高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版.doc

平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_.1不共线有且只有1e12e2基底2夹角（1）已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob叫做向量a与b的_(2)向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_.(3)如果向量a与b的夹角是_，我们说a与b垂直，记作_2.(1)夹角(2)0，0(3)ab3平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解3.互相垂直4平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序数对_叫做向量a的_，记作a_，其中x叫a在_上的坐标，y叫a在_上的坐标4.(x，y)坐标(x，y)x轴y轴设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是_的坐标，即若(x，y)，则a点坐标为_，反之亦成立.(o是坐标原点)终点a(x，y)注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.5平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab_，ab_，a_.|a|_.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1) （2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知a（），b（），则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标|_. (2)终点始点 6若a(x1，y1)，b(x2，y2) (b0)，则ab的充要条件是_x1y2x2y10注意：.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等.7(1)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则p1p2的中点p的坐标为_(2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p3(x3，y3)，则p1p2p3的重心p的坐标为_7.(1) (2)点评：1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点a的位置被向量a唯一确定，此时点a的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点a(x，y)，向量a(x，y).当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点o1和终点a1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b_.(7,3)2.在abcd中，ac为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_.(3，5)3.已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab与b平行，则k_.04.在平面坐标系内，已知点a(2,1)，b(0,2)，c(2,1)，o(0,0).给出下面的结论：直线oc与直线ba平行；2.其中正确结论的个数是 (c)a.1 b.2 c.3 d.45.若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c等于 (b)a.3ab b.3ab c.a3b d.a3b6若向量a(x,3)(xr)，则“x4”是“|a|5”的 ()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件a由x4知|a|5；由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件7设a，b，且ab，则锐角为 ()a30b45c60d75bab，sin cos 0，sin 21,290，45.8.已知向量a=(6，-4)，b（0，2），cab，若c点在函数ysin x的图象上，则实数等于 ()a. b. c dacab(6，42)，代入ysin x得，42sin 1，解得.9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)，由(ab)c，得12(m1)(1)0，所以m1.10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上变动，若xy，其中x，yr，则xy的最大值是_. 解析建立如图所示的坐标系， 则a(1,0)，b(cos 120，sin 120)，即b(，)设,则 (cos ，sin )xy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30)0120，3030150.xy有最大值2，当60时取最大值探究点一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形abcd中，m，n分别为dc，bc的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解方法一设a，b，则ad，bc.将代入得adadc(2dc)，代入得bc(2dc)(2cd).(2dc)，(2cd).方法二设a，b.因m，n分别为cd，bc的中点，所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd).变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(、r)，则的值为_解析 如右图， 在ocd中，cod30，ocdcob90，可求|4，同理可求|2，4，2，6.（2）在abc中，debc，与边ac相交于点e，abc的中线am与de相交于点n，如图，设a，b，试用a和b表示.解，debc，m为bc中点，(ba).探究点二平面向量的坐标运算例2已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2) 求m、n的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2) 设o为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).m(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n(9,2).(9，18).变式训练2 （1） 已知点a（1，-2），若向量|与a(2,3)同向，|2，则点b的坐标为_解析向量与a同向，设(2t,3t) (t0)由|2，4t29t2413.t24.t0，t2.(4,6)设b为(x，y)，(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标.解如图所示，设a(1,0)，b(3,0)，c(1，5)， d(x，y).(1)若四边形abcd1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5).由，得d1(3，5).(2)若四边形acd2b为平行四边形，则2.而(4,0)，2(x1，y5).d2(5，5).(3)若四边形acbd3为平行四边形，则3.而3(x1，y)，(2,5)，d3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5).探究点三在向量平行下求参数问题例3已知平面内三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解(1)ambnc，m，nr，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)2(5)(2k)0，k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)， ab(2,4)，由题意得，解得或，d(3，1)或d(5,3).变式训练3（1）已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.解析ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，k5.（2）已知a(1,0)，b(2,1).求|a3b|；当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解 因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，|a3b|. kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反.（3）已知点o(0,0)，a(1,2)，b(4，5)，t1t2，求点p在第二象限的充要条件.证明：当t11时，不论t2为何实数，a，b，p三点共线；试求当t1，t2满足什么条件时，o，a，b，p能组成一个平行四边形.解t1(1,2)t2(3,3)(t13t2,2t13t2)，p在第二象限的充要条件是有解.t2t13t2且t20. 证明当t11时，有t2，t2，不论t2为何实数，a，b，p三点共线.解由(t13t2,2t13t2)，得点p(t13t2,2t13t2)，o，a，b，p能组成一个平行四边形有三种情况.当，有；当，有；当，有.点评：1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点a的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点a的坐标都是(x，y)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如a(1,2)，b(3,4)，则(2,2) 一、选择题1.已知a,b是不共线的向量，若1ab，a2b， (1，2r)，则a、b、c三点共线的充要条件为 ()a121b121c1210d12101ca、b、c三点共线与共线k1210.2.若，是一组基底，向量xy(x，yr)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为(d)a.(2,0) b.(0，2) c.(2,0) d.(0,2)3设两个向量a(2，2cos2)和b，其中、m、为实数若a2b，则的取值范围是 ()a6,1b4,8 c(，1d1,63a2b(2m，m2sin )，22m，2cos2m2sin ，(2m2)2mcos22sin ，即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2，24m29m42，解得m2，4.又2m2， 2，621.4.设02时，已知两个向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，则向量长度的最大值是 ()a. b.c3d25.在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则等于()a(2，4)b(3，5) c(3,5)d(2,4)二、填空题6.如图所示，在abc中，点o是bc的中点.过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若m，n，则mn的值为_62解析方法一若m与b重合，n与c重合，则mn2.方法二 2mn，.o、m、n共线，1. mn2.7在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc，adbc.已知a(2,0)，b(6,8)，c(8，6)，则d点的坐标为_(0，2)解析设d点的坐标为(x，y)，由题意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，d(0，2)8.在四边形abcd中，(1,1)，则四边形abcd的面积为_s|sin 60.三、解答题9.（12分）已知a、b、c三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且，.求证：.9证明设e、f两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x2，y2)(x1，y1).又(4，1)，4(1)0，.10在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，已知向量m(a，b)，向量n(cos a，cos b)，向量p(2sin，2sin a)，若mn，p29，求证：abc为等边三角形证明mn，acos bbcos a.由正弦定理，得sin acos bsin bcos a，即sin(ab)0.a、b为三角形的内角，ab.ab. p29，8sin24sin2a9.41cos(bc)4(1cos2a)9.4cos2a4cos a10，解得cos a.又0a0，b0，o为坐标原点，若a、b、c三点共线，则的最小值是_8_.三、解答题11.a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b).0，kab与a3b反向.12.如图所示，p是abc内一点，且满足230，设q为cp延长线与ab的交点，令p，试用p表示.解设a，b，由已知条件32，即3pa2b，(a2b)，又()(