响 笔者先将带钢连续热镀锌生产线简化 得到只包 含镀锌工艺段的子系统 针对热镀锌线工艺段带钢跨 度大 转向辊支承刚度低等特点 考虑辊子支 承弹性 和相邻段带钢的影响 将该工艺段子系统再次简化为 由三段带钢 4个辊子及其柔性支承组成的混杂系统 力学模型 最后将该模型拆分为多个简单的子模型 基金项 目 国家科学基金项 目 5 0 9 7 5 0 0 3 收稿 日期 2 0 1 2 0 2 1 7 作者 简介 王洋 1 9 8 6 一 男 湖北武汉 人 硕士 研究 方向 机械 没备动力学 1 2 机械 研l 究与应用 2 0 1 2 年 第2 期 总 第1 1 8 期 研究与分析 并用带钢张力和附加惯性载荷 动量 作为力 的边界 条件 对每个子模型应用牛顿第二定律进行建模 结 合弦的控制方程 得到整个混杂系统 的动力学方程 2系统的简化 镀锌生产线是一个复杂而庞大的系统 包含前处 理段 工艺段和后处理段 我们要研究的是气刀处带 钢的大幅抖动的原因 即出锌锅段带钢 的动特性 影 响这段带钢的动特性的主要 因素是相邻段带钢以及 支撑这三段带钢的辊子和钢结构的振动 生产线其他 设备对这段带钢的影响较小 所 以只需取生产线上从 热张紧辊到下行段转 向辊之间的带钢 辊子和钢结构 组成 的热镀锌工艺段子系统作 为研究对象 参考汽 车发动机平带驱动系统模型的简化方法 可对这个子 系统做进一步简化 由于要研究的三段带钢的长度 远大于宽度 带钢的弯曲刚度远小于抗拉刚度 所以 忽略带宽和弯曲刚度对混杂系统的影响 把带钢简化 为重力场 中一维的轴向运动弦线 3个热张紧辊组成 一 个张紧辊组用来调节带钢 的张力 它们在结构上具 有统一性 是一个整体 而且它们之间的距离比较近 可以简化为一个热张紧辊复合支承 稳定辊 纠正辊 与沉没辊在锌锅里 面 结构 比较 紧凑 它们 之问的间 距远小于带钢的长度 且稳定辊 纠正辊半 径远小于 沉没辊 的半径 因此可将三者简化为沉 没辊复合支 承 两个塔顶辊的距离也较小 连接它们的那段带钢 对整个 系统的动力学特性影响较小 而且辊子和绕在 其上的带钢关于这两个辊子的中心连线的中垂线对 称 具有相似的动力学特性 所 以在模型中可将其合 并为塔顶辊复合支承 由于下行段的辊子主要起到转 向作用 增加冷却时间 而且两转 向辊之间的距离很 小 因此也可简化为转向辊复合支承 另外 电机的波动力矩或者其他的外激励都有可 能引起支撑辊子的楼层结构共振 强化出锌锅段带钢 的参数激励振动 所 以需要考虑辊子所在楼层钢结构 的振动对混杂系统的影响 沉没辊架跨度较大 与地 板之问连接刚度较弱 辊架局部模态频率稍高于出锌 锅上行段带钢的低阶固有频率 因而辊架对沉没辊的 约束属于软支承 建模 时用沿 吊臂和垂直 吊臂方向 上的弹簧来 近似考虑辊架软支 承对 系统 的影 响 同 理 冷却塔属于大型高层钢结构建筑物 其低阶自振 频率与带钢低 阶固有频率相当 同时 塔顶辊所在楼 层平面钢结构竖直振动局部模态频率也不高 接近沉 没辊架的一阶固有频率 因而冷却塔对塔顶辊的约束 也属于软支承 同样可用竖直和水平两个方向上的线 弹簧来模拟该约束作用 另外 现场实测发现 热张紧 辊和转向辊所在的楼层竖直和水平两个方 向振动局 部模态频率比较低 对这两个辊子的约束仍然可以看 作软支承 用竖直和水平两个方向上的线弹簧来模拟 该约束作用 这样就得到如图 I所示的带钢混杂 系 统力学模型 该模型包括 了熟 张紧辊 炉鼻子段带钢 沉没辊 出锌锅上行段带钢 塔顶辊 下行段带钢 转 向辊和 8个弹簧支承 模拟 4个转向辊的软支承 图 1 连续热镀锌系统的力学模型 所建 的力学模型是从整个生产线中截取得到的 故是开放式系统 有 能量的输入 和输 出 需要用附加 惯性载荷 动量 和带钢的轴 向张力作为边界条件来 考虑被截掉带钢的影响 并且忽略 以下因素 冷却 过程带钢温度变化的影响 锌液对带钢的作用 则 每段带钢所受的载荷简化为轴向张力 横向的风载荷 和自身重力 每个辊子受到一个力矩 柔性支承的弹 力以及 自身重力的影响 3 数学模型的建立 带钢系统中存在多种不 同振动形式 转动振动 平动振动 横向振动以及纵 向振动 某些情况下 辊 子的转动振动和平动振动 带钢横向振动的耦合作用 会引起系统更大振动 这严重影响镀锌板的品质和镀 锌生产线的使用寿命 因此建模 时必须考虑这些振 动的耦合作用 转动振动是因辊子绕 自身的旋 转轴 转动波动产生 的 它使辊子之 间的带钢发生轴 向变 形 