数学课程标准解读.doc

关于课程标准（2011版）十个核心词的解读各位领导、各位老师： 上午好！非常感谢徐主任给我这个机会，就咱们共同关心的问题与大家共同学习、探讨和交流。交流的内容是：关于课程标准（2011版）十个核心词的解读。下面我就参照前不久泰安会议曹培英教授的解读，借鉴义务教育数学课程标准（2011年版）解读这本书，以及一些知名专家的课标解读等，也融入自己的一些理解与思考，与大家做一个交流。引言义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称“11版课标”）最大的改变有两点。第一个改变是“双基”变“四基”。原来是数学基础知识与基本技能，现在是基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。这样的改变意味着什么？曹培英老师的理解，第一意味着：我国数学教育优良传统得到肯定。双基就是我国数学教育的优良传统，中国数学教育确实是有许多值得夸耀、值得向全人类推荐、推广的经验。例如：上海参加了国际学生评价项目PISA测验后，获得了三个第一的成绩，这个成绩引起了很多国家的震惊与好奇，纷纷前来中国考察，希望能找到三个第一的秘密武器，他们来到课堂上，听了我国最有传统意义，最具中国特色的一节数学课乘法口诀，他们原来以为中国的数学教育主要是依靠记忆+操练，没想到原来口诀都是教师让儿童自己编出来的，在理解的基础上进行记忆的。于是给我们总结出了非常有效地教学策略理解+记忆。我们自己也总结了基本技能训练方面的有效经验策略，比如说：铺垫+变式，变式就是变式练习，变式训练。铺垫就是复习题、过渡题等，这是顾泠沅教授总结出来的。在现行的小学数学教材中，不允许有复习题、铺垫题、过渡题等，希望把探究的空间放大，不要过多的教师干预，实际上教师如果需要自己可以有复习题、准备题等，这个老师们可灵活对待。第二意味着：回归“结果”与“过程”并重的理念。基础知识与基本技能隐含着结果，而基本思想需要在过程中渗透，基本活动经验也需要在教学过程中去积累，所以新增的这两点暗含着过程的意味。在本世纪初时，我们只注重结果，不重视过程，有些学者觉得不对，应该重视过程，出现了矫枉过正的过程观。“但求曾经拥有，不求天长地久”，认为只有过程的体验就行了，实际上我们说人民满意的教育，理想的教育不能只有过程，没有结果，必须有结果。第二个改变是六个核心词变为十个核心词。一起来回溯一下演变历程：小学算术(清末)：熟习日用计算。（两个核心词）这里面包含两个核心词，一个是计算，一个是应用。当时就是计算日常生活中柴米油盐等。所以有人把小学数学说成是生活数学，实际上小学数学知识并非都能实际应用。如：华应龙老师曾执教过的“量角”这节课，他曾经花了两个周的时间去寻找在我们的日常生活中什么时候用到量角，结果就是没找到；还有学习三角形的面积公式，在实际生活中很少用到求三角形的面积，几乎没有三角形形状的土地，大多都是四边形的，那我们还需要学习三角形的面积吗？老师们看这个多边形，怎样计算它的面积呢？对，把它分割成三角形，会求三角形的面积，就会求这个多边形的面积了。任何一个多边形都可以分割成若干三角形，只有会求三角形的面积才会求多边形的面积，而且初中三角函数时也需要用到这些知识，所以小学数学的知识并非都能实际应用。但是我们为什么要联系生活，因为联系日常生活的目的主要是帮助建构知识的意义，促进理解；还必须为进一步学习着想。 小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词) 义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。（六个核心词） 义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。（十个核心词）这是一个引言，回溯了10个核心词的演变过程，一个大致的发展脉络。老师们大致了解一下。下面我们进入正题，关于核心词的解读核心词之一数感一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像“数感”这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。先来看两个实例。实例1:2010年2月25日，国家统计局公布的2009年国民经济和社会发展统计公报显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反应此数据与实际状况严重不符。为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭（形容彼此相差很远，很不一致）呢？说明数感的确是存在的，它与公众的生活息息相关，并已成为现代公民所具有的基本数学素养的一部分。实例2：一教师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多少呢？