中考数学押轴题备考复习 猜想、规律与探索2.doc

猜想、规律与探索一 选择题1.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） a(4，o)b.(5，0) c(0，5) d(5，5)【解题思路】方法一、在演草纸上按规律去画。方法二、根据题意，结合图形我们可以发现第n（n+2）秒时跳蚤所在位置的坐标是，35= 5（5+2）所以要求坐标为(5，0)。【答案】b【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次去画。难度中等。2.在平面直角坐标系中，正方形abcd的顶点坐标分别为a(1，1)，b(1，1)，c(1，1)，d(1，1)，y轴上有一点p(0，2)作点p关于点a的对称点p1，作点p1关于点b的对称点p2，作点p2关于点c的对称点p3，作点p3关于点d的对称点p4，作点p4关于点a的对称点p5，作点p5关于点b的对称点p6，按此规律下去，则点p2011的坐标为( )a(0，2) b(2，0) c(0，2) d(2，0)【解题思路】p1(2，0)，p2(0，2)，p3(2，0)，p4与p重合题中所述点列p1p2p3p4p5是循环的，循环节是p1p2p3p201150243，p2011是循环点列中第503节的第三个点，即是p3【答案】d【点评】此题考查探索、归纳和猜想的能力探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行，难度较大对点（x，y ）的一次操作变换记为p1（x，y ），定义其变换法则如下：p1（x，y ）=（，）；且规定（为大于1的整数）如p1（1，2 ）=（3，），p2（1，2 ）= p1（p1（1，2 ）= p1（3，）=（2，4），p3（1，2 ）= p1（p2（1，2 ）= p1（2，4）=（6，）则p2011（1，）=（ ）a（0,21005 ） b（0,-21005 ） c（0,-21006） d（0,21006） 【解题思路】：p1（1，）=(0,2)；p2（1，）=p1(0,2)=(2，)；p3（1，）=p1（p2(1, )=p1(2，)=(0,4)；由此可知当n为奇数数时，横坐标为0，纵坐标为2，所以p2011（1，）=（0,21006）【答案】d【点评】：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题难度较大，考查了学生分析问题的能力.也可以看作是新定义型问题.已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办。若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？(a)公元2070年 (b)公元2071年 (c)公元2072年 (d)公元2073年【分析】：三项运动会均不在下列哪一年举办，就是说该年度没有任何一项赛事。设上一次举办年份为a，下一次举办年份为b，由于每4年举办一次，只要b-a不能被4整除，既可. 【答案】：b【点评】：本题间接考查规律的探寻，数据的推理等内容。难度中等2.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为 a5 b6 c7 d8【解题思路】由=21，得n1=7，n2=6（舍去）.【答案】c【点评】本题考查了平面上不重合的n个点确定的直线条数，得出方程,解出n的值，勿忘验证解得合理性难度中等3.图是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图铺成了一个22的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成33的近似正方形图案，其中完整的菱形有13个；铺成44的近似正方形图案，其中完整菱形有25个；如此下去，可铺成了一个nn的近似正方形图案，当得到完整的菱形共181个时，n的值为（ ）a. 7 b. 8 c. 9 d.10【解题思路】观察图案可以发现图有个完整菱形；图有个完整菱形；图有个完整菱形；图有个完整菱形；图有个完整菱形，所以nn的近似正方形图案有个完整菱形，所以当时，取正整数解为【答案】d【点评】本题属于规律探究问题解决这类问题，首先从简单的图形入手，随着“序号”增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论.11将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置于水平桌面上 ，如图 在图 中，将骰子向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）a6 b5 c3 d2【解题思路】不难看出经过一次变换后正面朝上的点数是5，经过第二次变换后正面朝上的点数是6，经过第三次变换后正面朝上的点数是3，又回到了起始位置，则三个变换一循环，10次变换即相当于第一次变换的结果故选b.【答案】b【点评】本题主要考查了翻转、旋转的有关知识及空间想象能力.难度较大. 在平面直角坐标系中，正方形abcd的顶点分别为a、b、c、d，轴上有一点p。作点p关于点a的对称点，作关于点b的对称点，作点关于点c的对称点，作关于点d的对称点，作点关于点a的对称点，作关于点b的对称点，按如此操作下去，则点的坐标为 a b c d 【解题思路】由于点p1（2,0），p2（0，-2），p3（-2,0），p4（0,2），p5（2,0），p的坐标每4次就会出现重复，20114=5023，所以点的坐标为（-2,0），故选d.【答案】选d.【点评】这是一道规律性探索题，解答本题的关键是找到点的坐标每4次就会出现重复的规律.