高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1.2 抛物线及其标准方程习题课课件 北师大版选修21.ppt

3 2 1 2抛物线及其标准方程习题课 1 理解利用抛物线的定义求轨迹方程的思路 2 会求抛物线中的最值问题 3 掌握与抛物线有关的应用题 1 抛物线定义的集合表示设m是抛物线上任意一点 点m到准线l的距离为d 则抛物线即为点集p m mf d 说明 1 抛物线的定义实质为 一动 二定 三相等 一动 即动点m 二定 即一个定点f 焦点 一条定直线l 准线 三相等 即 mf d 2 定点f不在定直线l上 否则动点m的轨迹是经过点f的直线l的垂线 如到点f 1 1 和到直线x y 2 0距离相等的点的轨迹是一条直线 方程为x y 0 3 利用定义 我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 把到准线的距离转化为到焦点的距离 即看到焦点 想到准线 看到准线 想到焦点 一般来说 凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题 利用定义来解较简单 做一做2 抛物线顶点在原点 焦点在y轴上 其上一点p m 1 到焦点f的距离为5 则抛物线方程为 a x2 8yb x2 8yc x2 16yd x2 16y答案 c 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 解 1 如图所示 点a在抛物线y2 4x的内部 由抛物线的定义可知 ma mf ma mh 其中 mh 为m到抛物线的准线的距离 过点a作抛物线准线的垂线交抛物线于m1 垂足为b 则 ma mf ma mh ab 4 当且仅当点m在点m1的位置时等号成立 此时点m1的坐标为 1 2 题型一 题型二 题型三 反思处理抛物线中的最小值问题 一般是借助抛物线的定义进行求解 即把动点到两定点的距离和转化为定点到抛物线准线的距离 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时点p的坐标 分析 如图 根据抛物线的定义 把p到焦点的距离转化成点p到准线的距离 然后过a 3 2 作准线的垂线交抛物线于点p0 则点p0为所求的点 所求的最小距离和 p0a p0f 为点a 3 2 到准线的距离 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 一辆卡车高为3m 宽为1 6m 欲通过断面为抛物线形的隧道 已知拱口宽恰好是拱高的4倍 若拱口宽为am 求使卡车通过的a的最小整数值 分析 依据抛物线标准方程的求法 建立适当的坐标系 通过确定点的坐标确定出抛物线的方程 把卡车的宽度坐标化 利用抛物线解决宽度问题 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题 利用数学模型 通过数学语言 文字 符号 图形 字母等 表达 分析 解决问题 在建立抛物线的标准方程时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴的一条坐标轴建立坐标系 这样使标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 易错点忽略轨迹方程中变量的限制范围而出错 例3 求与圆 x 3 2 y2 9外切 且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程 错解 设轨迹上任意一点为p x y 圆 x 3 2 y2 9的圆心a 3 0 半径r 3 设圆p的半径为r0 如图所示 则 ap r0 3 点p到直线l x 3的距离 pp r0 3 故点p的轨迹是以a 3 0 为焦点 以l x 3为准线的抛物线 其方程为y2 12x x 0 题型一 题型二 题型三 错因分析 错解中忽略了圆a与y轴相切于原点 故y 0 x0时 y2 12x 当x0 和y 0 x 0 12345 1 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的方程是 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x答案 b 12345 2 动点到点 3 0 的距离比它到直线x 2的距离大1 则动点的轨迹是 a 椭圆b 圆c 直线d 抛物线解析 将直线x 2向左平移1个单位长度 由已知可得动点到点 3 0 的距离等于它到直线x 3的距离 故选d 答案 d 12345 3 点p是抛物线y2 4x上一点 若点p到焦点的距离是5 那么点p的坐标是 a 4 4 b 4 4 或 4 4 c 4 4 或 4 4 解析 由点p到焦点的距离是5可知点p到准线x 1的距离也是5 故点p的横坐标为4 将x 4代入抛物线方程得点p的纵坐标为 4 故选b 答案 b 12345 4 已知f是抛物线y2 4x的焦点 m是这条抛物线上的一个动点 p 3 1 是一个定点 则 mp mf 的最小值是 此时点m的坐标为 解析 如图所示 mp mf mp mm pp 4 此时ym 1 12345 5 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 如图所示 已知灯口的直径是24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜的顶点 即截得抛物线的顶点 距离是多少 12345 解 取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xoy 如图所示 因灯口直径 ab 24 灯深 o