教师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超出世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”的学习内驱力。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的232的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且教师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。一、对数感的认识什么是数感？11版课标是这样阐述的：数感主要是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。曹培英老师的解释更通俗易懂，他说就如同球员的球感，篮球运动员有篮球感，足球运动员有足球感，歌手有乐感等一样，简单地说就是对数的理解和感觉。11版课标将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计。关于数与数量。我们选择数与数量的最基本的概念“单位”来理解数感的建立。比如说：理解一些苹果、一些桌子、一些人等的数量时，我们需要引入数字符号：1,2,3，其中“1”是最重要的，它是数的基本单位，数数就是从1开始的。接着我们又接收了一些新的单位：“10”（十）、“100”（百）、“1000”（千）、“10000”（万），等等，对这些单位的认识是认识数量多少的基础，这种感觉也是“数感”的基础。再比如对数量单位的认识，度量桌子的长度，应该想到厘米，度量教室的长度应该想到米，度量北京到上海的距离，度量地球到太阳的距离应该想到千米。曾有一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”，小学生就会产生质疑：成立吗？为什么会质疑？是因为数学的数感起到了判断的作用（本文开始的实例1也说明了这一点）。实际教学中，填上适当的单位名称：一根黄瓜20（ ）关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。比如：学生在学习了分数之后，会建立起整体与部分之间关系的感悟；会判断 +一定小于1，因为每个加数都小于或等于。学生对一些相对综合、而显得复杂一点的数量关系的感悟常常是伴随着具体的问题情境而展开的。如：具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计价器熟视无睹，会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。关于运算结果估计。这是培养数感很重要的一个方面。在11版课标中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计”“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用” （第一学段）；“在解决问题的过程中，选择合适的单位进行简单估算”（第二学段）等。对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量的意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等，所以，对运算结果的估计反映的是对数学对象更为综合的数感。二、怎样培养数感？数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。1“数”出数感培养学生的数感在第一学段是重点，也就是一至三年级。学龄儿童通过日常生活中有意、无意的数数活动，知道了用数可以表示多少，在数数的过程中，他们就积累了这样的经验：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数。这些都是在培养学生的数感。这里跟老师们分享曹老师的一个案例。这是他在山东淄博城乡结合部的一所小学听过一节“1000以内数的认识”。我们来看这位老师是用了一个什么载体帮助学生建立1000的数感的。教师出示一篇古文，让学生数一数，一共有多少字。学生看到4字一句，5句一行，发现一行有20字，于是自发地20、40、60地数起来，数到100，看到正好组成一段，就又自发地从一行行数转向一段段数，100、200、300数完，迫不及待地报出答案，一共1000字。教师给予赞赏，揭示“这就是古代的千字文”。千字文原本只是4字一句，教师有意识地把它排列成5句一行，5行一段，以诱导学生20、20地数，100、100地数。用时不多，过程明了。数完，1000的感觉，自然而然地来了。教师安排的一系列巩固练习，又继续利用千字文，如：(1) 找出学习的“学”，从头数，它是第几个字？第305个(2) 从头数，第996个是什么字？第192个是什么字？仔细观察，学生找到“学”后，都100、100地数，轻而易举，“学”是第305个。第（2）题明显加大了难度。第996个字，学生都是倒数的。