09刚体的平面运动.doc

第九章 刚体的平面运动9-1 椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度绕O轴匀速转动，如图所示。如OC=BC=AC=r，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。解：取C为基点。将规尺的平面运动分解为随基点的平动和绕基点的转动。 因为 所以 设此角为，则 故规尺AB的平面运动方程为 ，9-3 半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。如曲柄OA以等角加速度绕O轴转动，当运动开始时，角速度，转角。求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。解：动齿轮的平面运动可分解为以A为基点的平动和绕A点的转动。在图示坐标系中，A点的坐标为：（1） （2）因为 是常数，当时，所以 设小轮上开始时啮合点为M，则AM起始位置为水平。设任一时刻AM绕A的转角为，由图可见， ，且 因动齿轮作纯滚动，有，即 所以 故得 （3）以代入（1）、（2）、（3）式中，得动齿轮的平面运动方程为 9-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄OA的转速，。当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，。求此瞬时筛子BC的速度。解：由图示机构知BC作平移，图示位置时，与CBO夹角为30，与AB夹角为60。 由题意知 由速度投影定理 得 9-7 图示双曲柄连杆机构的滑块B和E用杆BE连接。主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。主动曲柄OA以等角速度转动。已知机构的尺寸为：OA=0.1m，OD=0.12 m，AB=0.26 m，BE=0.12 m，。求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD和连杆DE的角速度。解：当OA垂直EB时，AB杆作瞬时平动，而BE杆作平动，所以。故 由于，平面运动杆DE的速度瞬心应在、的垂线的交点P。 由几何关系 ，即 速度投影定理得 而 （逆） 由几何关系知 故 （逆）9-9 图示配汽机构中，曲柄OA的角速度为常量。已知OA=0.4m，AC=BC=m。求当曲柄OA在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆DE的速度。解：图示杆AB、CD作平面运动。 （1）当，270时，OA曲柄处于铅垂位置，图（a）表示情形可知，、均沿水平方向，则AB杆瞬时平动，也沿水平方向，而CD杆上的D点速度（即推杆DE的平动速度）应沿铅垂方向，故CD杆的速度瞬心在D点。 可见此时，。 （2）当，时，杆AB的速度瞬心在B，即。而、均沿铅垂方向，CD杆上，均沿铅垂方向，则杆CD此时作瞬时平动，。图（b）表示的情形。因，故 因此 时 （） 同理 （）9-11 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆绕轴转动，转速为。处用铰链接一半径为的活动齿轮II，杆转动时轮II在半径为的固定内齿轮上滚动，并使半径为的轮I绕轴转动。轮I上装有砂轮，随同轮I高速转动。已知，求砂轮的转速。解：轮II作纯滚动，其速度瞬心在P点，如图（a）所示。 又 ， 轮II与轮I的切点C的速度 ()9-13 图示蒸汽机传动机构中，已知：活塞的速度为v；，；齿轮半径分别为r1和r2；且有。当杆EC水平，杆铅直，A1、A2和O1，O2都在同一条铅直线上时，求齿轮O1的角速度。解：设B1B2杆角速度为以C为基点分析B1、B2点的速度，如图所示。因为该瞬时且方向水平，B1B2铅垂，其它各速度矢均沿水平方向，故有 （1） （2） 因 ， 故 A1B1、A2B2均作瞬时平动。 设齿轮O1、O2角速度分别为、，则 代入式（1）、（2）得 （3） （4） 由式（3）、（4）得 （5） 根据齿轮传动关系有 （6） 把式（6）代入式（5）中，解得 9-15 半径为R的轮子沿水平滚动而不滑动，如图所示。在轮上有圆柱部分，其半径为r。将线绕于圆柱上，线的B端以速度v和加速度a沿水平方向运动。求轮的轴心O的速度和加速度。解：因为轮子沿水平面滚动而不滑动，所以轮上与地面接触点C的速度为零，且轮上C点的加速度沿水平面上的投影也为零。 以轮心O为基点分析轮上A点及C点的运动。设轮心O的速度为，加速度为，则有 设轮子滚动的角速度为，角加速度为，则 ， ， 由图（a）得 （1） （2） 解式（1）、（2）得 由图（b）得 ， 将上两式向x轴（水平轴）投影 （3） （4） 由于，故可从式（3）、（4）解得 9-17 在曲柄齿轮椭圆规中，齿轮A和曲柄O1A固结为一体，齿轮C和齿轮A半径为r并互相啮合，如图所示。图中AB=O1O2，O1A=O2B=0.4 m。O1A以恒定的角速度绕O1转动，。M为轮C上一点，CM=0.1 m。在图示瞬时，CM为铅垂，求此时M点的速度和加速度。解：（1）AB杆平动， 轮A、C接触点线速度相同 以C为基点， （2）为常数 为常数， （） 9-19 在图示机构中，曲柄OA长为r ，绕O轴以等角速度转动，。