高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 1.4.1 平面性质课件 北师大版必修2.ppt

4空间图形的基本关系与公理 第1课时平面性质 1 通过长方体这一常见的空间图形 体会点 直线 平面之间的位置关系 2 理解空间图形基本关系 3 掌握空间图形的三个公理 1 空间点与直线 点与平面的位置关系 2 空间图形的公理 名师点拨公理1的三个推论 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 公理1及其推论给出了确定平面的依据 做一做1 已知点m 直线l l 平面 则 a m b m c m d m 答案 b 做一做2 一条直线和直线外两点可以确定平面的个数是 a 1b 2c 3d 1或2解析 当这两点确定的直线和已知直线共面时 可确定1个平面 当这两点确定的直线和已知直线不共面时 可确定2个平面 答案 d 做一做3 已知a b c为三个不同的点 l为直线 是两个不同的平面 若 l a l b l b c l c 则平面abc 平面abc 平面abc l 答案 直线ab直线aca 题型一 题型二 题型三 例1 根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 a b 2 l m a a l 3 p l p q l q 分析 解答本题要正确理解立体几何中表示点 线 面之间位置关系的符号 的意义 在此基础上 由已知给出的符号表示的语句写出相应的点 线 面的位置关系 画出图形 题型四 题型一 题型二 题型三 解 1 点a在平面 内 点b不在平面 内 如图 所示 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点a 且点a不在直线l上 如图 所示 3 直线l经过平面 外一点p和平面 内一点q 如图 所示 题型四 反思空间点 线 面是组成空间图形的基本元素 点是空间图形中最基本的元素 线和面可以看作是点的集合 因此点与线 点与面的关系是元素与集合的关系 而线与线 线与面 面与面的关系则是集合与集合的关系 应该用有关集合的符号来表示空间图形的基本关系 题型一 题型二 题型三 变式训练1 用符号语言表示下列语句 并画出图形 1 三个平面 相交于一点p 且平面 与平面 相交于pa 平面 与平面 相交于pb 平面 与平面 相交于pc 2 平面abd与平面bdc相交于bd 平面abc与平面adc相交于ac 题型四 题型一 题型二 题型三 解 1 符号语言表示 p pa pb pc 如图 所示 2 符号语言表示 平面abd 平面bdc bd 平面abc 平面adc ac 如图 所示 题型四 题型一 题型二 题型三 例2 证明 两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 证明 如图所示 已知l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 方法一 同一法 l1 l2 a l1和l2确定一个平面 l2 l3 b b l2 又l2 b 同理可证c 又b l3 c l3 l3 直线l1 l2 l3在同一平面内 题型四 题型一 题型二 题型三 方法二 重合法 l1 l2 a l1 l2确定一个平面 l2 l3 b l2 l3确定一个平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可证b b c c 不共线的三个点a b c既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 题型四 题型一 题型二 题型三 反思1 对于证明几个点 或几条直线 共面的问题 在由其中几个点 或几条直线 确定一个平面后 只要再证明其他点 或直线 也在该平面内即可 2 所谓点 线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题 通常有两种方法 同一法 先由部分元素确定一个平面 再证其他元素也在该平面内 重合法 先由有关的点 线确定平面 再由其余元素确定平面 最后证明平面 重合 通常情况下采用第一种方法 题型四 题型一 题型二 题型三 变式训练2 求证 若一条直线和两条平行线都相交 则这三条直线共面 证明 如图所示 已知a b a c a b c b a b a与b确定一个平面 又a c a b c b a b ab 即c 直线a b c在同一平面内 题型四 题型一 题型二 题型三 例3 如图所示 在四面体abcd中 e g分别为bc ab的中点 点f在cd上 点h在ad上 且有df fc dh ha 2 3 求证 ef gh bd交于一点 分析 先证明gh和ef共面且交于一点o 然后说明o是平面abd和平面bcd的公共点 而平面abd和平面bcd相交于直线bd 根据公理3 两平面相交 有且只有一条交线 因此点o在交线上 即点o在直线bd上 从而证明了直线ef gh bd都过点o 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 反思证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点 然后说明这个点在两个平面上 并且这两个平面的交线是第三条直线 于是得到交线也过此点 从而得到三线共点 题型四 题型一 题型二 题型三 变式训练3 在如图所示的几何体中 ab a1b1 ab a1b1 ac a1c1 ac a1c1 bc b1c1 bc b1c1 求证 直线a1a b1b c1c相交于同一点 分析 选择两条直线aa1与bb1 证两线aa1与bb1相交 设其交点为d 证明点d分别在aa1与c1c bb1与c1c所确定的两个平面上 直线cc1是这两个平面的交线 得出点d也在第三条直线cc1上 三线共点 题型四 题型一 题型二 题型三 证明 如图所示 ab a1b1 ab a1b1 直线a1a b1b在同一个平面内 并且它们相交 设a1a b1b d ac a1c1 ac与a1c1确定一个平面aa1c1c a1a 平面aa1c1c d 平面aa1c1c 同理d 平面bb1c1c 平面aa1c1c 平面bb1c1c cc1 d cc1 由 可知 a1a b1b c1c三线共点 即直线a1a b1b c1c相交于同一点 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 对公理及推论的条件使用不当而致误 例4 已知a b c d e五点 若a b c d共面 b c d e共面 则a b c d e五点一定共面吗 错解 因为a b c d共面 所以点a在b c d所确定的平面内 又因为b c d e共面 所以点e也在b c d所确定的平面内 所以点a e都在点b c d所确定的平面内 即a b c d e五点一定共面 错因分析 错解忽略了基本性质2中 不在同一条直线上 这一重要条件 实际上b c d三点还可能共线 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 1 当b c d三点不共线时 它们确定一个平面 因为a b c d共面 所以点a在平面 内 因为b c d e共面 所以点e在平面 内 所以点a e都在平面 内 即a b c d e五点一定共面 2 当b c d三点共线于l时 若a l e l 则a b c d e五点一定共面 若a e有且只有一个在l上 则a b c d e五点一定共面 若a e都不在l上 则a b c d e五点可能不共面 12345 1 点p 平面 p 平面 点q q 则 与 的位置关系是 a 平行b 重合c 相交d 不确定答案 c 12345 2空间中可以确定一个平面的条件是 a 两条直线b 一点和一直线c 一个三角形d 三个点解析 对于a 两条直线可能不共面 故a错 对于b 若点在直线上 则不能确定一个平面 故b错 对于d 若三个点共线 则不能确定一个平面 故d错 答案 c 12345 3下列推断中 错误的是 a a l a b l b l b a a b b abc l a l a d a b c a b c 且a b c不共线 重合答案 c 12345 4 设平面 与平面 相交于直线l 直线a 直线b a b m 则ml 解析 因为a b m a b 所以m m 又因为平