高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线 3.3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

3 3 1双曲线及其标准方程 一 二 思考辨析 一 双曲线定义 平面内到两定点f1 f2的距离之差的绝对值等于常数 大于零且小于 f1f2 的点的集合叫作双曲线 定点f1 f2叫作双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距名师点拨要注意定义中的限制条件 小于 f1f2 绝对值 非零 1 若将 小于 f1f2 改为 等于 f1f2 其余条件不变 此时动点的轨迹是以f1 f2为端点的两条射线 包括端点 若将其改为 大于 f1f2 其余条件不变 此时动点轨迹不存在 2 若将绝对值去掉 其余条件不变 则动点的轨迹成为双曲线的一支 3 若将 等于非零常数 改为 等于零 则此时动点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 一 二 思考辨析 做一做1 已知a 0 5 b 0 5 pa pb 2a 当a 3或5时 p点的轨迹为 a 双曲线或一条直线b 双曲线或两条直线c 双曲线的一支或一条直线d 双曲线的一支或一条射线解析 当a 3时 2a 6 此时 ab 10 p点的轨迹为双曲线的一支 靠近点b 当a 5时 2a 10 此时 ab 10 p点的轨迹为射线 是以b为端点向上的一条射线 答案 d 一 二 思考辨析 二 双曲线的标准方程 一 二 思考辨析 名师点拨1 在双曲线的标准方程中 可用x2 y2项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上 焦点在系数为正项对应的坐标轴上 2 双曲线标准方程中的两个参数a b是双曲线的定形条件 但不定位 双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定 一 二 思考辨析 做一做2 若k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是 a 焦点在x轴上的椭圆b 焦点在y轴上的椭圆c 焦点在y轴上的双曲线d 焦点在x轴上的双曲线 方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线 答案 c 一 二 思考辨析 做一做3 已知双曲线 则双曲线的焦点坐标为 解析 由双曲线的标准方程可知a2 16 b2 9 则c2 a2 b2 16 9 25 故c 5 又焦点在x轴上 所以焦点坐标为 5 0 5 0 答案 b 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线 2 对于双曲线标准方程 三个参数a b c中 最大的一定是c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 双曲线的定义及应用 例1 若一个动点p x y 到两个定点f1 1 0 f2 1 0 的距离的差的绝对值为定值a a 0 试讨论点p的轨迹方程 思维点拨 从题设条件看 p点的轨迹似乎是双曲线 但注意到双曲线定义中的条件 所以要确定点p的轨迹方程 应依据条件 对a进行分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 f1f2 2 1 当a 2时 轨迹是两条射线y 0 x 1 与y 0 x 1 2 当a 0时 轨迹是线段f1f2的垂直平分线 即y轴 方程为x 0 4 当a 2时 轨迹不存在 反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时 要注意定义中的条件0 2a f1f2 若条件中不能确定 f1f2 与2a的大小 需分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知在 abc中 c 2 0 b 2 0 sinb sinc sina 求顶点a的轨迹方程 由双曲线的定义知 顶点a的轨迹是以c b为焦点 实轴长为2的双曲线的右支 c 2 a 1 b2 c2 a2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求双曲线的标准方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 方法一 当双曲线的焦点在x轴上时 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 方法二 双曲线的焦点位置不确定 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 点p1 p2在双曲线上 反思感悟当双曲线的焦点位置不确定时 将双曲线方程设为mx2 ny2 1 mn 0 运算比较简便 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2求下列双曲线的标准方程 1 焦点的坐标是 6 0 6 0 并且经过点a 5 2 解 1 由焦点坐标知焦点在x轴上 且c 6 而c2 a2 b2 即b2 36 a2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 方法一 当双曲线焦点在x轴上时 探究一 探究二 探究三 思维辨析 方法二 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 焦点三角形问题 例3 已知双曲线16x2 9y2 144 f1 f2是左 右焦点 点p在双曲线上 且 pf1 pf2 32 求 f1pf2 思维点拨 本题主要考查双曲线中的有关焦点三角形问题 要注意灵活运用双曲线的定义及余弦定理求解 解 pf1 pf2 2a 6 pf1 pf2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 36 pf1 2 pf2 2 36 2 32 100 又 f1f2 2c 10 f1pf2 90 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟本题采用整体代换的思想 避免了单独求解 pf1 与 pf2 的值 这种思想在圆锥曲线问题中经常用到 另外 与焦点三角形有关的问题是椭圆 双曲线中一类重要问题 解题的思路一般是定义和余弦定理结合 采用整体代换的方法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3设f1 f2为双曲线 y2 1的两个焦点 点p在双曲线上且满足 f1pf2 90 则 f1pf2的面积为 解析 由双曲线定义 得 pf1 pf2 4 pf1 2 2 pf1 pf2 pf2 2 16 答案 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对双曲线的定义理解不当而致误 典例 双曲线上的点p到点 5 0 的距离为8 5 求点p到 5 0 的距离 易错分析 解答本题易错点有两处 一是对双曲线的定义模糊不清 忽略绝对值而出现漏解 二是需对解的个数进行检验 如右顶点到右焦点的距离是双曲线上的点到右焦点距离的最小值 解 设f1 5 0 f2 5 0 由双曲线定义 知 pf1 pf2 8 故 pf2 16 5或0 5 又因为左顶点到右焦点的距离为9 8 5 所以点p只能在双曲线的右支上 所以 pf1 16 5 即点p到 5 0 的距离为16 5 纠错心得由题意 知双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1 所以 pf1 0 5不合题意 事实上 在求解此类问题时 应灵活运用双曲线的定义 分析出点p的位置情况 然后再求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若双曲线x2 3y2 k的焦距等于8 则实数k 答案 12或 12 12345 a 10c k 0d k 1或k0 1 k 1 答案 a 12345 2 已知双曲线中心在原点且一个焦点为f1 0 点p位于该双曲线上 线段pf1的中点坐标为 0 2 则双曲线的方程是 答案 b 12345 答案 b 12345 4 如图 已知双曲线以长方形abcd的顶点a b为左 右焦点 且过c d两顶点 若ab 4 bc 3 则此双曲线的标准方程为 解析 a b为双曲线的左 右焦点 且ab 4 双曲线的焦点为 2 0 2 0 c 2 12345 5 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观测点同时听到了一声巨响 正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观测点晚4s 已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音传播速度为340m s 相关各点均在同一平面上 解 如图 以接报中心为原点o 正东 正北方向为x轴 y轴正方向 建立直角坐标系 12345 设a b c分别是正西 正东 正北观测点 则a 1020 0 b 1020 0 c 0 1020 设p x y