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复变函数与积分变换复变函数与积分变换 合肥工大 引言 微积分的研究对象是以实数为变量的函数 但复 变函数是研究以复数为变量的函数 复变函数中的许多概念 理论和方法都是实变量 函数在复数域内的推广和发展 在学习过程中要 注意比较两者的共同点和不同点 复变函数的理论和方法在数学 自然科学和工程 技术中有着广泛的应用 目录 第1章 复数与复变函数 第2章 解析函数 第3章 复变函数的积分 第4章 级数 第5章 留数 第6章 共形映射 第1章 复数与复变函数 1 1 复数及其代数运算 1 2 复数的几何表示 1 3 复数的乘幂与方根 1 4 区域 1 5 复变函数 1 6 复变函数的极限与连续性 1 1 复数及其代数运算 1 1 1 复数的概念 1 1 2 复数的代数运算 1 1 3 复数的共轭 1 1 1 复数的概念 1i 称为虚数单位 Re Im x yxiy zxiy xyz xz yz 设为两个任意实数 称形如的数为 复数 记为 实数 和 分别称为复数 的实部和虚部 记为 0 0 0 xyziy y 当时 称为纯虚数 当时 该复数可看成是一个实数 复数的相等 两个复数相等的充要条件是两者的实部 虚部分别相等 一般而言 任意两个复数不能比较大小 1 1 2 复数的代数运算 11122 1 zxiy zxiy 两者四则运算定义为 21 2121 yyixxzz 加法 212121 yyixxzz 减法 1221212121 乘法 yxyxiyyxxzz 0 2 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 22 11 2 1 z yx yxyx i yx yyxx iyx iyx z z 除法 2 复数的四则运算律 1221 1zzzz 加法交换律 1221 2zzzz 乘法交换律 3 321321 zzzzzz 加法结合律 4 321321 zzzzzz 乘法结合律 3121321 5zzzzzzz 分配律 1 1 3 复数的共轭 zz zxiyzxiy 实部相同 虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数 的共轭复数记为 若则 共轭复数的运算性质 12121 212 11 22 22 1 2 Re Im 3 22 4 5 6 7 Re Im zz zzzz zzzzz i zzzzz zzz zz zz z zzz 为实数 例题 例1 计算 例2 设 计算 2 55 86 34 i i i 5 2 43 21 i i i i z 25 8 Im 25 16 Re zz 125 64 25 8 25 16 25 8 25 16 iiz z 1 2 复数的几何表示 1 2 1 复数的几何表示 复平面 1 2 2 复数的向量表示 模与辐角 1 2 3 复数的球面表示与扩充复平面 1 2 1 复数的几何表示 复平面 由复数的定义可知 复数由一对有序实数 惟一确定的 于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应 即用横 坐标x 纵坐标y的点 x y 表示复数z x iy 这是一种几何表示法 通常称为点表示 并且将点 x y 与复数z x iy看作同义 由于 轴上的点对应着实数 故 轴称为实轴 轴上非原点的点对应着纯虚数 故 轴称为虚轴 这样表示复数 的平面称为复平面或 平面 xx y y zz 1 2 2 复数的向量表示 模与辐角 1 复数的向量表示 模与辐角 2 复数的三角表示式 3 复数的指数表示式 复数的向量表示 模与辐角 1 复数的向量表示复数的向量表示 复数 还可以用起点为原点 终点为 的向量 来表示 这里的 与 分别 是 在 轴与 轴上的投影 这样 复数与平 面上的向量之间也建立了一一对应关系 iyxz yxP OP xy yx OP 2 复数的模与辐角 复数的模与辐角 复数的模复数的模 图中的向量 的长度称为复数 的模 记作 或 即 OP z zr 22 zrxy 模的性质 2 1212 121212 1 2 3 4 zzzzz zxyxzyz zzzz zzzzzz 且 复数的辐角复数的辐角 设复数 对应的向量为 以正实轴为始边 以表示 的向量 为终边 的角 称为复数 的辐角 记作 即 0z OP zOP zzArg zArg 显然 