江苏2018版高考数学复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书文苏教版.docx

高考专题突破四 高考中的立体几何问题1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为_.答案平行解析如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，则EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面.其中使“xz且yzxy”为真命题的是_.答案解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题.3.(2016无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1DBC的体积为_.答案66解析如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.4.如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC3EC，AF平面BDE，则_.答案2解析连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF，VC3EC，VMMEEC，又AOCO，AMEO，又EO平面BDE，AM平面BDE，又AF平面BDE，AMAFA，平面AMF平面BDE，又MF平面AMF，MF平面BDE，又MF平面VBC，平面VBC平面BDEBE，MFBE，VFFB，2.5.如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PAAC，PA6，BC8，DF5.则直线PA与平面DEF的位置关系是_；平面BDE与平面ABC的位置关系是_.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.题型一求空间几何体的表面积与体积例1(2016全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥D-ABCFE的体积.(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥D-ABCFE的体积V2.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解(1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.S侧329.S表S侧S底9(2)296.(2)设正三棱锥PABC的内切球的球心为O，连结OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS侧rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S内切球4(2)2(4016).V内切球(2)3(922).题型二空间点、线、面的位置关系例2(2016扬州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积.(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因为AB平面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.思维升华(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.证明C1F平面ABE：()利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.(2016南京模拟)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.题型三平面图形的翻折问题例3(2015陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.(1)证明在题图1中，连结EC，因为ABBCADa，BAD，ADBC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以四边形ABCE为正方形，所以BEAC，即在题图2中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高，由题图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016苏州模拟)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.(1)证明因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.如图，过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.题型四立体几何中的存在性问题例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点M，N，且M，N均为中点.(1)求证：AC平面BMD1N.(2)若ADCD2，DD12，O为AC的中点.BD1上是否存在动点F，使得OF平面BMD1N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连结MN.因为M，N分别为CC1，AA1的中点，所以ANAA1，CMCC1.又因为AA1CC1，且AA1CC1，所以ANCM，且ANCM，所以四边形ACMN为平行四边形，所以ACMN.因为MN平面BMD1N，AC平面BMD1N，所以AC平面BMD1N.(2)解当点F满足D1F3BF时，OF平面BMD1N，证明如下：连结BD，则BD经过点O，取BD1的中点G，连结OF，DG，又D1F3BF，所以OF为三角形BDG的中位线，所以OFDG.因为BD2DD1，且G为BD1的中点，所以BD1DG，所以BD1OF.因为底面ABCD为正方形，所以ACBD.又DD1底面ABCD，所以ACDD1，又BDDD1D，所以AC平面BDD1，又OF平面BDD1，所以ACOF.由(1)知ACMN，所以MNOF.又MN，BD1是平面四边形BMD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF平面BMD1N.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2016镇江模拟)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连结C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假设存在点E，使D1E平面A1BD.连结AD1，AE，D1E，设AD1A1DM，BDAEN，连结MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.1.(2016连云港模拟)如图所示，已知平面平面l，.A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是_.答案24解析由题意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因为DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于点M，由题意知，PM.令AMt(0t6)，则PA2t24PA2(6t)2，所以PA2124t.所以PM，即为四棱锥PABCD的高，又底面ABCD为直角梯形，S(48)636.所以V36121224.2.(2016南京模拟)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_.(填写所有正确命题的序号)答案解析若l，则l，又m，则lm，故正确；若l，则l或l，又m，则l与m可能平行、相交或异面，故错误；若l，m，则lm，又m，则l与可能平行、相交或l，故错误；若l，l，则，又m，则m，故正确.综上，正确的命题是.3.(2016苏州模拟)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，连结BD，AC1，B1D1，CD1，B1C，现有以下几个结论：BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；CB1与BD为异面直线.其中所有正确结论的序号为_.答案解析由题意可知，BDB1D1，又B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正确；易知AC1B1D1，AC1B1C，又B1D1B1CB1，所以AC1平面CB1D1，正确；由异面直线的定义可知正确.4.(2016泰州二模)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是_.(填写结论序号)答案解析因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即错误.故答案为.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当_时，D1E平面AB1F.答案1解析如图，连结A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影.AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F，1时，D1E平面AB1F.6.(2016连云港模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC，点E是BC上一点，且平面BB1C1C平面AB1E.(1)求证：AEBC；(2)求证：A1C平面AB1E.证明(1)过点B在平面BB1C1C内作BFB1E，平面BB1C1C平面AB1E，平面BB1C1C平面AB1EB1E，BF平面AB1E.AE平面AB1E，BFAE.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AE平面ABC，BB1AE.BB1BFB，AE平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AEBC.(2)连结A1B，设A1BAB1G，连结GE，AEBC，ABAC，BECE，又A1GBG，GE是A1BC的中位线，GEA1C.GE平面AB1E，A1C平面AB1E，A1C平面AB1E.7.(2016南通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD2AB2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC平面BMN；(2)求证：平面BMN平面PAC.证明(1)设ACBNO，连结MO，AN，因为ABCD，ABCD，N为CD的中点，所以ABCN，且ABCN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点，又M为PA的中点，所以MOPC.又因为MO平面BMN，PC平面BMN，所以PC平面BMN.(2)方法一因为PC平面PDA，AD平面PDA，所以PCAD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以ADBN，所以BNPC，因为BCAB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BNAC.因为PCACC，所以BN平面PAC.因为BN平面BMN，所以平面BMN平面PAC.方法二连结PN，因为PC平面PDA，PA平面PDA，所以PCPA.因为PCMO，所以PAMO.又PCPD.因为N为CD的中点，所以PNCD，由(1)得ANBCCD，所以ANPN，又因为M为PA的中点，所以PAMN，因为MNMOM，所以PA平面BMN.因为PA平面PAC，所以平面PAC平面BMN