第192个字，多数学生从第二段起，120、140地数；部分学生从第二段末尾起，往回倒数；还有个别学生交流时说：“2008=192，从第二段最后一行，去掉后面2句，就找到了第192个字是量。”2“读”出数感请老师们回忆一下，整数的读数法则。“从高位到低位一级一级地读，每一级末尾的0都不读，其他数位不论连续有几个0，都只读一个0。”那你看这个数怎么读？30 0000 6000 ，三十亿零六千还是读作三十亿六千。该数“6”后面的三个0在个级末尾，“3”后面的第一个0在亿级末尾，都不读，没有争议。整个万级连续四个0，是看作“万级的末尾”呢，还是看作“其他数位”?有些模棱两可。曹教授给出的答案是，两种读法都可以，都正确。但在心里感叹：我们的老师真有才，居然找到一个例子，令我们的读数法则左右为难。所以在读数的时候不能紧盯着读数的法则，这当然没错。更应该把读数的注意力引到理解数的意义上来，至于读不读0，这些细节都不重要。有时正是这些细节要求分散了孩子的注意力，忽略了读数的数感功能。读数有数的感悟功能吗？请看：（1）6789读作（ ）千（ ）百（ ）十（ ）；（2）6789由（ ）个千，（ ）个百，（ ）个十和（ ）个一组成。（3）6789=（ ）1000+（ ）100+（ ）10+（ ）。分开看，第（1）题会读数的学生都能正确填写，后两题却被认为一题比一题更抽象，更形式化。现在将三题放在一起对比，不难发现它们原来是一回事，只要会读数，就应该都能正确回答。那么，为什么却感觉一题比一题难，难度从何而来？原来，一部分学生虽能正确读出六千七百八十九，却就像 “小和尚念经，有口无心”，并没有意识到六千就是6个千，就是61000学生总在想读数法则，注意力都在想我怎么能把数读对，而不是理解这个数的组成。不仅是整数，分数也能读出数感。如，读作三分之二；读出数感，我的理解就是在读数的过程中理解数的意义。3“估”出数感4“算”出数感数感可以“算出来”、“估出来”，已被认识并实践了多年，也有相关经验总结见刊，这里就不再展开论述了。5“用”出数感。小学数学的实际问题，大多涉及数。因此，在应用所学数学知识解决实际问题的过程中，数感常常会自然地得以表现。例如，解答下题（苏教版数学三年级下册的一道习题）;已知条件是步行的时间与速度，求路程。用到的计算是很简单的两位数乘法，7215=1080（米）。但更吸引我们的是被提的两个问题，综合了“上北下南，左西右东”的图上方位的知识。回答问题的大致思考过程是：（1）学校的东面是少年宫，相距1000米，从学校出发向东走1080米，超过了少年宫，所以在少年宫的东面。（2）学校的北面是烈士陵园，相距2000米，从学校出发向北走1080米，所以在全程中点的偏北处。询问做出正确解答与标注的学生，学生的回答都包含两个判断：1080比1000大一点；1080比2000的一半大一点。作出这两个判断，无须考虑1080米有多长，也不用顾及1000米、2000米的实际长度。如果将长度单位“米”换成“千米”或别的什么单位，答案还是这样。显然，这就是数感的“自动化”反应，是与量无关的单纯的数感。事实上，即便是解决脱离现实背景的数学问题，也常常要用到数感。例如，求两个数的最大公因数、最小公倍数，分数的约分、通分，分数与小数的互化，等等。核心词之二符号意识一、对“符号意识”的理解11版课标中是这样定义的：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。 建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。要更好地理解这段话，首先要理解什么是符号？符号通常是指具有某种代表意义的记号、标识。它源于规定或约定俗成。它是意义的载体，精神的外化呈现。 比如，路口的红绿灯并不具备“灯”的照明功能，而是交通规则的标识；北京故宫、京剧等，已在相当程度上成为中国文化的符号。红色的“十”，原本是红十字会的专用标志，现在已具有医疗卫生、救死扶伤的公认意义，并象征着人道主义精神。这些都是社会上的符号，而不是数学符号。那么什么是数学符号呢？数学符号“标识”的内容是特殊的：特殊在什么地方呢？可以表示数、数量关系和变化规律。它的作用更具特殊性，特殊在什么地方呢？可以进行运算和推理。社会上的符号是不能运算、不能推理的。正是因为我们看不到数学符号与一般符号之间的联系与区别，所以出现了一些误区。主要误区有：1.生活中的符号混同数学符号。一节展示课，四年级，课题是“生活中的符号”，将日常生活中的各种符号引进课堂，并诠释符号的含义。这样的课因其轻松、活泼而具有观赏性，又贴上了培养符号感的标签，而一度受到赞扬和追捧。但要问：这是数学课吗？生活中的符号还用等到四年级才认识吗？小孩子还没有进幼儿园的时候，就已经知道了，比如说看到这个“M”标记，就知道这是什么了，这是不是符号意识呢？所以社会已经先于学校培养了孩子的符号意识，还用等到四年级再来学习吗？2.规律的表征混同符号意识。这串灯笼的排列有什么规律呢？红 绿 红 绿 红 绿 1 2 1 2 1 2 这些只是记号。