有无穷多个值 其中每两个值相差 的整数倍 但所有 中满足条件 的只有一个 称为复数 的辐角的主值 记 作 则 而 可根据 计算得出 zArg 2zArg z zarg arg 2arg zZkkzArgz zarg x y z tan arg 辐角的性质 规定辐角按逆时针方向取值为正 顺时针方向取 值为负 arctan argarctan arctan y z x y zz x y z x 在第一 四象限 在第二象限 在第三象限 arg 2arg zZkkzArgz 2 复数的三角表示式 由 可得复数的三角表示式 cos sin xr yr cossin zri 3 复数的指数表示式 根据欧拉公式 可得复数的指数表示式 sincosiei cossin i zrire 1 2 3 复数的球面表示与扩充复平面 1 复数的球面表示 2 扩充复平面 3 无穷远点 复数的球面表示 取一个球面与复平面切于原点 球面与始于原 点且垂直于复平面的射线相交于点N 一方面 对复平面上任一点z 过z和N作直线与 球面相交于异于N的一点P 另一方面 对球面上任一异于N的一点P 过N和 P的直线与复平面交于一点z 因此 除去点N外 球面上的点与复平面上的 点一一对应 所以我们就可以用球面上的点来表 示复数 球面表示 P z N 扩充复平面 可以看到 当z无限远离原点时P无限逼近N 规定 无限远离原点的点称为无穷远点 它与 球面上的点N对应 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点的平面称为有限复平面 无穷远点 约定复平面上有一个模是无穷大的点和N对应 该点称为无 穷远点 记为 与有限数的运算 无意义 0 0 0 0 0 0 例例1 求 和 解解 22Arg i 43Arg i kii2 22arg 22Arg k2 2 2 arctan 2 1 0 2 4 kk kii2 43arg 43Arg k2 3 4 arctan 2 1 0 3 4 arctan 12 kk 例例2 求 的三角表示式与指数表示式 31iz 解 22 1 3 2rz arg z 设 1 3 tan x y 则 注意到 位于第II象限 31iz 所以 3 2 arg z 于是 31iz 22 2 cossin 33 i 2 3 2 i e 1 3 复数的乘幂与方根 1 3 1 乘积与商的几何意义 1 3 2 复数的乘幂 1 3 3 复数的方根 1 3 1 乘积与商的几何意义 定理定理1 1 两个复数乘积的模等于两者模的乘积 两个 复数乘积的辐角等于他们辐角的和 即对任何两个 非零复数 下面两个等式同时成立 三角表示式三角表示式 设 则有 指数表示式指数表示式 设 则 21 zz 2121 zzzz 2121 ArgzArgzzzArg sin cos sin cos 22221111 irzirz sin cos 21212121 rrzz 21 2211 ii erzerz 2121 21 i errzz 定理定理2 2 两个复数的商的模等于它们模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐 角的差 三角表示式三角表示式 设 则有 指数表示式指数表示式 设 则有 sin cos sin cos 22221111 irzirz 0 sin cos 11212 1 2 1 2 r r r z z 21 2211 ii erzerz 0 1 1 2 1 2 12 re r r z z i 1 3 2 复数的乘幂 对于n为正整数 n个非零相同复数z的乘积 称为 z的n次幂 记为 对于三角表示 则有 若r 1时 称为棣莫弗 De Moivr 公式 n n zz zz 个 cossin nn zrnin nini n sincos sin cos 例例1 求 4 1 i 解解 因为 12 cos sin 44 ii 所以 4 sin cos 4 1 4 ii 例例2 已知 求 iz 3 1 iz 3 2 4 2 8 1 z z 解解 因为 iz 3 1 2 cos sin 66 i iz 3 2 55 2 cos sin 66 i 6 20 sin 6 20 cos 2 6 8 sin 6 8 cos 2 4 8 4 2 8 1 i i z z 所以 6 28 sin 6 28 cos 2 4 i 31 8i 1 3 3 复数的方根 称满足方程 的复数 为 的n次方根 