高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.1 数学归纳法课件 北师大版选修45.ppt

2 3数学归纳法与贝努利不等式 3 1数学归纳法 对数学归纳法的理解 1 数学归纳法原理 数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题 若当n取第1个值n0时该命题成立 又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k 1个值时该命题成立 则该命题对一切自然数n n0都成立 2 数学归纳法 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题 证明需要经过两个步骤 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时命题正确 假设当n k时 k n k n0 命题正确 证明当n k 1时命题也正确 在完成了上述两个步骤之后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确 名师点拨数学归纳法一般被使用证明某些涉及正整数n的命题 n可取无限多个值 但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明 例如用数学归纳法证明的单调性就难以实现 一般来说 从n k到n k 1时 如果问题中存在可利用的递推关系 则数学归纳法有用武之地 否则使用数学归纳法就有困难 在运用数学归纳法时 要注意起点n0并非一定取1 也可能取0 2等值 要看清题目 比如证明凸n边形的内角和f n n 2 180 这里面的n应不小于3 即n 3 第一个值n0 3 归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键 这也是能否由 n k 递推到 n k 1 的关键 在证明过程中 需根据命题的变化或者在步骤的变化中 从数学式子的结构特点上 利用拼凑的方法 凑假设 凑结论 从而使 递推关系 得以顺利进行 命题得以证明 答案 d 答案 d 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 只要推理过程正确 归纳假设可以不用 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析按照数学归纳法的步骤进行证明 注意第二步中合理运用归纳假设 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用数学归纳法证明等式时应注意的问题 1 第一步的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证n 2 n 3 甚至需要验证n 10 如证明 对足够大的正整数n 有2n n3 就需要验证n 10时不等式成立 2 注意当n k 1时式子的项数 特别是寻找n k与n k 1的式子之间的关系时 项数发生什么变化容易被弄错 因此对n k与n k 1时式子的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设 否则这样的证明就不再是数学归纳法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1用数学归纳法证明 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2n 2n 3 3 n n 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 2 2 3 3 1 左边 右边 所以等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即1 3 2 5 22 2k 1 2k 1 2k 2k 3 3 则当n k 1时 1 3 2 5 22 2k 1 2k 1 2k 1 2k 2k 2k 3 3 2k 1 2k 2k 4k 2 3 2k 1 2 k 1 3 3 即当n k 1时 等式也成立 由 1 2 知 等式对任何n n 都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 分析在第二步证明中 注意利用归纳假设 对n k 1时的式子进行合理变形 证明 1 当n 1时 3 1 1 7 1 27能被9整除 命题成立 2 假设当n k k n k 1 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 则当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 7k 1 1 3 7k 1 3k 1 7k 1 6 3k 1 7k 3 7k 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k 因为 3k 1 7k 1和9 2k 3 7k都能被9整除 所以 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k能被9整除 即当n k 1时 命题也成立 综合 1 2 可知 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明整除问题时 首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 其中的关键是 凑项 可采用增项 减项 拆项和因式分解等方法分析出因子 从而利用归纳假设使问题得到解决 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2用数学归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 其中n n a r 证明 1 当n 1时 an 1 a 1 2n 1即为a2 a 1 能够被a2 a 1整除 结论成立 2 假设当n k k n 时 结论成立 即ak 1 a 1 2k 1能够被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2k 1 a2 a 1 由归纳假设知 上式能够被a2 a 1整除 即当n k 1时 结论也成立 由 1 2 可知 原结论对任意n n 都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 n n 分析因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 那么再有一个圆和这n个圆相交 就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 所以增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n个 即f n 1 f n 2n 有了上述关系 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以当n 1时命题成立 2 假设当n k k n 且k 1 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 则当n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆o 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆o与k个圆有2k个交点 这2k个点将圆o分成2k段弧 每段弧将原平面一分为二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以当n k 1时 命题成立 综合 1 2 可知 对一切n n 命题成立 反思感悟对于几何问题的证明 可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程 或者说体会出是怎样变化的 然后再去证明 也可以用 递推 的方法来证明 证明的关键是寻找f k 1 与f k 之间的递推关系 从f k 1 中将f k 分离出来 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 又因为任何三条直线不共点 所以这k个交点不同于k条直线的交点 且k个交点也互不相同 如此k个交点把直线l分成 k 1 段 每一段把它所在的平面区域分成两部分 故新增加了 k 1 个部分 这时即当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 命题对任何n n 都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因未用上归纳假设而致误 典例 已知数列 an 中 a1 3 其前n项和sn满足sn 6 2an 1 n n 计算a2 a3 a4 然后猜想出an的表达式 并用数学归纳法证明你的结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得1 本题在证明时出现了两个错误 2 未用归纳假设 2 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步中验证n的初始值至关重要 它是递推的基础 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范围内的最小值 3 第二步证明的关键是运用归纳假设 在使用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异与联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 2 3 4 5 1 在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时 第一步应验证 a n 1成立b n 2成立c n 3成立d n 4成立解析 凸n边形的内角和为 n 2 最少边的凸n边形为三角形 所以应验证n 3时成立 答案 c 1 2 3 4 5 a 1b 1 a a2c 1 ad 1 a a2 a3解析 因为当n 1时 an 1 a2 所以此时式子左边为1 a a2 答案 b 1 2 3 4 5 3 用数学归纳法证明等式 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 由n k到n k 1时 等式左边的变化是 a 多乘了 2k 1 b 多乘了2 2k 1 c 多乘了 2k 1 2k 2 d 多乘了2 k 1 解析 当n k时 左边 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k k 1 k 2 k k 2 2k 1 所以多乘了2 2k 1 答案 b 1 2