高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质2 第2课时课件 新人教A版必修4.ppt

第2课时正弦函数 余弦函数的性质 二 一 二 三 思维辨析 一 正弦函数与余弦函数的单调性问题思考1 观察正弦曲线 正弦函数在哪些区间上是增函数 在哪些区间上是减函数 如何将这些单调区间进行整合 类似地 余弦函数在哪些区间上是增函数 在哪些区间上是减函数 怎样整合这些区间 一 二 三 思维辨析 2 余弦函数y cosx在区间 2k 2k k z 上单调递增 在区间 2k 2k k z 上单调递减 一 二 三 思维辨析 3 做一做 1 函数y sin2x 1的单调递增区间是 2 函数y 3 cos2x的单调递增区间是 一 二 三 思维辨析 二 正弦函数与余弦函数的最值和值域问题思考1 观察正弦曲线和余弦曲线 正 余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在 其最大值和最小值分别为多少 当自变量x分别取何值时 正弦函数y sinx取得最大值和最小值 余弦函数呢 一 二 三 思维辨析 2 余弦函数y cosx当且仅当x 2k k z 时取最大值1 当且仅当x 2k k z 时取最小值 1 3 正弦函数y sinx 余弦函数y cosx的值域都是 1 1 解析 1 因为y sinx的最大值为1 所以y 2 3sinx的最小值是 1 答案 1 1 2 4k k z 一 二 三 思维辨析 三 正弦函数与余弦函数的对称性问题思考1 观察正弦曲线与余弦曲线 正弦曲线除了关于原点对称外 是否还关于其他的点和直线对称 余弦曲线除了关于y轴对称外 是否还关于其他的点和直线对称 一 二 三 思维辨析 2 填空 1 2 正弦曲线 余弦曲线 的对称轴都经过正弦曲线 余弦曲线 的最高点或最低点 亦即函数y sinx y cosx 的最值点 正弦曲线 余弦曲线 的对称中心都经过正弦曲线 余弦曲线 与x轴的交点 亦即函数y sinx y cosx 的零点 一 二 三 思维辨析 答案 1 d 2 c 一 二 三 思维辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 求三角函数的单调区间 例1 求下列函数的单调递减区间 分析 1 可采用整体换元法并结合正弦函数 余弦函数的单调区间求解 2 可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 与正弦 余弦函数有关的单调区间的求解技巧 1 结合正弦 余弦函数的图象 熟记它们的单调区间 2 确定函数y asin x a 0 0 单调区间的方法 采用 换元 法整体代换 将 x 看作一个整体 可令 z x 即通过求y asinz的单调区间而求出函数的单调区间 若 0 则可利用诱导公式将x的系数转变为正数 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 单调性在三角函数中的应用角度1利用单调性比较三角函数值的大小 例2 比较下列各组数的大小 1 sin220 与sin230 分析观察各角 利用诱导公式 先将异名三角函数化为同名三角函数 非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角 再根据单调性比较大小 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 角度2已知三角函数的单调情况求参问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 答案d 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 比较三角函数值大小的方法 1 通常利用诱导公式化为锐角三角函数值 2 不同名的函数化为同名函数 3 自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 三角函数的值域 或最值 问题角度1利用三角函数的有界性和单调性求值域 或最值 例4 求下列函数的值域 2 y sinx sinx 分析利用正弦函数的有界性和单调性来求解 1 由x的取值范围 确定2x 的取值范围 再由正弦函数的单调性求解 2 先去绝对值符号 再求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 角度2化为f sinx 或g cosx 型的函数求值域 或最值 例5 求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值 并求出函数的最大值和最小值 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 角度3分离常数法求值域 或最值 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 与三角函数有关的函数的值域 或最值 的求解思路1 求形如y asinx b的函数的最值或值域时 可利用正弦函数的有界性 1 sinx 1 求解 2 对于形如y asin x k a 0 的函数 当定义域为r时 值域为 a k a k 当定义域为某个给定的区间时 需确定 x 的范围 结合函数的单调性确定值域 3 求形如y asin2x bsinx c a 0 x r的函数的值域或最值时 可以通过换元 令t sinx 将原函数转化为关于t的二次函数 利用配方法求值域或最值 求解过程中要注意正弦函数的有界性 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 4 求形如 ac 0的函数的值域 可以用分离常量法求解 也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y 综上可知 求与三角函数有关的函数的值域 或最值 的常用方法有 1 借助于正弦函数的有界性 单调性求解 2 转化为关于sinx的二次函数求解 注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时 要考虑三角函数的周期性 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 三角函数奇偶性与对称性问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 答案 1 b 2 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练4 1 下列函数中是偶函数的是 a y sin2xb y sinxc y sin x d y sinx 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解析 1 a b是奇函数 d是非奇非偶函数 c符合f x sin x sin x f x y sin x 是偶函数 2 本题很容易先求 值再去求对称中心 其实本题所要强调的是正弦函数与余弦函数的性质之间的关系 不难发现 对于函数y sin x 和y cos x 正弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标便是余弦函数的对称中心的横坐标 反之 正弦函数的对称中心的横坐标是余弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标 于是本题中y cos 2x 的图象关于点 0 对称 答案 1 c 2 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 形如y asin x b或y acos x b的函数 其最值与参数a的正负有关 因此在解决这类问题时 要注意对a分a 0和a 0两种情况进行分类讨论 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