记作 或记作 w z 1 n wz 2 0 nwzwn n wz 例题 例例1 解方程 01 6 z 解 解 因为 sincos1 6 iz 所以 5 4 3 2 1 0 6 2 sin 6 2 cos1 6 k k i k iziziz 2 1 2 3 2 1 2 3 210 iziziz 2 1 2 3 2 1 2 3 543 可求出6个根 它们是 例例2 计算 i 1 解 解 因为 1 i 4 3 sin 4 3 cos 2 i 所以 1 i 1 0 2 2 4 3 sin 2 2 4 3 cos2 4 k k i k 即 8 3 sin 8 3 cos2 40 2 iw 8 5 sin 8 5 cos2 41 2 iw 1 4 区域 1 4 1 区域的概念 1 4 2 单连通域与多连通域 1 4 1 区域的概念 邻域邻域 平面上以 为中心 为半径的圆 内部的点的集合称为 的邻域 而称由不等式 所确定的点集为 的去心邻域 由不等式 确定了 的去心邻域 内点 外点 边界点内点 外点 边界点 若点集E的点 存在一个邻域全含于E内 则称 为E的内点 若点 存在一个邻域和E 没有任何公共点 则称 为E的外点 若点 的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的 点 则称 为E的边界点 0 zz 0 z 0 0 0 zz 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 Mzz E的所有边界点组成的点集 称为E的边界 聚点 孤立点聚点 孤立点 设E是一个点集 若平面上的一点 不必 属于E 的任意邻域都有E的无穷多个点 则称 为E的聚点或极限点 若 属于E 但非E 的聚点 则称 为E的孤立点 开集 闭集开集 闭集 若点集E的点皆为内点 则称E为开集 若点 集E的每个聚点皆属于E 则称E为闭集 0 z 0 z 0 z 0 z 区域 闭域区域 闭域 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列 两个条件 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任意两点都可以 用完全属于D的一条折线连接起来 区域加上它的边界称为闭域 有界集 无界集有界集 无界集 若有正数M 对于点集E内的任意点 都 有 即若E全含于一圆之内 则称E为 有界集 否则称E为无界集 z Mz 1 4 2 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 简单曲线 简单闭曲线简单曲线 简单闭曲线 设 及 是闭区间 上连续的两个实函 数 则由方程组 或由复数方程 简记为 所决定的点集C称为复平面上的一条连续曲线 及 分别称为C的起点和终点 对满足 且 的 及 当 成立时 点 称为此曲线C的重点 tx ty t tyy txx ttiytxz tzz z z 1 t 2 t 21 tt 1 t 2 t 21 tztz 1 tz 无重点的连续曲线 称为简单曲线或约当曲线 的简单曲线称为简单闭曲线 光滑曲线 分段光滑曲线光滑曲线 分段光滑曲线 设曲线C的参数方程为 又在 上 连续且不全 为零 则C称为光滑曲线 由几段光滑曲线衔 接而成的曲线称为分段光滑曲线 或按段光滑 曲线 zz ttiytxz t x ty t 单连通域 多连通域单连通域 多连通域 设D是平面上一区域 如果在D内任作一 条简单闭曲线 而曲线所围的部分总属 于D 则称区域D为单连通区域 不是单 连通的区域称为多连通区域或复连通区 域 D D C 单连通 多连通 1 5 复变函数复变函数 1 5 1 复变函数的定义复变函数的定义 定义定义1 设 G为给定的复平面点集 若对 于 G中每一个复数 按着某一确定的 法则 总有确定的一个或几个复数 与之对应 则称 是定义在G 上的复变函数 复变数 是复变数 的 函数 简称复变函数 记作 其中 称为自变量 称为因变量 点集G称为函数 的定义域 z f wuiv f wz wf z zw f 如果 的一个值对应着 的一个值 则称函数 是单值的 如果 的一个值对应着 的两 个或两个以上的值 则称函数 是多值的 设 是定义域为G的函数 其中 则 随 确定 因而 又常写成 其中 是二元实函数 zw zf z w zf wf z zxiywuiv vu yx wf z yxivyxuzf