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2 2 1伯努利方程的推导 2 2伯努利方程及其应用 2 2 2伯努利方程的应用 重点 1 质量流量守恒 流体作定常流动时 流管中各横截面的质量流量相等 体积流量守恒 理想流体作定常流动时 流管中各横截面的体积流量相等 截面大处流速小 截面小处流速大 连续性方程 复习 2 连续性方程 原理 质量守恒定律条件 理想流体 定常流动描述 流速v和横截面积S之间的关系结论 Q Sv 常量伯努利方程 原理 能量守恒定律条件 理想流体 定常流动描述 流速v 高度h和压强p之间的关系结论 3 在短时间 t t 0 内 流体XY移至X Y X F1 1 h1 S1 Y S2 2 F2 h2 X Y 1 t 2 t p1 p2 以流管中XY段的理想流体为研究对象 根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功 机械能增量 2 2 1伯努利方程的推导 4 在短时间 t t 0 内 流体XY移至X Y A p1S1 1 t p2S2 2 t X F1 1 h1 S1 Y S2 2 F2 h2 X Y 1 t 2 t 外力的总功 p1 p2 动能的增量 势能的增量 S1 1 t S2 2 t V m1 m2 m 以流管中XY段的理想流体为研究对象 p1V p2V 5 根据功能原理 X Y两截面在流管中的位置选取上是任意的 对任意截面有 6 单位体积流体的动能 单位体积流体的重力势能 静压强 单位体积流体的压强能 动压强 疑问2 p为何称为单位体积的压强能 疑问1 p为压强 另外两项为能量 量纲不一致 7 的单位 静压强 动压强 的单位 V等于一个单位体积 如1m3 时 的单位 8 伯努利方程的结论 前提 理想流体做定常流动 同一流管内 结论 在作定常流动的理想流体中 同一流管的不同截面处 每单位体积流体的动能 势能 压强能之和为一常量 即 压强 流速和高度的关系 9 例题1 设有流量为0 12m3 s的水流过如图所示的管子 A点的压强为2 105Pa A点的截面积为100cm2 B点的截面积为60cm2 假设水的粘性可以忽略不计 求A B两点的流速和B点的压强 由连续性方程 得 解 水可看作不可压缩的流体 10 由伯努利方程得 11 1压强和流速的关系及举例 水平管 2压强和高度的关系及举例 均匀管 3伯努利方程的解题思路 2 2 2伯努利方程的应用 12 1 压强和流速的关系 条件 水平管 结论 流速小的地方压强大 流速大的地方压强小 13 压强和流速的关系应用举例 空吸现象汾丘里流量计皮托管 14 水流抽气机 2 1 喷雾器 空吸现象 S1 S2 v1p2 p2 p0 空吸现象 15 汾丘里流量计 S1 S2 h 流体的流量 p2 p1 1 16 气体流量计 气体的流量 17 直管下端A处流速不变 弯管下端B处流体受阻 形成速度为零的 滞止区 开口A与v相切 开口B逆着液体流向 所以 液体的流速 h为两管中液面高度差 皮托管 vA v vB 0 18 孔 孔处的压强差为 所以流速为 A孔正对着气体流动方向 形成滞止区 M孔截面与v平行 测量气体流速的皮托管 19 2 压强和高度的关系 条件 粗细均匀管 即 流体在粗细均匀的管中流动时 高处的压强小 低处的压强大 利用这一原理可解释体位对血压测量的影响 20 体位对血压的影响 21 通过计算可知 身体各部位距心脏水平高度每升高1 3cm 则升高部位的血压将降低0 13kPa 1mmHg 临床全麻手术过程中 为了使手术区域局部的脉压降低 减少出血 将尽量使手术部位高于心脏 测血压时 为避免体位对血压的影响 一般选定心脏为零势能参考点 人取坐位测定肱动脉处的动脉血压 如果将手臂抬高 测得的血压就偏低 如果低于心脏 测得的血压就偏高 22 3 利用伯努利方程解题 1 常与连续性方程联合使用2 选择待求点和最简单点 已知量最多 列方程3 选择方便解题的零势能参考面4 不熟悉特殊形式 可列出完整形式 23 例题2 水从一个大容器里放出 确定出口处的流速 由于 1 2 故有 1 2 可视 1 又因为p1 p2 p0 有 液体从小孔处流出的速度为 24 例题3 已知h1和h2 问 1 截面均匀的下端D被塞住时 A B C处的压强各为多少 2 D端开启时 A B C处的压强各为多少 这时水流出D处的速率为多少 h2 h1 B A D C 1 D被塞住 为静态 25 h2 h1 B A D C A B C D 选择A D两点 26 h2 h1 B A D C 选择B C D粗细均匀管 压强只与高度有关可以去掉一个未知量v 选择B D两点 选择C D两点 27