高中数学复习课变式教学的思考与实践.pdf

数学教学通讯 教师版 投稿邮箱 sxjk 数学教学通讯 中等教育 投稿邮箱 sxjk 高中数学复习课变式教学的思考与实践 朱建平 江苏苏州市陆慕高级中学215131 摘要 高中数学复习课教学注重变式的训练 是提高数学复习效率的重要途径 教师有意识地引导学生 从 变 的现象中发现 不变 的本质 从 不变 中探求规律 逐步培养学生灵活多变的思维品质 提 高其数学素质 培养其探索精神和创新意识 从而真正把对能力的培养落到实处 关键词 复习课 变式教学 实践 教学研究 教学技巧 中 等 教 育 高考数学题 源于课本 高于课 本 这是历年高考试卷命题所遵循的 原则 也是在高考复习中一直所坚持 和探求的 如何理解和贯彻这个原则 笔者认为 通过对课本内容的深挖 对 例题 习题重组 就能将课本 资料 高 考试题有机地结合起来 从而在课堂 上展示知识的发生 发展过程 形成完 整的认知过程 去启迪学生思考 顿 悟 探究 在高中数学复习课教学和讲 评课中注重变式的训练 这是提高数 学复习效率 激发学生对数学学习兴 趣和信心的重要途径 变式既是一种 重要的思想方法 更是一种行之有效 的教学方式 襛什么是变式教学 1 所谓变式 就是在引导学生认识 事物属性的过程中 不断变更所提供材 料或事例的呈现形式 使本质属性保持 稳定而非本质属性不断变化 从而产生 新的问题情境 诱发学生用不同的方法 去思考问题 克服或弱化思维定式思 维 激发学习热情 活跃思维方式 改善 思维品质 尤其是思维的灵活性 树立 创新意识 发展创造能力 2 什么是变式教学 变式教学就是 对教学内容通过不同侧面进行 单维 的表述 使主体内容呈现形式不断发生 改变 在本质内容保持不变的前提下 使外在的表述形式不断发生变化 通过 对 单维 的多向表述 呈现 两维 三 维 或 多维 的问题形态 比如变更概 念中的非本质特征 变换问题中的条件 或结论 转换材料的形式或内容 配置 实际应用的各种环境或背景复杂化 但 概念或问题的本质不变 襛数学变式教学的基本思想 运用不同的知识和方法 借鉴科学 家发明创造的思想方法和数学问题的 编拟手法 对有关数学概念 定理 公式 及课本上的习题进行不同角度 不同层 次 不同情形 不同背景的变化 有意识 地引导学生从 变 的现象中发现 不 变 的本质 从 不变 中探求规律 逐步 培养学生灵活多变的思维品质 增强其 应变能力 激发其学习数学的积极性和 主动性 提高其数学素质 培养其探索 精神和创新意识 从而真正把对能力的 培养落到实处 结合教学实际 进行课 堂问题变式应该思考以下问题 1 课堂问题变式的数量的确定 问题变式的数量确定是一个首要 的问题 原因大致如下 第一 课堂时间 有限 第二 即使将数学学习时间拓展 到课堂以外 我们仍不可能提供并且教 授学生关于某个特定数学内容的所有 变式 数学教学是教会学生通过体验有 限变异这样一个过程学会面对未来变 异的本领 2 课堂问题变式的选取和安排 实际上 这是与问题变式的数量确 定紧紧相关的问题 正是因为问题变式 的数量有限 所以必须选择好的问题 问题变式安排应该遵循以下基本原则 第一 在问题的外貌特征上 后一问题 应与前一问题相近 第二 在问题的内 在结构上 后一问题应与前一问题相 近 第三 在变异增加的数量上 每一问 题应该逐渐增加 一次不宜增加过多 第四 在变异增加的内容上 应该从简 单到复杂 从具体到抽象 襛复习课数学变式教学的实施 知 识 归 析 精 选 范 例 解 法 探 究 探 索 变 式 问 题 解 决 总 结 升 华 36 数学教学通讯 教师版 投稿邮箱 sxjk 数学教学通讯 中等教育 投稿邮箱 sxjk 教学研究 教学技巧 1 概念的变式 复习课的一个重要任务 就是与学 生一起回顾本专题的知识内容 使学生 重温知识的内在联系 建立知识结构 为创新学习打下坚实的知识基础 在 知识归析环节中 教师活动体现在 1 设计针对性 启发性强的问题 激发学 生回顾旧知识的兴趣 2 引导学生建 立知识结构 学生活动体现在 主动参 与 积极回顾 探究所学知识的内在本 质联系 建立明晰 稳固的知识体系 使 所学知识在回顾与反思中得到进一步 升华 数学基本概念的变式往往从引 入 