3.一概让学生自创符号现在好多课堂上设计让学生自创符号，比如：分数的初步认识创造1/2的过程；认识负数创造负数的过程，用字母表示数创造字母的过程等，这样做很好。但在学生自创出自己的符号以后，一定要让学生理解为什么不能用你那个符号，为什么几百年来大家都喜欢用这个符号，因为这些符号是人类思维的结晶，是人类的文化。 二、怎样培养小学生的符号意识（教学实践研究的路径无非两条，一是回溯式研究，即回顾、追溯（su）曾经的教学经历，从相关经验中筛选、提炼有效策略；二是探索式研究，即针对存在的问题或根据新的设想进行试验性、开拓性的实践，以获得新认识、新经验。以下教学对策是从回溯到探索，两条路径结合、互补的产物。）1.首先是让学生亲近符号，接受、理解符号（1）数字符号数字符号：1,2，3,4,5,6,7,8,9,10,11，可以看做我们最早接触的数学符号，它给我们带来了巨大的方便。1老师们都有自己的教学阿拉伯数字符号的经验，其中最为经典的中国式策略就是让学生诵读儿歌，如：1像铅笔，细又长；2 像鸭子，水中游；3 像耳朵，两道弯；4 像小旗，迎风飘；实践表明，富有童趣的儿歌能激起学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。但仅仅停留于此是不够的，还必须重视引导学生初步体会数的抽象。如：数学教育家曹飞羽先生曾经讲过这样一个真实的故事：拨乱反正后，人民教育出版社着手编写全国通用教材，实验初期的油印本，53的插图是5只小鸡与3只母鸡，尽管画了三条一一对应的虚线，不少学生还是认为“3大于5”。他们的理由是1只母鸡都可能比5只小鸡大，何况3只母鸡。说明什么呢？说明一年级小学生还难以彻底摆脱量（特别是质量）对抽象出数的干扰，所以最后把3只母鸡改成了3只小鸭。三十多年过去了，这个案例之所以始终保持在记忆里，是因为它能给我们很多提醒。用在这里是想提示：数字符号，作为事物共同属性的标志，抽象对于小孩子来说不是那么容易的，它的抽象不是一朝一夕就能完成的，需要一个发展过程，需要持续的教学努力。当然，也和数感的建立密切相关。（2）运算符号小学数学主要教学加、减、乘、除四种运算的符号。这些符号可以通过动态演示，揭示符号指代的运算含义。加号的演示：先出现一横，再移来一竖，以显示“合并”、“添上”、“增加”的意思。减号的演示：从“”里拿走一竖，表示“去掉”、“减少”的意思。乘号的演示：将“”转动 45成“”，表示特殊的加即同数连加。 加号的生成 减号的生成 乘号的生成除号“”的含义：“先写中间一横表示平均分，上面、下面各一点，表示每份同样多”。可见，运算符号的直观形态与其内在含义，呈现高度的和谐、统一。学生看到了这些符号的动态生成，也就记住了相应运算的含义。这些诠释，用历史的真实来考察，有些可能并非符号原创者最初的想法，与符号演变史实也有些许出入，但从教学工艺学的视角考量，却是基本符合符号本意的教学艺术加工。其教学效果非常明显，尤其是孩子喜闻乐见，印象深刻，容易内化。（3）关系符号小学数学首先出现的关系符号是等号，接着是大于号、小于号，然后是约等号和不等号。1557年，等号的首创者英国数学家列科尔德在其论文智慧的磨刀石中说：“为了避免枯燥地重复is equal to（等于）这个短语，我认真比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了。” 小学生容易感知“等长”，怎样让他们在学习平行概念之前初步感知“平行”呢？在“”两头各嵌入两个小正方形，以显示距离相等，用学生的语言来说“一样宽”：在此基础上，以线段的中点为旋转中心，将其分别朝相反方向旋转30度，使等长线段的一端并拢，一端张开，就生成了大于号、小于号。老师们都知道概括这两个符号的共同点是开口对大数，尖头对小数。若能通过动画演示让他们看到“开口”、“尖头”原来是从等号演变过来的，符号活了，亲近感油然而生，教学效果自然更为理想。有教师发现，伸出右手，张开食指、中指，就是一个相当标准的大于号；反之，伸出左手，张开食指、中指，就是一个相当标准的小于号。进而，约等号、不等号，也可以在等号基础上引进： 让等长的线段弯一弯，等号就变成了约等号；等号添上斜杠，就表示no，不等于。也正是因为数学的象形符号与生俱来的简约记忆功能、辅助理解功能，所以，小学数学符号教学的基本任务是让学生欣赏符号、感悟符号。那些不切实际，花费可观的时间让学生自创符号的做法，值得反思。给学生自创符号的机会，并鼓励他们张扬个性，是很好的。但若脱离学生的实际，且厚此薄彼，忽视已有符号的认知与领会，就难免流于形式，适得其反。2.其次是让学生初步感悟符号表达的优势与作用一般认为，用字母表示数的优越性主要是简单明了，即“简洁”。那只有简洁就行了吗？我们说这是不够的，还应该利用现有的内容，使学生对用字母表示数的优越性有更深入一些的认识。来看这样一个例子。乘法分配律是一个可以充分利用的载体。下面是人教版教材的一个片段：用字母 a、b、c分别表示三个数，学生不难写出乘法分配律：(ab)cacbc。将它和算式比较，一个特殊，一个一般；与文字叙述比较，一个冗长，一个简洁。