yxvyxu 例例1 将定义在全平面上的复变函数 化 为一对二元实变函数 1 2 zw 解解 设 代入 得 iyxz ivuw 1 2 zw ivuw1 2 iyx 22 1 2xyixy 比较实部与虚部得 1 22 yxu xyv2 例例2 将定义在复平面上一对二元实变函数 化为一个复变函数 22 2 yx x u 22 yx y v 0 22 yx 解解 设 则 iyxz ivuw 22 2 yx iyx ivuw 将 以及 代入上式 经整理后 得 2 1 zzx 2 1 zz i y z zyx 22 0 2 1 2 3 z zz w 1 5 2 映射的概念映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的 点表示 则函数 在几何上 可以看 成是将 平面上的定义域 变到 平面上 的函数值域 的一个变换或映射 它将 内 的一点 变为 内的一点 如图 zwZW zfw Z DW GD zG zfw 1 5 3 反函数与复合函数反函数与复合函数 1 反函数反函数 定义定义2 设 定义在 平面的点集 上 函数值集合 在 平面上 若对任意 在 内有确定的 与之对应 反过来 若对 任意 一点 通过法则 总有 确定的 与之对应 按照函数的定义 在 中确定了 为 的函数 记作 称为函数 的反函数 也称为映射 的逆映射 zfw ZD GWDz G w Gw wzf Dz Gzw 1 wfz zfw zfw 2 复合函数复合函数 定义定义3 设函数 的定义域为 函 数 的定义域为 值域 若对 任一 通过 有确定的 与之对应 从而通过 有确定的 值与 对应 按照函数的定义 在 中确 定了 是 的函数 记作 称其为 与 的复合函数 例如 函数 均为复常数 的复合函数为 hfw 1 D zh 2 D1 DG 2 Dz zh 1 DGh hfw w zD wz zfw hfw zh zhhhhhw 22111 0 1 1 w z 1 6 复变函数的极限与连续性 1 6 1 复变函数的极限 1 6 2 复变函数的连续性 1 6 1 复变函数的极限 定义定义 设函数 在 的某去心邻域内有 定义 若对任意给定的正数 总存在正 数 使得适合不等式 的所有 对应的函数值 都满足不等 式 则称复常数 为函数 当 时的 极限 记作 或 zf 0 0 zz z zf Azf A zf 0 zz Azf zz lim 0 0 zzAzf 0 z 这个定义的几何意义是 当变点 一旦进入 的充分小的 去心邻域时 它的象点 就落入A的预先给定 邻域中 注意 定义中 趋向于 的方式时任意的 就是说 无论 从什么方向 以何种方式趋 向于 都要趋向于同一个常数A 定理定理 设 则 的充分必要条件为 且 z 0 z zf z 0 z z 0 z zf yxivyxuzf 000 iyxz 00 lim 0 ivuAzf zz 0 0 0 lim xx yy u x yu 0 0 0 lim yy xx v x yv 复变函数的极限四则运算法则 定理定理 设 则 1 2 3 Azf zz lim 0 Bzg zz lim 0 BAzgzfzgzf zzzzzz lim lim lim 000 ABzgzfzgzf zzzzzz lim lim lim 000 0 lim lim lim 0 0 0 B B A zg zf zg zf zz zz zz 例例1 证明 函数 当 时极限不 存在 证 令 则 iyxz 22 yx x zf 由此得 让 沿直线 趋于零 我们有 22 yx x yxu 0 yxv kxy 2220 22 0 0 1 1 1 limlim lim kxk x yx x yxu x kxy x kxy x 显然 它随 的不同而不同 所以 不存在 虽然 但由定理知 不存在 k lim 0 0 yxu y x 0 lim 0 0 yxv y x lim 0 zf z Re z z zf 0 z 例例2 试求下列函数的极限 1 2 z z iz 1 lim 1 1 lim 1 z zzz z z 解解 1 法法1 设 则 且 iyxz iyxz z z iyx iyx 22 2222 2xyxy i xyxy 得 1 lim zi z z i yx xy i yx yx yy xx 22 1 22 22 1 2 limlim 11 法法2 1 lim zi z z i i i z z iz iz 1 1 lim lim 1