2011年高考数学押题.doc

2011年高考数学押题第一部分1.已知： 试求， 与的夹角的余弦为 解：设夹角为，则同理得2.已知定义在上偶函数，且，当时有，则不等式解集为_答案：解析：当时有 即 在上单调递增 为上偶函数 为上奇函数 在上单调递增，且 又为上奇函数 综上，解集为3.已知,D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），则的最大值为 。【解析】 D为线段AB的中点 M为线段OD上的任意一点， 当时，有最大值，最大值为104.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求证1+2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又5.已知函数在上单调递增，在上单调递减（）求实数的值；（）若关于的方程在上恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围；（）证明：（）（参考数据：）解：（），由题得，即，解得2分（）由（）知，设（），则，令，得，4分当变化时，的变化情况如下表1200极大值极小值由方程在上恰有三个不相等的实数根，得 9分（），设()，则，当时，函数在上是减函数，即，当时，13分来源:学#科#网，6.已知正三角形所在的平面与直角梯形垂直，且.(1) 求证：(2) 求点到平面的距离(3) 在线段上是否存在一点，使得平面PCBAD证明：（1）（2）由即（或过D作PA的垂线，求垂线段的长）（3）假设上存在点，使得平面.在平面内过点作交,连接,FPCBADHE则又所以平面是平行四边形所以这与矛盾，所以假设不成立，即在线段上不存在一点，使得平面.7.已知，是函数图象上的两点，且，点共线，且 (1)求点坐标(2)若 求（3）若，记为数列前n项的和，若时，对一切都成立，试求的取值范围。解（1）共线且,又（2） （3） 令 8.如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.（1）若，求的值；（2）若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长；（3）现向矩形ORTM内任意投出一个点P，求点P落入五个小正方形内的概率.解析：（1）由平面向量的加减运算可知，而，故.注意到、不共线，根据平面向量基本定理，比较与可知，.（2）因为以射线AI、AD的方向分别为轴、轴的正向建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为得A（0，0）、.设直线MDT的斜率为k，则，.由此可得直线MDT、OBR之间的距离是，直线MAO、TCR之间的距离是，由此可解得，,，即小正方形的边长为.解法二：设锐角MAD=，设小正方形的边长为，则由右图可得相减得消去解得边长为.（3）设“向矩形ORTM内任意投出一个点P，点P落入五个小正方形内”为事件，由几何概型可知，点P落入五个小正方形内的概率.9.设函数的导函数，数列的各项均为正数且，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和；（3）若数列满足，求n的最大值.解析：（1）证明：，设，则，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，即数列是等比数列.证毕.另证：，又.，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列.证毕.(2)，（3）时，在上单调递增.由，得，即且递增，的最大值是3.另解：.，的最大值是3.10.阅读下列算法，指出当输入的四个数为1，1，0，0时，最终输出的结果是什么？S1 输入a,b,c,nS2 nn+1S3 a2aS4 bb+2S5 cc+abS6 若c2011，则转S2，否则执行S7S7 输出n,c解析：从数列角度看该算法，S3可以看作，同样，S4可以看作，S5可以看作，当输入的四个数为1，1，0，0，即表示。此时 （1） （2）（2）（1）得 又S6的含义是， 解得因此，最终输出的结果是。第二部分1已知椭圆的两条准线之间的距离为，动点M与该椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为23，则动点M的轨迹方程为 解析：椭圆的焦点在x轴上，且，解得 两个焦点的坐标分别为，设点M的坐标为，依题意，点M满足 由，得化简整理，得点M的轨迹方程为2设正数数列的前项之和是，数列前项之积是，且，则数列中最接近108的项是第 项解析：，则，又，则， 所以，则， 则，则最接近108的项显然是第10项为1103若，在区间上是增函数，则方程有且只有一解时p的取值范围是 解析：，由单调性可知，所以，令，所以，即在上为单调递增函数，所以的值域为，因为有且只有一解，所以4已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直与椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）若，是上不同的点，且，求实数的取值范围解：（1）因为，所以， 椭圆的方程可设为 与直线方程联立，消去，可得， 因为直线与椭圆相切，所以， 又因为，所以， 所以，椭圆的方程为； （2）由题意可知， 又为点到直线的距离， 所以，点到直线的距离与到点的距离相等，即点的轨迹是以直线为准线，点为焦点的抛物线， 因为直线的方程为，点的坐标为， 所以，点的轨迹的方程为； （3）由题意可知点坐标为 