通常比较到此为止，实在有些遗憾。细致分析女孩说的那段话，前面是“两个数”、“一个数”，后面变成了“它们”、“这个数”。原来这么长的一段话，谁和谁先加、再乘，又是谁和谁先乘、再加，仍然没有说清楚。这个例子说明什么呢？数学规律用数学语言来描述总是会有漏洞的，总是讲不清楚，意思表达得总是有些模糊，你要一目了然，一点没有歧义，那就要用到符号了。(ab)cacbc。可见，用字母表示数的 “优势”不仅在于“简洁”，在于由特殊到一般，更在于“准确”、“无歧义”。核心词之三空间观念一课标中关于空间观念的阐述。11版课标，关于空间观念的表述是：“主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”为了更好地理解这段话，先来看一个概念，“空间”。空间是数学上的重要概念。三维空间立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥二维空间平面图形：圆、三角形、四边形（平行四边形、长方形、正方形、梯形）一维空间线形图形：线段、射线、直线再来理解这段表述中的四句话。第一句话：主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。“根据物体抽象出几何图形”是从三维图形到二维图形转化的过程，“根据几何图形想象出所描述的实际物体”是从二维图形到三维图形的转换。在这个过程中充满了观察、想象、比较、推理和抽象。这里的“特征”显然是指几何特征，这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。如：根据牙膏盒的特征，有六个面，相对的面是长方形等几何特征抽象这是一个长方体，并且还得知道它的三视图什么样，它的六个面的展开图什么样；根据一个圆柱体的展开图，上下两个相等的圆和中间一个长方形，能想象出这是一个圆柱，进而再想到这可以是一个圆柱形的茶叶桶。等第二句话：想象出物体的方位和相互之间的位置关系；方位与现实生活是密切联系的，也是个体对空间把握能力的一个具体的体现，对方位的感知和图形相互之间位置关系的把握，是表现空间观念的一个重要的方面。方位有东、西、南、北四个基本方向，由此产生的东北、西北、东南、西南共八个方向。“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，在不同的问题情境中有不同的想象的水平要求。在给出包含四个方向并注明中心点的方位结构中判断某一物体的相对于中心的方向，是最基本的层次；只给出一个方位（如北），判断物体之间的位置关系，就需要学生更发杂一些的想象力了，同时推理也是必要的。如：书店在学校的什么方向？学校在书店的什么方向等。第三句话：描述图形的运动和变化；图形的运动和变换，小学阶段主是指两种，一种是图形的对称、平移、旋转，物体的形状大小不变，位置变了；另一种是能按一定的比例把简单图形在方格纸上放大、缩小，形状不变，而大小变化。 第四句话：依据语言的描述画出图形等。这是动手操作方面，强调画出图形。如描述一个四边形，对边平行且相等，有一个角是直角，就能画出一个长方形。还有一个概念，想提一下“维度”，“维度”是形成空间观念的另一个基本概念。帮助我们建立数与图形的联系。在直线上，可以用一个数描述点的位置；在平面上，可以用两个数描述点的位置；在三维空间上，可以用三个数描述点的位置。二、空间观念的主要表现概括地说，小学生空间观念的表现，主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激反应”。图形 变换名称特征实际事物空间观念联想以受到实际事物的刺激生成的反应为例。提到香港特别行政区的区旗，想到旗面是长方形，五片花瓣可由其中一片旋转得到，有的学生还能看出瓣叶顶端的五个点在同一圆上，等等。走在某一十字路口，反应出这两条路互相垂直，有时还联想到邻近的某条路与这两条路之一平行，等等。看到药盒，头脑里出现它的立体图、三视图、展开图，想到它的面、棱、顶点的特征，等等。 二、怎样发展学生的空间观念？理论和实践都能告诉我们，小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”，亦即主要途径、手段是观察与操作，两项都属于直观教学范畴。1.观察视觉直观观察是一种有思维积极参与的感知活动。正是在这个意义上，人们常说观察是智力活动的门户。小学生观察能力的发展与空间观念的发展，基本上是同步的。曹培英老师曾总结引导学生观察空间形式的基本教学策略：（1）比较、辨析图形的异同；（2）在运动变化中观察图形特征；（3）在各种背景中识别基本图形。鉴于这些对策已为广大教师所熟知，因此本文不再展开。2操作动作直观小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类，即操作实验活动与画图。操作实验最常用的操作实验有图形的拼摆、折叠、划分、测量、割补以及制作模型等。 画图画图是学习几何的常规直观手段。