求图示位置时，滑块C的速度和加速度。解：一、以A为基点，分析AB杆上B点的速度和加速度，如图（a）、（b）所示。 由于， 由速度图得 ， 由加速度图将 分别向B的滑道及垂直于滑道方向投影，有 （1） （2） 由（1）、（2）式解出 二、以B为基点，分析BC杆上C点的速度和加速度，如图（a）、（b）所示。 由速度图得 （） 由加速度图得 ()9-21 为加快电缆释放速度，装有电缆卷轴的拖车以加速度从静止开始运动。与此同时，另一卡车以加速度水平地拉着电缆自由端向相反方向运动。求当运动刚开始时以及运动开始后1 s时，卷轴水平直径上点A的全加速度。解：（1）运动刚开始时， （2）时 *9-23 图示曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕O1轴摆动。在连杆AB上装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动，而滑块D则在摇杆O1C的槽内滑动。已知：曲柄长OA=50 mm，绕O轴转动的匀角速度。在图示位置时，曲柄与水平线间90角，摇杆与水平线间成60角；距离。求摇杆的角速度和角加速度。解：机构中曲柄OA和摇杆O1C作定轴转动，连杆ABD作平面运动，滑块B作水平平动，在此瞬时，和均沿水平方向，故连杆ABD作瞬时平动，则有 以D点为动点，动系固连在摇杆上，D点在速度分析如图（a） 由于 及 故 （顺）9-25 平面机构的曲柄OA长为2l，以匀角速度绕O轴转动。在图示位置时，AB=BO，并且。求此时套筒D相对杆BC的速度和加速度。解：（一）运动分析 动点：BC上B；动系：OA；定系：机架；绝对运动：水平直线；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。 （二）v分析 ， （1） ， AD平面运动，用速度投影 ， 套筒D相对BC杆速度： （） 找AD的瞬心P，得AP=3l （三）a分析 （3） （3）式向向投影，得 （4） 以A为基点：（5） （5）式向向投影，得 套筒D相对BC杆的加速度（）*9-27 已知图示机构中滑块A的速度为常数，。求当，时杆CD的速度和加速度。解：（一）运动 AB作平面运动 动点：CD上C；动系：AB；定系：机架；绝对运动：直线；相对运动：直线；牵连运动：平面运动。 （二）v分析 AB杆瞬心在P 上式向方向投影，得 （三）a分析 （1） （以A为基点，）（2） （3） （3）式向x方向投影，得 又 式（1）向方向投影，得 9-29 图示平面机构中，杆AB以不变的速度v沿水平方向运动，套筒B与杆AB的端点铰接，并套在绕O轴转动的杆OC上，可沿该杆滑动。已知AB和OE两平行线间的垂直距离为b。求在图示位置（，OD=BD）时杆OC的角速度和角加速度、滑块E的速度和加速度。解：一、速度 1. 取套筒B为动点，动系固连于OC杆，B点的速度分析如图（a）。 由速度图得 故 （顺） 2. 作及的垂线得交点P即为DE杆在图示位置的速度瞬心，设其角速度为。 由几何关系 ， ， 故 （逆） （） 二、加速度 1. 取套筒B为动点，动系固连在OC杆，B点的加速度分析如图（b）。 将 向方向投影 由于按题意 ，故得 由于 ， （逆） 2. 以E点为基点，分析D点的加速度，如图（b）所示。将向方向投影， 由于 故 （）*9-31 图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，使与齿轮A固结在一起的杆BD运动。杆BE与BD在点B铰接，并且杆BE在运动时始终通过固定铰支的套筒C。如定齿轮的半径为2r，动齿轮半径为r，且。图示瞬时，曲柄OA在铅直位置，BD在水平位置，杆BE与水平线间成角，求此时杆BE上与C相重合一点的速度和加速度。解：轮A瞬心在P ， 以套筒上C点动点，相对运动：直线，方向如图 杆上 BE上C点速度方向如图 速度投影： ， ， （三）a分析 （） （） 以套筒上C点为动点，BE为动系，牵连运动为平面运动，相对运动为直线运动，绝对运动：静止 由图（b）知， 以B为基点 即 上向投影， *9-33 图示放大机构中，杆I和II分别以速度和沿箭头方向运动，其位移分别以x和y表示。如杆II与杆III平行，其间距离为a，求杆III的速度和滑道IV的角速度。解：1. 以滑块B为动点，滑道IV的动系，则有 （1） 其中可由以A以基点分析滑道IV上与滑块B重合点的速度来确定，即 （2）考虑到 ，把（2）代入（1）得 （3）把式（3）向方向投影得 （4）其中 ， ，代入式（4）得 2. 以滑块C为动点，滑道IV为动系，则有 （5）其中可由以A为基点分析滑道IV上滑块C重合点的速度来确定，即 （6）考虑到，把式（6）代入式（5）得 （7）把式（7）向方向投影，得 （8）其中 ，代入式（8）得*9-35 图示四种刨床机构，已知曲柄，以匀角速度转动，。求在图示位置时，滑枕CD平动的速度解：（a）：设O2B杆角速度为 1. 以滑块A为动点、动系固连于O2B杆上，速度分析如图（a1）。 由于 ， 从速度图得 故 2BC杆作平面运动，由速度投影定理得 （）解（b）：BC杆上B、C两点速度均沿水平方向，所以BC杆在图示位置作瞬时平动，即 以滑块A为动点，动系固连于BC杆上，速度分析如图（b1） 由速度图得 故 （）解（c）：设BC杆角速度为，BC杆的速度瞬心在P点，如图