在这种波动下带钢的轴向变形量也随之波动 带 钢产生犹如线性弹簧一样发生纵 向振动运动 在横向 振动中 带钢会产生形如绷紧的简支弦的振动运动 在平动振动中 弹簧和辊子可简化为 1个弹簧一 质量 系统 辊子在弹簧的静平衡位置往复振动 所以辊子 的振动是转动振动和平动振动的复合振动 带钢 的振 动由横向和纵 向两种振动组成 因此可选取如 图 1 所示的坐标系和状态量来描述带钢和辊子的振动 图中 为第 i i 1 2 3 段带钢沿长度方 向坐 标 U W 分别为带钢相对于静平衡位置的纵向振动 量和横向振动量 e 为第 i段带钢的长度 r i为第 i 1 2 3 4 个辊子的半径 为辊子相对于静平衡位 置的转动振动量 为作用在辊子上的力矩 u i 4 5 1 1 为辊子相对于静平衡位置 的平动振动量 k 为弹簧支承 i 的刚度系数 设 m为带钢线密度 1 3 研究与分析 2 0 1 2 年 第2 期 总 第1 1 8 期 机械研多 与应用 E A为带钢的抗拉刚度 C为带钢轴 向运动速度 g为 重力加速度 仅为第 1段带钢和第 2段带钢的夹角 对该模型数学建模时提出几点简化假设 带钢 采用拉格朗 日应变 带钢的轴 向运动速度 为常数 忽略带钢的弯曲刚度 带钢的抗拉刚度 为常数 带钢 辊子质量均匀分布 带钢在辊子上不打滑 忽略带钢的阻尼 忽 略绕在辊子上带钢的影 响 带钢与辊子的接触切点不发生变化 基于这 9条 假设 选取静平衡位形为参考位形 所有的振动量均 相对于这些参考状态测量 然后利用牛顿第二定律得 到整个混杂系统的非线性动力学方程和边界条件 在带钢和辊子边界接触点处将 昆杂系统拆分为 三段带钢和 4个辊子及其支承总计 7个子模型 对 带钢子模型 可根据牛顿第二定律得到其控制方程 对柔性支承辊子子模型 建模时可在带钢和辊子接触 点处施加沿带钢方 向的带钢运 动总张力和垂直带钢 方向的带钢运动总张力在这个 方向上 的分量 以及附 加惯性载荷 以此来考 虑带钢对辊子 的约束作用 然 后应用刚体平面运动微分方程来建模 3 1 带钢的控制方程 轴 向运动弦线是陀螺系统 其控制方程为 mM 2mc mC u P 0 i 1 2 3 1 n 2mc o mc w i 一 Pi W q i i 1 2 3 2 式 中 t 为时间 上标 和 表示对 t 和 取相应 的一阶导数 q 为气垫风机横 向风载荷 P 为带钢运 动总张力 可分解为直流分量 P 和波动分量 P 两部 分 P i P P 3 P E A l u 2 4 总张力的直流分量 P 实际上是考虑重力时第 i 段带钢 截面在平衡位置的总张力 设 为不考虑 重力时第 i段带 钢 截 面在平衡位置 的总张力 即 带钢 i 的初始张力 则 P r ag Z 1一 1 co s 5 P mg x 2 6 PD 1 rag 一 3 r o 7 根据 图 1知 几何关系可得到带钢的边界条件 1 0 r 1 0 1 4 s in 一 u 5 co s u 1 1 l f F 2 0 2 1 L 6 s in o j2 U 7 co s o d2 u2 O t F 2 0 2 u6 s ino 2 一 u7 co s c 2 8 u 2 1 2 r 3 0 3 u 8 3 O F 3 0 3一 8 u 3 1 3 r r 4 0 一U lO 1 4 1 0 4 C O S O 5 s in x 1 1 1 6 e o s w 2 一 U 7 s in J 2 w2 O t 一 u 6 c s 一 u 7 s i n 9 W2 1 2 U 9 3 O 一 9 W3 1 3 一 MI 以上每个动力学方程都有 3 个加速度项 局部 加速度 和 柯氏加速度 2 cw 和 2 cu 陀螺 项 向心加速度 c2 和 c u 柯 氏加速度和 向 心加速度都是由于轴向运动速度引起的对流加速度 对于实际的带钢镀锌生产线系统 带内纵波传播 的速度远大于横波传播速度 P E A 1 适用于 准静态假设 6 在此假设下 可忽略纵 向运动方 程 1 中的惯性项 对其积分后带钢 内的波动 张力分量 P 和重力条件下平衡位置总张力 P 变为 P 畦 t 竽 U i f f f 一 u 0 f i 1 J 2 f d x i 1 0 U 1 P 1 毒 C O S O 1 1 1 1 P mg l 2 1 2 一 1 P 8 mg l3 T o 1 3 由此 可 见 准 静 态 假 设 下 波 动 张 力 分 量 P 仅是时间的函数 