通过画图，丰富学生的几何认知，促进空间观念的发展。例如：过两点画直线、线段，可以感知两点确定一条直线，两点之间线段最短；过直线外一点画已知直线的平行线、垂线、垂线段，有助于体会平行公理、垂直的唯一性，以及垂直线段最短。在五年级的分数应用题中，画线段图帮助理解题意等在这手脑并用的过程中，学生经历了一系列的想象、验证活动，获得了可贵的探究体验和一定的操作经验。3想象观察与操作如果说是空间观念发展的基础，那么想象与再现则是更高层次的空间观念的表现。 看一个例子：如果在教学中，我们提出这样的问题：如图62所示，桌子上摆着三件物品，图63是从上面看到的物品的图片，其中a,b,c,d,e五点表示从桌子的四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组图分别是从a,b,c,d,e五点中的哪一点看到的。对学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模拟地创设这样一个情境，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象作出判断的难度，但同时也失去了培养学生想象力的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着做出判断，然后再实际看一看，把实际看到的和想象的进行比较，得出正确的结论。这样将有助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生的空间观念。核心词之四几何直观几何直观，顾名思义有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。综合起来，几何直观就是依托、利用图形而获得的感性认识，进行数学的思考和想象。 一、 11版课标中的陈述在课程标准（2011版）中，把几何直观作为数学课程标准10个核心词之一，这是一个进步。11版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”这段话只有三句，第一句将几何直观的主要表现作了非常精炼的概括，后两句进一步阐述几何直观的优势，或者说它的作用（功能）。 二、怎样培养、发展小学生的几何直观。培养、发展小学生的几何直观，可以从以下几方面入手。1在教学中使学生逐步养成画图的习惯在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处。在教学中 应努力做到能画图时尽量画，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。从一年级起，就可以引导学生画图表示数，画图说明计算结果，特别是在解决实际问题时，放手让他们“把应用题画出来”。以后随着年级的增长再酌情引进线段图、韦恩图（“集合圈”）等。2重视数形结合的应用，特别是“形使数更直观”方面的应用。事实上，小学数学从开始认数，就在不断地使用几何直观。例如：案例 认识个级的四个计数单位的立方体模型，因其有助于学生建立这些计数单位的数感，而被反复使用。个十百千之后，认识小数、分数，理解整数、小数、分数的四则运算，也在大量地使用几何直观。如：案例 分数乘法的几何模型，为什么分母相乘、分子相乘，一目了然。 图16还有我还记得2012年的省优质课评选中咱芝罘区的郝金裕老师讲过的一节两位数乘两位数，也是通过几何直观图来呈现了算理，给人留下了深刻的印象。 3适当扩展几何直观的应用范围。除了四则运算的算法解释可以直观图示之外，还有不少内容也能发挥直观教学的优势。试举两例：案例12 教学2或5的倍数的特征，通常只归纳结论，不讲为什么。如果出示图22：2362306图22就比较容易让学生直观理解：一个多位数总可以分成整十数与个位数两部分，整十数一定是2或5的倍数，因此判断一个多位数，只要看个位数是不是2或5的倍数。进一步还能由图想到，如果一个多位数不是2或5的倍数，那么它除以2或5的余数，也只有看个位数就行了。例如，6除以5余1，则236除以5的余数就是1。1图23案例13 计算，一般学生只会先通分，再相加。如果画图并演示（图23）：绝大多数学生都能受到启发，“看出”简便算法：。进而没有图示也能如法炮制：显然这是几何直观促成的类推。4.掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等。在数学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果。曹培英教授针对几何直观有一段文字说明：几何直观与空间观念、与数形结合之间的联系与区别，在理论上不能说没有道理。但若面对小学课堂的真实情境，真正进入数学教学的实践，又不得不承认，这些概念间的差异，实在微不足道，可以忽略不计。 由此笔者以为，将几何直观列为核心词，有积极意义，有利于加深对直观的认识，有利于指导直观教学的改进。但实际上，只要切实加强空间观念的培养，重视数形结合的应用，也就可以了。