高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版.doc

平面向量的数量积及其应用自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_.|a|b|cos _叫做a和b的数量积(或内积)，记作_ ab|a|b|cos _，其中向量的投影：cos=r，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。c规定：零向量与任一向量的数量积为_0_. 即（2）平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_|b|cos _的乘积.(3) 平面向量数量积的重要性质：如果e是单位向量，则aeea_ |a|cos _；非零向量a，b，ab_ab0_；当a与b同向时，ab_|a|b|_；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是_ ab0_）当a与b反向时，ab_|a|b|_，aa_ a2_|a|2_，|a|_；（两个非零向量a与b平行的充要条件是_ ab|a|b|_）cos _；|ab|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律：ab_ ba _；(2)分配律：(ab)c_ acbc _；(3)数乘向量结合律：(a)b_(ab)_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y (2) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y20 .(3) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos _.(4)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (5)若a（x1，y1），b（x2，y2），则 _(x2x1，y2y1)_，所以|_.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.3.一般地，(ab)c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形abc中，应为120，而不是60.自我检测1.已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2， |b|3，则向量a和向量b的数量积ab_3_.2.在rtabc中，c=90,ac=4,则等于 ()a16b8c8d163已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab| ()a0b2c4d8b2.4.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_.5.已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_.6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(ab)c(ca)b0；|a|b|0且ab不同向即|i|22|j|20，0)得2.且2.（4）已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|3|的最小值为_解以d为原点，分别以da、dc所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设dca，dpy.d(0,0)，a(2,0)，c(0，a)，b(1，a)，p(0，y)，(2，y)，(1，ay)，3(5,3a4y)，|3|225(3a4y)2，点p是腰dc上的动点，0ya，因此当ya时，|3|2的最小值为25，|3|的最小值为5.题型三平面向量的垂直问题例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0).(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数) (1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直.(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|=，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos().又k0，cos()0.而0，00) 求证：ab与ab垂直；用k表示ab； 求ab的最小值以及此时a与b的夹角.点拨：1.非零向量abab0x1x2y1y20.2当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异解 由题意得，|a|b|1，(ab)(ab)a2b20，ab与ab垂直 |kab|2k2a22kabb2k22kab1，(|akb|)23(1k2)6kab.由条件知，k22kab13(1k2)6kab，从而有，ab(k0) 由(2)知ab(k)，当k时，等号成立，即k1.k0，k1.此时cos ，而0，.故ab的最小值为，此时.（3）设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a与b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求证：ab. 解因为a与b2c垂直，所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又当时，等号成立，所以|bc|的最大值为4.证明由tan tan 16得即所以ab.（4）如图441所示，在等腰直角三角形abc中，acb90，cacb，d为bc的中点，e是ab上的一点，且ae2eb.求证：adce.解()()|2|2|cos 90|2cos 45|2cos 45|2|20，即adce.,（5） 在abc中，=(2, 3)，=(1, k)，且abc的一个内角为直角， 求k值解：当a = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当b = 90时，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当c= 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =题型四向量的数量积在三角函数中的应用例4已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)abcos xcos sin xsin cos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.变式迁移4 （1）已知abc的面积s， 3s，且cos b，求cos c.解由题意，设abc的角b、c的对边分别为b、c，则sbcsin abccos a3sbcsin a 0，a，cos a3sin a.又sin2acos2a1，sin a，cos a.由题意cos b，得sin b.cos(ab)cos acos bsin asin b.cos ccos(ab).（2）已知abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，g是abc的重心，且56sin a40sin b35sin c0.(1)求角b的大小；(2)设m(sin a，cos 2a)，n(4k,1)(k1)，mn的最大值为5，求实数k的值解：(1)由g是abc的重心，得0，由正弦定理，可将已知等式转化为整理，得(56a35c)(40b35c)0.，不共线，由此，得abc578.不妨设a5，b7，c8，由余弦定理，得cos b.0b1时，f(t)在(0,1上为增函数，所以，当t1时，mn取得最大值5.于是有：24k15，解得k，符合题意，所以，k.（3）已知等边三角形abc的边长为2，a的半径为1，pq为a的任意一条直径，判断的值是否会随点p的变化而变化，请说明理由；求的最大值。1一些常见的错误结论：(1)若|a|b|，则ab；(2)若a2b2，则ab；(3)若ab，bc，则ac；(4)若ab0，则a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，则bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|a|a与b的数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2a与b共线的充要条件ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要条件abab0abx1x2y1y20向量a与b的夹角cos cos 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证ab=cd，可转化证明22或|.（2）要证两线段abcd，只要证存在唯一实数0，使等式成立即可（3）要证两线段abcd，只需证0.平面向量的数量积及其应用练习一一、选择题1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为 ()ab. c2d61d因为ab6m0，所以m6.2已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为 ()a6 b3c3d62d由(2a3b)(ka4b)0得2k120，k6.3.已知abc中，a，b，ab0，sabc，|a|3，|b|5，则bac等于 ()a30b150c150d30或1503csabc|a|b|sinbac，sinbac.又ab1，则实数k的取值范围是 ()a.(，0) b.(2，)c.(，0)(2，) d.(0,2)二、填空题11设a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，则sin _.解析abcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin 12若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析设a与b的夹角为，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0，180即120.13已知向量m(1,1)，向量n与向量m夹角为，且mn1，则向量n_.解析设n(x，y)，由mn1，有xy1.由m与n夹角为，有mn|m|n|cos ，|n|1，则x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)14.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_6_.三、解答题15.设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解e4，e1，e1e221cos 601，(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，2t215t70.7t.假设2te17e2(e1te2) (0) 2t27t，.当t时，2te17e2与e1te2的夹角为，不符合题意.t的取值范围是.16.在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1，2)，b(2,3)，c(2，1).(1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值.解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4).所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)， t(32t,5t).由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在线段oc上是否存在点m，使，若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由解 设存在点m，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得或m点坐标为(2,1)或.故在线段oc上存在点m，使，且点m的坐标为(2,1)或(，) 平面向量的数量积及其应用练习二一、选择题1设r,向量,且,则（）abcd10【解析】由,由,故. 2、定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（）a b c或 d【解析】由，得，所以=3若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为_解析：由于acaaaab，又ab0，ac|a|2|a|20，所以ac.答案：904如图，非零向量（ ）abcd5在中，是边上的高，若，则实数等于（ ）a b c d6已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 a. 0, b. c. d. 解： 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，选b.7.设非零向量、满足，则( )a150 b.120 c.60 d.308、（2012湖南理）在abc中,ab=2,ac=3,= 1则.（）abcd【解析】由下图知. .又由余弦定理知,解得. 9在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（）abcd二、填空题10.若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.11.已知向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_4_.12.已知在平面直角坐标系中，o(0,0)，m(1,1)，n(0,1)，q(2,3)，动点p(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_3_.三、解答题13.设平面上有两个向量a(cos ，sin ) (036