二 填空题将1、按右侧方式排列若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 （第18题图）【解题思路】（5，4）表示的数从图上可以直接得到为，（15，7）表示第15排从左向右第7个数，从第1个开始数则处于个，恰好为4的倍数，所以是，两数求积化简即可【答案】2【点评】本题属于规律探究题解题是关键是找到图形的排列规律和以4个数字为单位的循环规律难度中等一个边长为16 m的正方形展厅，准备用边长分别为1 m和0.5 m的两种正方形地板砖铺设其地面要求正中心一块是边长为1 m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1 m的大地板砖 块（第18题）【解题思路】因为正方形的边长为16 m，所以从外到内第一圈（最外一圈）大地板砖的块数是16214260；第二圈大地板砖的块数是13211248；第三圈大地板砖的块数是1028236；第四圈大地板砖的块数是725224；第五圈大地板砖的块数是422212；第六圈（最里一圈）大地板砖的块数是1；所以大地板砖的块数是181【答案】181【点评】本题属于规律探索型试题，主要考查了正方形及相关知识解答此类问题的关键正确探索出规律，要注意探索规律的方法有一定难度甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_【解题思路】甲报到的数为1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，所以3的倍数为9、21、33、45，所以甲同学需要拍手次数为4次。【答案】 4 。 【点评】甲、乙、丙、丁四位同学报数，四次一循环，甲报1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49这13个数，其中，9、21、33、45是3的倍数，因此甲需要拍手次数 4次。如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .【解题思路】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的=；第三个矩形的面积是=；故第n个矩形的面积为：【答案】.【点评】本题是一道找规律的题目，主要考查的知识点矩形的性质；菱形的性质对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的难度中等.2.凸n边形的对角线的条数记作，例如：，那么：；（，用含的代数式表示）【解题思路】先计算出、,再计算,从而找出规律,求出的值.【答案】5；4,；n-1。【点评】这是规律探究问题属于中考高频题，解答此类问题要学会寻找规律，一般情况下，要计算前3次，才能探索出一般规律，然后验证，难度较大3.如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形afbdce，它的面积为1；取abc和def各边中点，连接成正六角星形a1f1b1d1c1e1，如图(2)中阴影部分；取a1b1c1和d1e1f1各边中点，连接成正六角星形a2f2b2d2c2e2，如图(3)中阴影部分；如此下去，则正六角星形a4f4b4d4c4e4的面积为_ （1）a1bcdafebcdafebcdafeb1c1f1d1e1a1b1c1f1d1e1a2b2c2f2d2e2（2）（3）【解题思路】由三角形中位线性质得：a1b1：ab= 1：2，即a1b1= ab，同理可得a2b2=a1b1= ab；a3b3=a2b2= ab；a4b4=a3b3= ab，即第四个正六角星形与第一个正六角星形的边长之比为1：16，根据“相似多边形面积比等于相似比的平方”知它们的面积比为1：256 ，所以正六角星形a4f4b4d4c4e4的面积=正六角星形afbdce的面积=.【答案】【点评】本题考查从图形中探索数的规律问题.只要想到从相似多边形性质去考虑，问题将容易得解. 难度中等.4.如图4所示，直线op经过点p(4, )，过x轴上的点l、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线op相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为s1、s2、s3sn则sn关于n的函数关系式是_o1357911s1s2s3图4xyp【解题思路】先求出直线op解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为2，面积为sn的梯形上底所在直线为x=4n-3，上底长为，下底所在直线为x=4n-1，上底长为，故梯形的面积sn=(8n4) 【答案】(8n4)【点评】本题为探究规律试题，具有一定的难度将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆（用含 n 的代数式表示）第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形【解题思路】观察第一个图形小圆个数为：，第二个图形小圆个数为：，第三个图形小圆个数为：，由此得出第n个图形小圆个数为：即【答案】【点评】本题主要考查规律探索及由规律列代数式，解决本题的关键是发现图形中小圆个数的变化规律，难度中等. 如图（9），已知aob=，在射线oa、ob上分别取点oa=ob，连结ab，在ba、bb上分别取点a、b，使b b= b a，连结a b按此规律上去，记a b b=，则（1）= ； = 。【解题思路】：根据题意：oa1=ob1，a1ob1，a2b1b2，a3b2b3是等腰三角形，已知aob=，=1800-=;以此类推可得：=1800-（900-）=。【答案】；。【点评】本题是规律探究性问题，是中考的热点问题之一，在已知等腰三角形的顶角的情况下，通过计算三角形的外角来探索规律。本题难度中等。