因为，所以， 即 又因为， 所以， 因为，所以， 方法一：整理可得：， 关于的方程有不为2的解，所以 ，且 所以， 且 解得的取值范围为或 方法二：整理可得：， 当时， 又因为，所以 当时， 所以，的取值范围为或5已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），直线与曲线C相交于两点，又点的坐标为 求：（1）线段的中点坐标； （2）线段的长； （3）的值 解：由题意可知，直线的参数方程为（l为参数）， 曲线C的方程为， 将直线方程代入曲线C的方程可得，则，（1）中点对应的参数为，中点坐标为； （2）弦AB的长为； （3）若将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则|的最小值为_【解析】由题意得到，所以，6.已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：的直径，则 的最大值为 【解析】设圆心为M，P（x，y），则=，由点P在椭圆上，所以，即（）由此可得=，当y =2时，取得最大值为237.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_【解析】结合图形，由于直线的斜率，所求最小值应该横向平移，8.如图，在直角坐标系中，中心在原点， 焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-2,0），圆：是椭圆G的内接的内切圆.() 求椭圆G的方程；() 求圆的半径；（）过作圆G的两条切线交椭圆 于E,F，判断直线EF与圆的位置关系，并证明.【解析】 () ，得，椭圆G方程为 ()设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1)又在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）（）直线与圆的相切设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离，故结论成立. 9.记集合T=,M=,将M中的元素按从大到小的顺序排列,则有第2005个数是 (姜新兵)10.数列满足.证明(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数.解(1)由题设得为递增数列.由,得 即 -得由及归纳法知,为正整数.(2)由得 由知,从而故由知为完全平方数.(姜新兵)11.使关于x的不等式有解的实数k的取值范围是 12.如图所示,椭圆,分别是其左右顶点,上下顶点和左右焦点，四边形的面积是四边形面积的2倍.(1)求椭圆的离心率; (2)三角形的外接圆记为,若直线被截得的弦长为,求的方程.解:(1)设四边形的面积为,四边形的面积为.由题意=2,所以椭圆的离心率为4分 (2), .6分可得直线的斜率为,其垂直平分线的斜率为.的中点坐标为，直线的垂直平分线的方程为，8分即。联立,解得.10分的圆心坐标为, 的半径为.10分点的坐标分别为，直线的方程为.点到直线的距离为.，解得，.12分的圆心坐标为,半径为.13分的方程为.14分第三部分1.已知函数在区间上的最大值为3，最小值为2，则的取值范围为 -1,0 。2若集合A=x| 1|x1|2，xZ，用列举法表示A= 【解析】 3.设短轴长为是的椭圆C:和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 【解析】 双曲线的离心率为，于是椭圆C:的离心率为 即，又由题意，以及，解得，椭圆C的方程为 设是E上的任意一点，过P的直线，代入中，得，即， 若直线与椭圆的公共点只有一个，则中判别式=0，即，整理得关于的方程：， 要使得E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为，故，即， 又对于点，直线中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然成立故这样的E，方程为： 4.已知，则 【解析】5.设数列满足:，N（1）求与之间的递推关系式；（2）求证：当时，；（3）求的整数部分【解析】 （1）易知，对一切由可知：，整理得 依次利用上述关系式，可得，从而 （2）由及可知数列递增，则对一切，有成立，从而 当时，于是，所以 （3）当时，. ，则当时，有， . 所以，即的整数部分为63 6.已知n是不小于3的正整数，（1） 求，；（2） 设，求证：【解析】（1），因为，所以3分因为，而，所以，. （2）， 所以 7.已知点A、B、C是圆O上的三点，若AOB=，且 ()，则的最小值为_（用表示）；8 在椭圆中，F为其左焦点，圆O是以椭圆短轴为直径的圆，过F点作圆的切线，切点为T，射线FT与椭圆交与点P，设线段FP的中点为M，则OM-MT=9.三角形ABC内有一点P，使PA2+PB2+PC2 取最小值，则P为三角形ABC的 （ ）心。（外心、内心、垂心、重心）10. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）B（0，-2），点C满足其中R，且（1） 求点C的轨迹方程（2） 设点C的轨迹与椭圆交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值（3） 在（2）的条件下，若椭圆的实轴长的取值范围为 ，求椭圆离心率的取值范围11.如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .【答】12已知AOB=lrad，点Al，A2，在OA上，B1，B2，在OB上，其中的每一个实 线段和虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心 的圆弧匀速运动，速度为l单位秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为 秒。【答】6513 设为正整数，两直线的交点是，对于正整数，过点的直线与直线的交点记为.则数列通项公式 .【答】14 已知函数, 数列满足：（1）用数学归纳法证明：；(2) 证明：【解析】（1）(i) 当n=1时,由已知显然结论成立. (ii) 假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立. 4于是故 10分15.已知集合，定义函数且点，若的内切圆圆心为D，且，则下列结论正确的有 （填上你认为正确的命题的序号） 必是等腰三角形； 必是直角三角形； 满足条件的实数有3个； 满足条件的函数有12个【解析】设K为AC的中点,由知三点共线,说明 故正确，设，由数形结合可知且，所以等腰三角形ABC的高有1,2,3三种情况，故正确，从而函数有4312种可能，故正确答案：【说明】本题改编自某省级数学竞赛题16已知，若是等比数列，则k 【解析】由得根据得出即，解得k2或317在直角坐标系中，过双曲线的左焦点作圆的一条切线（切点为）交双曲线右支于，若为线段的中点，则= 【解析】作出准确的图形可知中点M在T、F之间设右焦点F ，于是，在中，即，所以【说明】本题源自此题:如右图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交18.双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MOMT等于 原题答案为，经过修改后，中点M位置改变，不能直接利用双曲线定义，否则得答案2，这显然是错误的，因为OMT中两边之差应该小于第三边OT1.这道题能否推广到一般情形？能否通过定量计算确定切点T与PF的中点的位置关系？19给出定义在上的三个函数：，已知在处取极值（1）确定函数的单调性；（2）求证：当时，恒有成立；（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由【解析】（1）由题设，由已知，于是由所以上是增函数，在（0，1）上是减函数（2）当时，欲证即证 所以上为增函数从而当 （3）由题设，则设，令得x1，当时，；当时，所以，而故函数的图象与x轴有且仅有两个交点，也就是说函数有两个零点20在数列中，其中（1）求证：数列为等差数列；（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由（3）已知当且时，其中，求满足等式的所有的值【解析】（1）证明：，数列为等差数列（2）解：假设数列中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第项，由得，又为偶数，为奇数故不存在这样的三项，满足条件（3）由（2）得等式，可化为，即，当时，当时，当时，经验算时等号成立满足等式的所有第四部分1圆C:,与直线交于A,B两点,则直线AC与直线BC的倾斜角和为_2.有一个正四面体，它的棱长为，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 3. 已知边长为的正，点分别在边上，且，以为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为 4.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。解：（1）又由点M在准线上，得 故， 从而 所以椭圆方程为 （2）以OM为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 所以，解得所求圆的方程为 （3）方法一：由平几知：直线OM：，直线FN： 由得所以线段ON的长为定值。 方法二、设，则 又所以，为定值 5. 如图，在四棱锥中，平面 ,四边形为菱形，是棱上的一点（1） 求证：；（2） 若,求三棱锥的体积；（3） 是否存在点,使的面积最小？若存在，试求出面积最小值及对应线段的长；若不存在，请说明理由 解: 又PD与DB相交 即求三棱锥的体积, 由及PD=8,得:E到平面ABCD的距离为 又四边形为菱形,AC=6，BD=8, 当时, 的面积最小,此时OE,面积最小值为的长为 6 若函数，则 【解析】由倒序相加法，得7 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：从原点O出发，以匀速v(m/s)沿东偏北(为(0，)内的变量)方向或正北方向行走，且方向改变的时间不定记机器人行走t(s)时的可能落点P的区域为，则的面积与(vt)2的比值为 第2题OQBACDPE【解析】如图，作以O为圆心，vt长为半径的四分之一圆，则的区域为弧AB和弦AB围成的弓形区域（除去开线段AB及点B）下证P落在弓形内，过P作OB的垂线，与弧AB、弦AB、OB交于D、C、E，作OQ使，交DC于Q对于某个的任何运动的轨迹相当于从O到Q，再从Q到P当P在C的下方时（包括和C重合），OQ+QP OD =vt综上，P落在弓形内（除去开线段AB及点B），其面积为，则的面积与(vt)2的比值为8 已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为 【解析】由题意0在R上恒成立，则，0令，3（当且仅当，即时取“=