高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1.2 等差数列的性质及应用课件 北师大版必修5.ppt

第2课时等差数列的性质及应用 1 体会等差数列与一次函数的关系 能够运用一次函数的性质解决等差数列问题 2 掌握等差中项的定义 能够运用定义解决有关问题 3 掌握等差数列性质的应用及实际应用 1 等差中项如果三个数a a b成等差数列 那么a叫作a与b的等差中项 等差中项的性质 1 a是a与b的等差中项 则 2 当2a a b时 a是a与b的等差中项 3 如果三个数成等差数列 那么通常设这三个数为a d a a d 这样可以在解题过程中减少运算量 4 如果数列 an 满足2an an 1 an 1 n 2 n n 那么数列 an 是等差数列 答案 a 做一做1 2 已知m n的等差中项为20 则m n 解析 m n 2 20 40 答案 40 2 等差数列的性质若数列 an 是公差为d的等差数列 则 1 当d 0时 数列为常数列 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 6 若数列 an 是有穷等差数列 则与首末两项等距离的两项之和都相等 且等于首末两项之和 即a1 an a2 an 1 ai 1 an i n i n 7 数列 an b b是常数 是公差为 d的等差数列 8 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m k m n 组成公差为md的等差数列 9 若数列 bn 也为等差数列 则 kan mbn b k m b为常数 也是等差数列 做一做2 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 解析 由等差数列的性质知a2 a4 a6 a8 2 a3 a7 2 37 74 答案 74 题型一 题型二 题型三 题型一等差中项的应用 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思证明三个数 式子 成等差数列 一般可根据定义或等差中项将问题转化为证明等式成立 根据等差数列各项乘 或除以 同一个常数 非零整数 或加 或减 同一个常数所得数列仍是等差数列 再结合问题条件亦可证明 题型一 题型二 题型三 变式训练1 在 1与7之间顺次插入三个数a b c 使这五个数成等差数列 求这个数列 解 1 a b c 7成等差数列 b是 1与7的等差中项 a是 1与b的等差中项 c是b与7的等差中项 题型一 题型二 题型三 题型二等差数列性质的应用 例2 1 已知 an 是等差数列 且a1 a4 a8 a12 a15 2 求a3 a13的值 2 在等差数列 an 中 若a49 80 a59 100 求a79 分析本题 1 考查等差数列的性质 若m n p q 则am an ap aq 的应用 2 考查性质 am an m n d 的应用 解 1 an 是等差数列 a1 a15 a4 a12 a3 a13 2a8 a1 a4 a8 a12 a15 2 a8 2 a3 a13 2a8 2 2 4 2 an 是等差数列 可设公差为d 由a59 a49 10d 知10d 100 80 解得d 2 a79 a59 20d a79 100 20 2 140 题型一 题型二 题型三 反思在等差数列中 若m n p q 2k 则am an ap aq 2ak m n p q k都是正整数 它是一条重要性质 利用该性质可简化运算 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知等差数列 an 1 若a2 a3 a25 a26 48 求a14 2 若a2 a3 a4 a5 34 a2a5 52 求公差d 解 1 a2 a26 a3 a25 2a14 a2 a3 a25 a26 4a14 48 解得a14 12 题型一 题型二 题型三 2 a2 a5 a3 a4 a2 a3 a4 a5 2 a2 a5 34 即a2 a5 17 又已知a2a5 52 联立解得a2 4 a5 13或a2 13 a5 4 题型一 题型二 题型三 题型三实际应用问题 例3 梯子的最高一级宽33cm 最低一级宽110cm 中间还有10级 各级宽度依次成等差数列 计算中间各级的宽度 分析 要求梯子中间各级的宽度 必须知道各级宽度组成的等差数列的公差 又梯子的级数是12 因此 问题相当于已知等差数列的首项 末项及项数求公差 解 设梯子的第n 1 n 12 级的宽为ancm 其中最高一级宽为a1cm 则数列 an 是等差数列 由题意 得a1 33 a12 110 n 12 则a12 a1 11d 所以110 33 11d 解得d 7 所以a2 33 7 40 a3 40 7 47 a11 96 7 103 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm 47cm 54cm 61cm 68cm 75cm 82cm 89cm 96cm 103cm 题型一 题型二 题型三 反思解决实际应用问题的关键是建立数学模型 本题中的数学模型是已知等差数列的首项 末项及项数 求各项 题型一 题型二 题型三 变式训练3 甲虫是行动较快的昆虫之一 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度 1 你能建立一个模型 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 2 利用建立的模型计算 甲虫1min能爬多远 它爬行49cm需要多长时间 题型一 题型二 题型三 解 1 由表可知该数列从第2项起 每一项与前一项的差都是常数9 8 所以是等差数列模型 因为a1 9 8 d 9 8 所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系式是s 9 8t 2 当t 1min 60s时 s 9 8t 9 8 60 588 cm 1 2 3 4 5 1在等差数列 an 中 a1 a9 10 则a5的值为 a 5b 6c 8d 10解析 依题意 得a1 a9 2a5 10 则a5 5 故选a 答案 a 1 2 3 4 5 2在等差数列 an 中 已知a1 2 a2 a3 13 则a4 a5 a6等于 a 40b 42c 43d 45解析 设等差数列 an 的公差为d 则由a2 a3 13 得2a1 3d 13 a1 2 d 3 a4 a5 a6 3a5 3 a1 4d 42 故选b 答案 b 1 2 3 4 5 3已知数列8 a 2 b c是等差数列 则a b c的值分别是 解析 依据等差中项的定义 且8 a 2是等差数列 得2a 8 2 解得a 5 由a 2 b是等差数列 得2 2 a b 同理 由2 b c是等差数列 得2b 2 c 联立 解得a 5 b 1 c 4 答案 5 1 4 1 2 3 4 5 4若等差数列 an 的前三项依次为a 2a 1 4a 2 则它的第五项为 解析 由题意 知2a 1是a与4a 2的等差中项 即2a 1解得a 0 故数列 an 的前三项依次为0 1 2 则a5 0 4 1 4 答案 4 1 2 3 4 5 5夏季高山上的温度从山脚起 每升高100m 降低0 7 已知山顶处的温度是14 8 山脚处的温度为26 此山相对