因为小学数学历来以直观认识、直观理解为主。 核心词之五数据分析观念。一、“统计观念”与“数据分析观念”此次课标修订，将原“统计观念”改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不鲜明的弱点，将数据分析观念作为该部分内容的核心，突显了统计的研究对象。即在义教段，学生学习统计与概率的核心目标是发展数据分析观念。二、11版课标中的阐述。11版课标是这样阐述概念的：数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”可能有的教师认为，这里提出培养一种“分析”的观念是否要求过高？特别对小学生来说，这种对数据分析的要求怎样才是合理的呢？11版课标考虑到在教学中操作的可行性，将数据分析观念定位于如下三点：其一，让学生经历收集、整理、分析数据的过程，通过数据分析做出决策或推断，并体会数据中蕴涵着信息。我们不妨把这一要求成为“过程性”要求或“活动性”要求。其实对于小学生来说要逐步建立起对数据的某种敏感或领悟，最好的办法莫过于让他参与到他身边的多样化的生活问题中去，亲身经历对数据的调查、研究、作出判断的过程。这样才能真正体会到数据中蕴涵着信息，并建立起“用数据说话”的意识和观念。也就是说数据分析观念的培养离不开活动与过程。而这些活动又应放在丰富而生动有趣的背景下进行。教师要善于引导学生主动地去获取周围的有关数据信息的课题，比如，关于全班同学的喜好方面的一些统计的例子就有很多：喜好的歌曲、运动项目、各类课外活动、感兴趣的电视节目、爱吃的水果蔬菜、爱喝的饮料、最喜欢的颜色、四季中最喜欢的季节等等。其二，根据问题的背景，选择合适的数据分析方法。这体现了数据分析的“方法性”要求。即数据分析观念的培养要建立在一定方法的掌握上。比如，11版课标附录2中例38：“对全班同学身高的数据进行整理和分析。”在其说明中就体现了这样的导向：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有益于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。”这就需要我们根据问题的背景和需要选择合适的统计图。从这个意义上说，统计学对结果的判断标准是“好坏”，而不是“对错”。其三，通过数据分析体验随性。这可视为数据分析的“体验性”要求。这也是此次修订后的一个变化。 比如，11版课标附录2中的例40：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定，这能使学生初步感受到数据的随机性；另一方面，又放回重复摸多次（摸完后放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如，红球多还是白球多、红球和白球的比例等。又如附录2中的例22：让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。如果把记录的时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生体会数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性。也就是说，通过一个星期的调查可知道“大概”需要多少时间。从上述讨论可知，数据分析观念的培养要从学生感兴趣的现实问题出发，使学生经历数据分析活动过程，掌握一定的数据处理方法，体验数据的随机性。总之，要围绕“数据”做文章，使“数据”成为学生发现、提出、分析、解决问题的好伙伴。核心词之六运算能力一、概念界定。11 版课标中是这样阐述的：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。表述中有两句话，第一句话是对运算能力的界定，第二句话是培养运算能力的作用。口算基础算法掌握算理理解运算策略有人问曹教授，运算能力与计算能力有什么不同？曹教授回答，在理论上是不一样的，但在实际操作中基本上是一样的，一般在小学我们都说计算能力，运算能力适合小学、初中每个学段，运算能力包括计算能力。1小学生运算能力的结构：在这个结构图中，口算是基础，20以内加减法是整个小学阶段整数、小数、分数加减法的基础；乘法口诀小九九是整个小学阶段整数、小数、分数乘除法运算的基础。互相联系、互相作用的。2应传承的有效教学策略 “理解记忆” “铺垫变式”3近年来的若干教学误区（1）.铺垫”：被遗弃的“精准性”教学技术。因为教材的编排没有了铺垫，所以老师们在实际教学中也不敢设计铺垫或过渡了。那我们不是说“用教材教”吗，怎么叫用教材教，不是根据教学的实际情况来灵活处理吗？所以有些教学内容适当地铺垫和准备是非常有必要的。比如讲异分母分数加减法，先复习同分母分数加减法，是充分利用了学生已有的认知基础，只要把异分母变成同分母就行了，在异分母加减法中不需要讲“分母不变，只把分子相加减”这个道理的；讲小数加减法，复习一下整数加减法的算法，把相同数位对齐的道理迁移到小数加减法中来，是建立起了知识间的联系，有利于学生理解和接受。