观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_个图形共有120个【解题思路】第1个图形有1个，第2个图形有3个，且31+2，第3个图形有6个，且61+2+3=，第4个图形有10个，且101+2+3+4=则第n个图形有120个，则第n个图形中的个数是1+2+3+n，即120，整理，得n2+n2400解方程，得n115，n216(不合舍去)所以，第15个图形有120个【答案】15【点评】本题是规律探索问题，根据简单图形的个数，找出图形的个数与图形序号之间的关系，然后用代数式表示三 解答题4.如图，在正方形abc1d1中，ab=1，连接ac1，以ac1为边作第二个正方形ac1c2d2；连接ac2，以ac2为边作第三个正方形ac2c3d3。（1）求第二个正方形ac1c2d2和第三个正方形ac2c3d3的边长。（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。 【解题思路】根据正方形的性质和勾股定理可求出ac1和ac2 的长，根据题意找到规律：每画一次正方形后的边长是原来的倍，第n个正方形的边长是。【答案】解：（1）ac1=。ac2=。（2）每画一次正方形后的边长是原来的倍，第7个正方形的边长是=8。答：（1）第二个正方形ac1c2d2的边长是，第三个正方形ac2c3d3的边长是2。（2）第7个正方形的边长是8。【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。 综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。要求读者通过阅读与操作，要归纳、猜想出背景所蕴含的规律或结论。数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案中等难度。1.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点o出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.(1)填写下列各点的坐标：a1（_，_），a3（_，_），a12（_，_）；（2)写出点an的坐标(n是正整数)；(3)指出蚂蚁从点a100到a101的移动方向.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12oxy1【解题思路】（1）由图形可直接写出a4、a8、a12坐标；（2）由（1）的结论不难确定点a4n的坐标(n是正整数)；（3）由（2）的规律可得点a100到a101的移动方向是向上的.【答案】解：a1(0,1) a3(1,0) a12(6,0) ；a4n(2n,0)；由（2）的规律可知：点a100于属a4n(2n,0)类中的点，从这些点移动到下一点都是向上的，所以点a100到a101的移动方向是向上的.【点评】本题是在平面直角坐标系中以点的有规律的（平行）移动为情境，探究点的坐标变化规律来解决问题.问题设计的起点比较直观，完成的要求具有梯度性、上升性，符合一般的认知特点.难度中等.2.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第8行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第8行共有_个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_，最后一个数是_，第n行共有_个数；（3）求第n行各数之和【解题思路】认真阅读，发现上述规律，每行的最后的一个数式行数的平方，便可解答了。【答案】(1)64，8，15；（2）n2-2n+2，n2，(2n-1);（3）第n行各数之和：【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，难度中等3.16观察下列算式： 1 3 - 22 = 3 - 4 = -1 2 4 - 32 = 8 - 9 = -1 3 5 - 42 = 15 - 16 = -1 （1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由【解题思路】等式的左边的第一列数恰好为序列数，第二列比第一列的数大2,第三列数是比第一列数大1的平方,第四列数比第三列数少1,第五列数恰好为第三列数【答案】解：； 答案不唯一.如； . 【点评】本题是等式的规律探究题，解题的关键是观察与确定其中 的不变量与可变量，进而用序列数表示。5阅读理解：同学们，我们曾经研究过nn正方形网格，得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+n2，但n=100时如何计算正方形总个数呢？下面我们就一起来探索并解决这个问题首先通过探究我们知道01+12+23+.+(n-1)n=,我们可以这样做：（1）观察并猜想：12+22=（1+0）1+（1+1）2=1+01+2+12=（1+2）+(01+12)12+22+32=（1+0）1+（1+1）2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23=（1+2+3）+(01+12+23)12+22+32+42=（1+0）1+（1+1）2+(1+2)3+_=1+01+2+12+3+23+_=（）+_.（2）归纳结论12+22+32+n2=（1+0）1+（1+1）2+(1+2)3+.+1+(n-1) n =1+01+2+12+3+23+n+(n-1) n =( )+_ =_+_ =_（3）实践应用通过以上探究过程，我们可以算出当n=100时，正方形网格中正方形总个数是_.【思路分析】通过提供材料求12+22+32+n2值的方法是首先将其转化为（1+0）1+（1+1）2+(1+2)3+.+1+(