高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1函数与方程3 1 2用二分法求方程的近似解 1 会用二分法求方程的近似解 重点 2 明确精确度 与近似值的区别 易混点 3 应用二分法解题时 会判断函数零点所在的区间 难点 学习目标 1 二分法的定义对于在区间 a b 上 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 以下每个图象表示的函数都有零点 但不能用二分法求函数零点的是 解析 根据二分法的思想 函数f x 在区间 a b 上的图象连续不断 且f a f b 0 即函数的零点是变号零点 才能将区间 a b 一分为二 逐步得到零点的近似值 对各图象分析可知 a b d都符合条件 而选项c不符合 因为图象经过零点时函数值不变号 因此不能用二分法求函数零点 答案 c 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 4 判断a b是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 f a f b 0 c就是函数的零点 a c c b a b 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 所有函数的零点都可以用二分法来求 2 函数f x x 可以用二分法求其零点 3 二分法只可用来求方程的近似解 答案 1 2 3 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 二分法的概念 解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号 在b中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 由于a c d中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 故选b 答案 b 二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 1 已知函数f x 的图象如图 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 a 4 4b 3 4c 5 4d 4 3 解析 由图象知函数f x 与x轴有4个交点 因此零点个数为4 从左往右数第4个交点两侧不满足f a f b 0 因此不能用二分法求零点 而其余3个均可使用二分法求零点 答案 d 求函数f x x2 5的负零点 精确度0 1 思路点拨 先确定f 2 与f 3 的符号 再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解 解 由于f 2 10 故取区间 3 2 作为计算的初始区间 用二分法求函数的近似零点 用二分法逐次计算 列表如下 由于 2 25 2 1875 0 0625 0 1 所以函数的一个近似负零点可取 2 25 互动探究 只将本例中的 负 改为 正 呢 解 由于f 2 10 故取区间 2 3 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 根据上表计算知 区间 2 1875 2 25 的长度是0 0625 0 1 所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值 所以其近似值可以为2 1875 1 利用二分法求函数近似零点应关注三点 1 要选好计算的初始区间 这个区间既要包含函数的零点 又要使其长度尽量小 2 用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间 3 根据给定的精确度 及时检验所得区间长度是否达到要求 以决定是停止计算还是继续计算 求方程2x3 3x 3 0的一个正实数解 精确到0 1 思路点拨 要求方程2x3 3x 3 0的正实根 可转化为用二分法求函数f x 2x3 3x 3的正的零点 故首先要选定初始区间 a b 满足f a f b 0 然后逐步逼近 解 令f x 2x3 3x 3 易知函数f x 2x3 3x 3在r上为单调递增函数 经计算 f 0 3 0 f 1 2 0 所以该函数在 0 1 内存在零点 且为该函数的唯一正数零点 用二分法求方程的近似解 取 0 1 的中点0 5 经计算 f 0 5 0 f 1 0 所以该函数在 0 5 1 内存在零点 如此继续下去 得到函数零点所在的区间 如下表 至此 可看出函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 0 6875 0 75 内 因为该区间内的每一个值精确到0 1都等于0 7 因此0 7就是函数f x 2x3 3x 3精确到0 1的近似零点 也就是方程2x3 3x 3 0的近似解 用二分法求方程的近似解应明确两点 1 根据函数的零点与相应方程的解的关系 求函数的零点与求相应方程的解是等价的 求方程f x 0的近似解 即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 对于求形如f x g x 的方程的近似解 可以通过移项转化成求形如f x f x g x 0的方程的近似解 然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 求方程lgx 3 x的近似解 精确度0 1 设f x lgx x 3 利用计算器计算得 f 2 0 x1 2 3 f 2 5 0 x1 2 5 3 f 2 5 0 x1 2 5 2 75 f 2 5 0 x1 2 5 2 625 f 2 5625 0 x1 2 5625 2 625 因为 2 625 2 5625 0 0625 0 1 所以此方程的近似解可取为2 625 1 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适合 对函数的不变号零点不适用