（2）计算教学的与时俱进出现了部分异化 如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干 例：24 2“主干算法” 2个4 加 2个20 过于渲染6(42)，8(32)，2424 无异于“作秀”！所以算法多样化一定不是形形色色的怪招绝招要坚决摒弃人为堆砌的繁琐，有些哗众取宠的算法。4合理选择算法正确计算本是“笔算”的内涵 35 22 70 700 笔算，用竖式计算，也就是合理选择算法。 如“3522”的笔算：2个35加20个35 简便运算：35223520352 有的老师割裂“笔算”与“简便运算”。5合理选择算法也是“估算”的题中之义（关键所在）估算中也有一定的策略与方法，要智慧地估，不能瞎估或胡乱地估。出示：2218此题可以估算。（1）把22看作20，2018=360，360比积小。估小了还大于350，所以一定能坐下。（2）把18看作20，2022=440，440比积大。（3）把18看作20，把22看作20，2020=400，比积少2个18，多2个20。我们来看这三种估算方法，哪种比较合理呢？当然是第（1）种比较合理。二、培养运算能力应注意以下几方面问题1注意强化与运算有关的概念、公式、命题的理解，夯实运算的知识基础。2注重通过各部分知识的关联、贯通、整合来培养学生的运算能力。3循序渐进，逐步培养学生在运算中进行数学思考的意识和能力。4通过“四基”的协调发展，培养学生的数学运算能力。5运算能力的培养还需要处理好教学中的一些具体问题。如：教师如何进行习题训练，如何进行估算教学等。核心词之七推理能力一、11版课标中的阐述。在课程标准（2011年版） 中是这样阐述的：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果； 演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。 阐述中提出两种推理合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要用到归纳推理，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，但比较适合小学生的年龄特点，易于接受。例1：如：直径1厘米的圆周长约是3.14厘米，直径2厘米的圆周长约6.28厘米， 直径3厘米的圆周长约是9.42厘米，直径4厘米的圆周长约是12.56厘米， 从中发现规律：一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。例2：10就是求10的是多少，24就是求24的是多少，72就是求72的是多少。 由此得出：整数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。还有所有运算律的推导等都是用到了合情推理。 例3：因为长方形的面积=长宽所以长方体的体积=长 宽 高这是合情推理中的类比推理。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。（这是必然性推理，即只要推理前提真，得到的结论一定真。基本形式是三段论。）举例 ：因为人要吃饭，因为我是人，所以我要吃饭。因为三角形的内角和是180，因为这是图形是一个三角形，所以这个图形的内角和是180度。因为3618 所以30618个十=180 所以30600180个百=18000凭借数的概念演绎推理 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。生活中也有推理 学校开设了美术、音乐、体育3门课，王、李、张3位老师分别教其中的一门课。现在知道：王老师不是美术老师，李老师从不在操场上上课，张老师上课用钢琴。根据这些信息，你能知道这3位老师分别教哪一门课吗？ （排除法利用已经知道的条件，将不符合条件的事物去掉，这种方法叫排除法）王老师：不是美术老师，可能是音乐老师和体育老师；李老师：不是体育老师，可能是音乐老师和美术老师；张老师：一定是音乐老师。 计算中也有推理 计算75？ 7310 7573210212二、关于学生推理能力培养在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是一个逐渐提升的长期过程。以下几个方面在教学中应该加以注意。1推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中。其一，应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，及四大领域中。其二，应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。其三，应贯穿于整个数学学习的环节中。如预习、复习、课堂教学、自我练习等。2通过多样化的活动，培养学生的推理能力。反思传统教学，对学生推理能力的培养