高三数学二轮复习专题能力提升训练14 用空间向量法解决立体几何问题 理.doc

训练14用空间向量法解决立体几何问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定2(2012广州调研)在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为()a. b. c. d.3(2012金华模拟)已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于()a. b. c. d.4(2012临沂模拟)过正方形abcd的顶点a，引pa平面abcd.若paba，则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a30 b45 c60 d905(2012潍坊模拟)如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f且ef，则下列结论中错误的是()aacbebef平面abcdc三棱锥abef的体积为定值d异面直线ae，bf所成的角为定值二、填空题(每小题5分，共15分)6在空间四边形abcd中，a2c，5a6b8c，对角线ac、bd的中点分别为p、q，则_.7(2012武汉调研)到正方体abcda1b1c1d1的三条棱ab、cc1、a1d1所在直线的距离相等的点：有且只有1个；有且只有2个；有且只有3个；有无数个其中正确答案的序号是_8已知abcda1b1c1d1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体abcda1b1c1d1的体积为|.其中正确命题的序号是_三、解答题(本题共3小题，共35分)9(11分)(2012浙江)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值10(12分)(2012东北四校一模)如图，已知斜三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形，侧面abb1a1是菱形，且a1ab60，m是a1b1的中点，mbac.(1)求证：mb平面abc；(2)求二面角a1bb1c的余弦值11(12分)(2012唐山二模)如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab2ad2cd2.e是pb的中点(1)求证：平面eac平面pbc；(2)若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值参考答案训练14用空间向量法解决立体几何问题1b()()，又是平面bb1c1c的一个法向量，且0，又mn面bb1c1c，mn平面bb1c1c.2d连a1c1与b1d1交与o点，再连bo，abbc，c1o面dd1bb1，则obc1为bc1与平面bb1d1d所成角cosobc1，oc1，bc1，cosobc1.3a如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，a(0，1,0)，b1(，0,2)，则(，1,2)，o(0,0,0)，b(，0,0)，则(，0,0)为侧面acc1a1的法向量由sin .4b建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面apb与平面pcd的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面abp与平面cdp所成二面角(锐角)的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.5dac平面bb1d1d，又be平面bb1d1d.acbe，故a正确b1d1平面abcd，又e、f在直线d1b1上运动，ef平面abcd，故b正确c中由于点b到直线b1d1的距离不变，故bef的面积为定值，又点a到平面bef的距离为，故vabef为定值当点e在d1处，点f为d1b1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得a(1,1,0)，b(0,1,0)，e(1,0,1)，f，1，(0，1,1)，1，.又|ae|，|bf|，cos，.此时异面直线ae与bf成30角当点e为d1b1的中点，点f在b1处时，此时e，1，f(0,1,1)，1，(0,0,1)，1，| ，cos，故选d.6解析如图，2()()00a2c5a6b8c6a6b10c，3a3b5c.答案3a3b5c7解析注意到正方体abcda1b1c1d1的对角线b1d上的每一点到直线ab，cc1，a1d1的距离都相等，因此到abcda1b1c1d1的三条棱ab，cc1，a1d1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是.答案8解析设正方体的棱长为1，中()23()23，故正确；中，由于ab1a1c，故正确；中a1b与ad1两异面直线所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确答案9(1)证明因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线，所以mnbd.又因为mn平面abcd，所以mn平面abcd.(2)解连接ac交bd于o.以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示在菱形abcd中，bad120，得acab2，bdab6.又因为pa平面abcd，所以paac.在直角三角形pac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各点坐标如下，a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m，n，q.设m(x，y，z)为平面amn的法向量由，知，取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由，知，取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.10(1)证明侧面abb1a1是菱形，且a1ab60，a1bb1为正三角形，又点m为a1b1的中点，bma1b1，aba1b1，bmab，由已知mbac，mb平面abc.(2)解如图建立空间直角坐标系，设菱形abb1a1边长为2，得b1(0，1，)，a(0,2,0)，c(，1,0)，a1(0,1，)则(0,1，)，(0,2,0)，(0，1，)，(，1,0)设面abb1a1的法向量n1(x1，y1，z1)，由n1，n1得，令x11，得n1(1,0,0)设面bb1c1c的法向量n2(x2，y2，z2)，由n2，n2得令y2，得n2(1，1)，得cosn1，n2.又二面角a1bb1c为锐角，所以所求二面角的余弦值为.11(1)证明pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab2，adcd1，acbc，ac2bc2ab2，acbc，又bcpcc，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc.(2)解如图，以c为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1，1,0)设p(0,0，a)(a0)，则e，(1,1,0)，(0,0，a)，取m(1，1