考虑重力时平衡位置总张力 P 也是常值 这两者都与带钢 的空问位置 无关 即 P 和 P 在带钢内均匀分布 重力对三段带钢张 力的影 响被准 静态假设 简化成数值 分别为 mg l C O S 2 mg l 2 m g l 2的常力 叠加到带钢 的初始 张 力中去 带钢的动力学方程可 以简化为 m 托 27 ncn mC 0 i 1 2 3 1 4 m协I 2r n cf o i mc W Pf 1 0 q i 1 2 3 1 5 3 2 辊子的控制方程 设 1 2 3 4 为辊子的质量 为辊子 的 转动惯量 为辊子的平动振动在静平衡位形的预变 形量 以沉没辊为例 拆分后的子模型和受力图如 图 2所示 沉没辊除了受 自身重力 2个支承 的弹力 和 1 个外力矩外还受 到在带钢 和辊 子接触点处沿带 钢 方向上的带钢运动总张力 P P 和纵 向附加惯性 载 荷 2 t 0 t 以及垂直带钢方向上的带钢运 动总张力 在这 个方 向上 的分量 P f P 0 t 和横 向附加惯性 载荷 z t 0 t 利 机械研究与应用 2 0 1 2 年 第2 期 总 第1 1 8 期 研究与分析 用牛顿第二定律可得到沉没辊 的转动动力学方程 和 两个方 向上的平动动力学方程 图2 沉没辊子模型 沉没辊转动振动方程 Z l t r 2 一 O t r 2 P 2 r 2 一 Plr 2 J 2 2 1 6 其 中附加惯性载荷 7 c t t l cu 1 1 7 因为辊子和带钢之间不打滑 所 以绕在辊子上的 带钢上 的每一点的纵向振动速度与辊子沿弧长方向 的振动速度相同 即 鲁 L 其 中 O u 1 所 以绕在辊子上的带钢纵 向动量在辊子和带钢 的两切点处没有 发生变化 即 2 t M O t 则沉没辊转动振动方程简化为 P 2 r 2 p 1 r 2 M2 J 2 0 2 1 8 沉没辊平动振动方程 l Z 1 cos a 2 2 O co s a 2 一 P1 s in t r 2 P2 s ina 2 一 P1 W 1 f 1 co s o 2 一 m2 gs in a 2一P2 W 2 O co s a 2 3 u 一l 6 m2 H 6 1 9 1 z l f co s a 2 l 0 co s a 2 一 P1 co s 2 一 l f I s in e 2 M 2 O s in o 2 一 P2 C O S a 2 Pt 埘 1 I l s ino 2 一 P2 W 2 O s inc e 2 m2 gco s a 2 k 4 一 U 7 m2 7 其中附加惯性载荷 l mc 而 C W 1 同理可得其他辊子的动力学方程 热张紧辊转动动力学方程 Plr l P0 1 Ml J 1 0 1 塔顶辊转动动力学方程 P 3 r 3 一P 2 r 3 M3 3 玩 转向辊转动动力学方程 P4 r 一P3 r 4 M J 4 0 4 热张紧辊平动动力学方程 P1 s in Po co s q l Pl l 0 C O S f f 1 u 一 4 m1 4 2 5 一 P1 C O S O 一 Po s in 1 P1 W 1 0 f s in a k 2 U 一 U 5 一m1 g m1 5 2 6 塔顶辊平动动力学方程 Mx 2 f 2 0 一 P2 一P3一 m3 g k 5 u 一 8 m3 8 2 7 2 f 2 3 0 t 一 P2 w 2 2 2 t 一 P3 W 3 O 6 一U 9 m3 1 9 2 8 转向辊平动动力学方程 P3 P4 s in p 2一 m4 g k 7 H n U lo m 4 1 0 2 9 P3 W 3 2 3 f 一P 4 co s o 2 k s U ll l 1 m4 l1 3 o 其中 P 和 P 为作用在带钢首末两端 的轴 向拉 力 和 分别为拉力 P 0 和 P 4 与水平方 向的夹角 式 1 4 3 O 构成了图 1所示的 昆 杂系统 的非线性 动力学方程和边界条件 它们是 由一些偏微分 方程 和常微分方程组成的方程组 描述了混杂系统的带钢 横向振动 辊子转动振动和平动振动的耦合作用 4 结语 首先对带钢连续热镀锌生产线 系统进行了简化 处理 得到了一个最简力学模型 基于这个最简力学 模型 对每个子模型应用牛顿第二定律得到子模型的 动力学方程 结合弦的控制方程 得到了整个混杂系 统的动力学方程 并利用系统的几何关系导出了位移 边界条件 相 比 H a mi lt o n原理