高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4.1 比较法、分析法课件 北师大版选修45.ppt

4不等式的证明 第1课时比较法 分析法 1 比较法比较法证明不等式可分为求差比较法和求商比较法两种 名师点拨1 用求差比较法证明不等式的一般步骤 1 作差 把不等式左 右两边作差 可以是左边减右边 也可以是右边减左边 2 变形 把这个差变化为易于判断正负的形式 而不必考虑差的值是多少 变形的方法主要有配方法 通分法 因式分解法等 3 判断差的符号 主要依据差的最后变形的结果来判断 4 下结论 肯定所证明的不等式成立 2 分析法 1 定义 从所要证明的结论出发 分析使此不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判断这些充分条件是否成立的问题 如果能够使这些充分条件都具备 那么就可以断定原不等式成立 这种证明方法叫作分析法 2 思路 执果索因 的证明方法 即从求证的不等式出发 不断地用充分条件来代替前面的不等式 直到找到已知不等式为止 做一做3 用分析法证明 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要条件 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 3 若an bn 0 则a b 4 用分析法证明不等式时 其实质是由结论步步寻求不等式成立的充要条件 从而到已知 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 已知正数a b c成等比数列 求证 a2 b2 c2 a b c 2 分析先由a b c成等比数列得出a b c满足的关系式 再利用求差比较法进行证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用求差比较法证明不等式的技巧 1 求差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断差式的符号 常将差式变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的差式是某字母的二次三项式时 常用判别式法判断符号 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知a b均为负数 求证 a3 b3 a2b ab2 证明a3 b3 a2b ab2 a3 a2b b3 ab2 a2 a b b2 a b a b 2 a b 因为a b均为负数 所以a b 0 a b 2 0 所以 a b 2 a b 0 故a3 b3 a2b ab2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析求差比较法不易证明 可采用求商比较法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用求商比较法证明不等式的一般步骤 1 作商 将不等式左右两边的式子进行作商 2 变形 化简商式到最简形式 3 判断 判断商与1的大小关系 也就是判断商大于1或小于1或等于1 4 得出结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析用分析法证明不等式 从要证明的不等式出发 将要证明的不等式逐步简化 直至得出明显成立的不等式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用分析法证明不等式应注意的问题 1 利用分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 利用分析法证明不等式的思维是从要证明的不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解当a 1时 loga 1a 0 loga 2 a 1 log32 0 所以loga 1a0 必有loga 1a1时 loga 1a 0 loga 2 a 1 0 所以loga 1a loga 2 a 1 综上所述 不等式loga 1a loga 2 a 1 成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得用作商比较法证明不等式 须注意前提条件 即由推得b0 b 0的条件 否则可能会得出相反的结论 错解中没有证明loga 1a 0 loga 2 a 1 0 所以证明是不严密的 1 2 3 4 1 若p x2 y2 1 q xy x y 则有 a p qb p qc p qd p q解析 2p 2q 2x2 2y2 2 2xy 2x 2y x y 2 x 1 2 y 1 2 0 所以p q 答案 b 1 2 3 4 2 用分析法证明不等式时的推理过程一定是 a 正向 逆