高中数学 第三章 不等式 3.4 简单线性规划 3.4.3 简单线性规划的应用课件 北师大版必修5.ppt

4 3简单线性规划的应用 1 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并加以解决 2 培养用线性规划解决实际问题的能力 复习解决线性规划的步骤在约束条件下 求目标函数z ax by c的最小值或最大值的步骤为 1 作出可行域 2 作出直线l0 ax by 0 3 确定l0的平移方向 依可行域找到取得最优解所对应的点 4 解相关方程组 求出最优解 从而得出目标函数的最小值或最大值 做一做1 设用载重为6吨的汽车x 0 x 5 x n 辆 载重为4吨的汽车y 0 y 4 y n 辆 要运送最多的货物z吨 完成这项运输任务的线性目标函数为 答案 z 6x 4y 做一做2 一项装修工程需要木工和瓦工共同完成 请木工需付工资每人50元 请瓦工需付工资每人40元 现有工人工资预算2000元 设木工x人 瓦工y人 则请工人的约束条件是 题型一 题型二 题型一一般形式的线性规划应用题 例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果1个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 题型一 题型二 解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 则依题意 得z 2 5x 4y 且x y满足 作出可行域如图阴影部分所示 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在b 4 3 处取得最小值 zmin 2 5 4 4 3 22 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 且所花的费用最少 题型一 题型二 反思对于线性规划的实际应用问题 通过审题理解题意 找出各量之间的关系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 解线性规划应用题时 先转化为简单的线性规划问题 再按如下步骤完成 题型一 题型二 变式训练1 某公司的仓库a存有货物12t 仓库b存有货物8t 现按7t 8t和5t把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库a运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库b运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 分析 本题考查了利用线性规划解决实际问题 将实际问题中的数据转化为下表 题型一 题型二 解 设仓库a运给甲 乙商店的货物分别为xt yt 则仓库a运给丙商店的货物为 12 x y t 仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x t 8 y t 5 12 x y t 总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 题型一 题型二 作出可行域如图阴影部分所示 作直线l x 2y 0 将直线l平行移动 当直线l移至点a 0 8 时 z x 2y 126取得最小值 zmin 0 2 8 126 110 即x 0 y 8时 总运费最少 故仓库a运给甲 乙 丙商店的货物分别为0t 8t 4t 仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为7t 0t 1t 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 题型一 题型二 题型二线性规划应用题中的整数解问题 例2 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天运送至少180t支援物资的任务 该公司有8辆载重6t的a型卡车与4辆载重10t的b型卡车 有10名驾驶员 每辆卡车每天往返的次数为a型卡车4次 b型卡车3次 每辆卡车每天往返的成本费a型为320元 b型为504元 请为公司安排一下 应如何调配车辆 才能使公司所花的成本费最低 分析 建立数学模型 由于所给约束条件及目标函数均为关于x y的一次式 因此该问题是简单的线性规划问题 利用图解法求解 题型一 题型二 解 设需a型 b型卡车分别为x辆和y辆 公司所花的成本费为z元 列表分析数据如下 题型一 题型二 目标函数为z 320 x 504y 作出可行域如图阴影部分中的整数点 可知当直线z 320 x 504y过点a 7 5 0 时 z最小 但a 7 5 0 不是整点 继续向上平移直线z 320 x 504y可知 8 0 是最优解 这时zmin 320 8 2560 元 即用8辆a型卡车 0辆b型卡车 成本费最低 反思解这类题 应先列表分析数据 而后找出线性关系及目标函数 再根据线性规划求出最优整数解及目标函数的最大值 最小值 题型一 题型二 变式训练2 第十六届广州亚运会前夕 小王在亚运村附近租下一个小店面 卖亚运会纪念t恤和纪念徽章 由于资金和店面有限 他在经营时受到如下条件限制 他最多能进50件t恤 他最多能进30枚徽章 他至少需要t恤和徽章共40件 枚 才能维持经营 已知进货价为 t恤每件36元 徽章每枚48元 现在他用2400元进货 假设每件t恤的利润是18元 每枚徽章的利润是20元 如何进货可使他取得最大利润 题型一 题型二 解 设需进t恤x件 徽章y枚 利润总额为z元 z 18x 20y 作出可行域如图阴影部分中的整数点 当直线z 18x 20y过点m时 z最大 题型一 题型二 但m点坐标 50 12 5 不是整数解 故不能作为最优解 这里运用调整法 在可行域内 点m附近取到点 50 12 和点 49 13 经比较z值知 点 49 13 为最优解 zmax 18 49 20 13 1142 元 故需进t恤49件 徽章13枚 可使他取得最大利润 最大利润为1142元 1 2 3 4 1在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至少运一次 则该厂所花的最少运输费用为 a 2000元b 2200元c 2400元d 2800元答案 b 1 2 3 4 2某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗a原料1kg b原料2kg 生产乙产品1桶需耗a原料2kg b原料1kg 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗a b原料都不超过12kg 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是 a 1800元b 2400元c 2800元d 3100元 1 2 3 4 答案 c 1 2 3 4 3某公司租赁甲 乙两种设备生产a b两类产品 甲种设备每天能生产a类产品5件和b类产品10件 乙种设备每天能生产a类产品6件和b类产品20件 已知设备甲每天的租赁费为200元 设备乙每天的租赁费为300元 现该公司至少要生产a类产品50件 b类产品140件 则所需租赁费最少为元 解析 设甲种设备需要生产x天 乙种设备需要生产y天 此时该公司所需租赁费为z元 则z 200 x 300y 甲 乙两种设备生产a b两类产品的情况如下表所示 1 2 3 4 答案 2300 1 2 3 4 4某公司计划2017年在甲 乙两个电视台做总时间不超过300min的广告 广告总费用不超过9万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 min和200元 min 假设甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司带来的收益分别为0 3万元和0 2万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少万元 分析 设出目标函数 画出可行域 利用图解法求出最优解 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xmin和ymin 总收益为z元 目标函数为z 3000 x 2000y 1 2 3 4 画出二元一次不等式组所表示的平面区域