鉴别 巩固 深化和扩张几个阶段着 手 案例1 函数单调性定义的引入 安 排在必修1中 要求掌握单调性的直观 图形 理解单调性的定义 通过大量的 具体函数 理解单调性在研究函数中的 作用 复习课教学应定位在巩固 深化 概念 理解 应用定义 提升教材 开发 能力上 单调性与函数图形有密切联 系 了解了单调性 就可以基本上决定 函数图形的形状 画图 反之 掌握了 函数的图形 也就能很好地了解函数的 单调性 用图象法求函数的单调区间 单调性与不等式联系密切 单调性是 用不等式来描述的 反之 具体函数的 单调性反映了一些不等关系 例如 设函 数y f x 的定义域为A 区间I哿A 对于 区间内的任意两个值x1 x2 给出三个论 断 1 x1 x2 2 f x1 f x2 3 函数y f x 在区间I上是单调 增 减 函数 以其中两个论断作为条 件 余下一个作为结论 请写出你认为 正确的命题结论 1 2 圯 3 判断或证明函数单调 性 3 1 圯 2 比较函数值的大小 3 2 圯 1 解抽象不等式 教学中 不应只停留在直接应用 定义这一层面上 应通过典型例题的选 取 进行变式等创设 提升例题的功能 开发学生的解题能力 2 习题的变式 1 精选范例 复习课所选的范例应具有针对性 针对复习专题的内容和学生的实际情 况而选 起点要低 要面向全体学生 典型性 为巩固 三基 而选 对某个知 识点 某种方法 某种思想的训练有代 表性 能起到以点代面的作用 灵活性 解法多样 题型易变 易于实施变式教 学 综合性 体现所复习专题的知识 方法在本学科及其他学科中的应用 层次性 即范例的选排 变式题的探索 要有层次性 如由基础到技巧 由简单 到复杂 由单一到综合等 在此环节中 教师活动体现在 选择 符合上述要求的题目 为学生创设广阔 的探索空间 学生活动体现在 自主审 题 为实施解法变式 题目变式作好情 感准备 2 解法探究 通过对范例实施解法变式 追求一 题多解 解法优化 培养学生的灵活性 案例2 已知a b为正数 且ab a b 3 求ab的取值范围 解法1 ab a b 3 2ab 3 所以 ab 3 ab 9 解法2 设ab k 则a b k 3 a b是 x2 k 3 x k 0的两根 k 3 2 4k 0 k 9或k 1 又a b 0 所以ab a b 3 3 故ab 9 解法3 a b 3 b 1 因为a 0 所以b 1 0 ab b 1 2 5b 1 b 1 b 1 4 b 1 5 9 案例3 求证 1 cos2 sin2 1 cos2 sin2 tan 证法1 运用二倍角公式统一角 度 左 2sin2 2sin cos 2cos2 2sin cos 2sin sin cos 2cos sin cos 右 证法2 逆用半角公式统一角度 左 1 cos2 sin2 1 1 cos2 sin2 1 tan 1 cot 1 右 证法3 运用万能公式统一函数种 类 设tan t 则左 1 1 t2 1 t2 2t 1 t2 1 1 t2 1 t2 2t 1 t2 2t2 2t 2t 2 t 右 证 法 4 tan 1 cos2 sin2 左 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 sin2 右 证法5 可用变更论证法 只要证下 式即可 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 sin2 1 cos2 证法 6 由 正切 半 角 公式 tan 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 在解法变式环节中 教师活动体现 在 1 引导占据 当学生探索解法遇到 困难时 诱导 点拨 2 评价鼓励 对学 生探索得到的求解思路或方法评价 以 增强学生的探索信心和精神 激发探索 欲 学生活动体现在 自主探索解法 求得问题解决 求新求异 多角度思 考问题 多渠道寻求解决问题的方法 相互交流 相互启发 扩大探索成果 自主总结各种解法的规律与技巧 形 成解题技能 3 探索变式 复习课所说的 变式 与新课教学 模式中所谈的 变式 相比 更加深 广 即变式题目新 知识渗透深 方法应用 