高考数学专题训练7 空间向量与立体几何 理.doc

高考专题训练七空间向量与立体几何班级_姓名_时间：45分钟分值：75分总得分_一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上1在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为()a.b.c. d.解析：以d为原点，da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建系，设正方体棱长为1，则c(0,1,0)，m，d1(0,0,1)，n，cos，sin，.故选b.答案：b2(2011全国)已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则d到平面abc的距离等于()a. b.c. d1解析：由2()22222221|21，所以|cd|.过d作debc于e，则de面abc，de即为d到平面abc的距离在rtbcd中，bc2bd2cd23，bc.debcbdcd，de.答案：c3在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90，d、e、f分别是棱ab、bc、cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：以a为原点，ab、ac、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d，e，f，(0,0,2)，设面def的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设pa与平面def所成角为，则sin，pa与平面def所成角为arcsin，故选c.答案：c4如图所示，ac1是正方体的一条体对角线，点p、q分别为其所在棱的中点，则pq与ac1所成的角为()a.b. c.d.解析：如图，设底面中心为o，在对角面adc1b1中，取ab1的中点为t，tdpq，从而td与ac1所成的角为所求由相似可得amd，故选d.答案：d5如下图所示，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m是aa1的中点，则点a到平面mbd的距离是()a.a b.ac.a d.a解析：a到面mbd的距离由等积变形可得vambdvbamd.易求da.答案：d6已知平面与所成的二面角为80，p为，外一定点，过点p的一条直线与，所成的角都是30，则这样的直线有且仅有()a1条b2条 c3条d4条解析：如右图，过p作、的垂线pc、pd，其确定的平面与棱l交于q，过p的直线与、分别交于a、b两点，若二面角为80，ab与平面、成30，则cpd100，ab与pd、pc成60，因此问题转化为过p点与直线pd、pc所成角为60的直线有几条60，60，这样的直线有4条答案：d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上7(2011全国)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于_解析：如图，以da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的边长为3.a(3,0,0)，e(3,3,1)，f(0,3,2)(0,3,1)，(3,3,2)设平面aef的法向量为n(x，y，z)，令y1，z3，x1，n(1,1，3)又(0,0,3)为面abc的一个法向量，设平面aef与平面abc所成的二面角为cos|cosn，|sintan.答案：8已知l1，l2是两条异面直线，、是三个互相平行的平面，l1、l2分别交、于a、b、c和d、e、f，ab4，bc12，df10，又l1与成30角，则与间的距离是_；de_.解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得与间距离为6.由面面平行的性质定理可得，即.de2.5.答案：62.59坐标平面上有点a(2,3)和b(4，1)，将坐标平面沿y轴折成二面角aoyb，使a，b两点的距离为2，则二面角等于_解析：如图，adbc，bccd，bc平面acd，bcac，ab2，bc4，ac2，ad2，cd4，cos.答案：12010已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则直线da1与ac间的距离为_解析：设n是a1d和ac的公垂线段上的向量，则n()()10，1.又n()()0，1.n.故所求距离为d.答案：三、解答题：本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11(12分)(2011天津)如图，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa12，c1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn平面a1b1c1，求线段bm的长解：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点，依题意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，)，a1(2，2，0)，b1(0,2，0)，c1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)于是cos，.所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)，设平面aa1c1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)，同样地，设平面a1b1c1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n.从而sinm，n.所以二面角aa1c1b1的正弦值为.(3)由n为棱b1c1的中点，得n，设m(a，b,0)，则，由mn平面a1b1c1，得即解得故m，因此，所以线段bm的长|.方法二：(1)由于aca1c1.故c1a1b1是异面直线ac与a1b1所成的角因为c1h平面aa1b1b，又h为正方形aa1b1b的中心，aa12，c1h，可得a1c1b1c13.因此cosc1a1b1.所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为.(2)连接ac1，易知ac1b1c1，又由于aa1b1a1，a1c1a1c1，所以ac1a1b1c1a1，过点a作ara1c1于点r，连接b1r，于是b1ra1c1，故arb1为二面角aa1c1b1的平面角在rta1rb1中，b1ra1b1sinra1b12.连接ab1，在arb1中，ab14，arb1r，cosarb1，从而sinarb1.所以二面角aa1c1b1的正弦值为.(3)因为mn平面a1b1c1，所以mna1b1，取hb1中点d，连接nd.由于n是棱b1c1的中点，所以ndc1h且ndc1h.又c1h平面aa1b1b，所以nd平面aa1b1b，故nda1b1.又mnndn，所以a1b1平面mnd，连接md并延长交a1b1于点e，则mea1b1，故meaa1.由，得deb1e，延长em交ab于点f，可得bfb1e，连接ne.在rtenm中，ndme，故nd2dedm，所以dm，可得fm，连接bm，在rtbfm中，bm.12(13分)(2011上海)已知abcda1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱，o1为a1c1与b1d1的交点(1)设ab1与底面a1b1c1d1所成角的大小为，二面角ab1d1a1的大小为.求证：tantan；(2)若点c到平面ab1d1的距离为，求正四棱柱abcda1b1c1d1的高解：设正四棱柱的高为h.(1)证明：连接ao1，aa1底面a1b1c1d1于a1，ab1与底面a1b1c1d1所成的角为ab1a1，即ab1a1.ab1ad1，o1为b1d1中点，ao1b1d1，又a1o1b1d1，ao1a1是二面角ab1d