广 案例4 已知 ABC的一边的两个顶 点B 0 6 和C 0 6 另两边的斜率之 积是 4 9 求顶点A的轨迹 一般学生能比较容易地运用求轨 迹方程的直接法求得轨迹是椭圆 x2 81 y2 36 1 去掉点 0 6 0 6 探索规律 变式推广 深化认知 结构 37 数学教学通讯 教师版 投稿邮箱 sxjk 数学教学通讯 中等教育 投稿邮箱 sxjk 教学研究 教学技巧 学生解题后 教师引导学生对条件 和结论进行观察 得到 定值 4 9 与结论中的36 81存在 关系 4 9 9 9 36 81 定点B 0 6 和C 0 6 是椭圆 x2 81 y2 36 1短轴的两个端点 由此猜测得到 变式1 过两定点 0 b 和 0 b 的 两相交直线的斜率之积是 b2 a2 求交点 的轨迹 易求得结果为 x2 a2 y2 b2 1 除去 0 b 0 b 两点 引导学生将定点改为 a 0 a 0 得到 变式2 过两定点 a 0 和 a 0 的 两相交直线的斜率之积是 b2 a2 求交点 的轨迹 学生解答 仍得结果为 x2 a2 y2 b2 1 除去 a 0 a 0 两点 由此 教师启发 两定点发生改变 而轨迹不变 给我们什么启示 引导学 生观察两定点的位置关系 关于原 点对称 于是产生更大胆的猜测 是否 只要关于原点对称 所得轨迹就是椭圆 呢 于是得到变式3 变式3 设B acos bsin C acos bsin 当动点P x y 与B C的连线的 斜率之积等于 b2 a2 时 求动点P的轨迹 引导学生给出解答 结果为 动点A 的轨迹是椭圆 x2 a2 y2 b2 1 除去B C acos bsin acos bsin 四点 点评 在问题解决的过程中 启发 引导学生由浅入深 步步深化 善于透 过现象看本质 发现规律性 达到深化 学生认识 培养学生优良思维品质 发 展学生能力的目的 探索问题的逆命题 完善认知结 构 记条件 定点B acos bsin C acos bsin 记条件 点P与B C两点连线的 斜率乘积为 b2 a2 记条件 点P是椭圆 x2 a2 y2 b2 1 上的点 则变式3的命题结构为 圯 作逆向变式 引导学生探究上述 命题的逆命题是否成立 则可得到 变式4 设B acos bsin C acos bsin 是椭圆 x2 a2 y2 b2 1上两个定点 P 是该椭圆上的一个动点 求证 kPB kPC b2 a2 定值 变式5 设P是椭圆 x2 a2 y2 b2 1上的一 个动点 B C是该椭圆上两个定点 若 kPB kPC b2 a2 求证 点B C关于椭圆中心 原点 对称 点评 引导学生探索命题的逆命 题 可使学生从正 逆两个方面完整地 认识椭圆的性质 形成完整的知识结构 同时 在探索逆命题的过程中 不断克 服思维的单向性 培养和发展思维的整 体性和双向性 类比推广 扩大成果 在完整地认识了椭圆的有关问题 后 教师把握好时机 适时抛出范例2 引导学生继续探索 将椭圆的有关性质 类比到双曲线 实现知识迁移 要注意 运用激励性语言 鼓舞学生的斗志 使 学生一鼓作气完成探索 类比推广 ABC一边的两个端点 B 0 6 和C 0 一6 另两边斜率的积是 4 9 求顶点P的轨迹 易求得P的轨迹是双曲线 x2 81 y2 36 1 点评 问题推广 可以扩展学生对 问题认识的广度 更为重要的是让学生 用类比进行科学发现 在探索变式环节 教师活动体现 在 诱导启发 创设情境 激发学生 探索 适时引导 点拨 指引学生探索的 方向 如引导学生进行条件变式 结论 变式 等价变式 逆向变式 拓展变式 等 及时评价 鼓励学生的探续探 索的勇气 学生活动体现在 通过独立 探索 小组讨论 集体交流等方式 全员 思维 最大限度地探索题目的各种变式 问题解决 对范例变式得到的数学问题 难易 程度不同 应采取灵活多样的解决策 略 如详解 略解 课下练习 书面作业 课下思考讨论等 在此环节中 教师活 动体现在 对变式题的分类处理 确 定哪些题目课上解决 课下思考 引导点拨 适时启发 引导学生解题的 方向 点拨可面向个体 注意因材施教 适时作鼓励性评价 学生活动体现 在 自主探索 按教师要求 探求规定题 目的求解策略 相互探讨 对不能自主 解决的问题 学生