南京航空航天大学《高等数学》123齐次方程.pdf

通解分为三种情况根据特征根的情况 的特征根求出 的特征方程写出 通解分为三种情况根据特征根的情况 的特征根求出 的特征方程写出 3 2 2 2 0 1 1 21 2 rr qprr 1 0 的解的步骤如下求的解的步骤如下求 qypyy sincos 212 1 2121 2121 1 21 xcxceyiriii exccyrrii ececyrri x xr xrxr 同次的多项式与系数待定同次的多项式与系数待定 xPxQ mm 1 特解形式 若 特解形式 若 x m exPqypyy 是特征重根 是特征单根 不是特征根 是特征重根 是特征单根 不是特征根 2 1 0 k x m k exQxy 特解形式 若 特解形式 若 sin cos xxPxxPeqypyy nl x 是特征根 不是特征根 是特征根 不是特征根 i i k 1 0 sin cos 2 1 xxRxxRexy mm xk max nlm 解法 解法 欧拉方程是特殊的变系数方程 通过变 量代换可化为常系数微分方程 欧拉方程是特殊的变系数方程 通过变 量代换可化为常系数微分方程 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn 的方程的方程 其中其中 n ppp 21 形如 叫 形如 叫欧拉方程欧拉方程 为常数为常数 特点 特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同 作变量变换作变量变换 ln xtex t 或或 1 dt dy xdx dt dt dy dx dy 1 2 2 22 2 dt dy dt yd xdx yd 将自变量换为将自变量换为 t 23 1 2 2 3 3 33 3 dt dy dt yd dt yd xdx yd 1111 1 2 2 22 2 22 2 dt dy dt yd xxdt yd xdt dy xdt dy xdx d dx yd 用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算 dt d 上述结果可以写为上述结果可以写为 Dyyx 1 2 2 2 2 yDDyDD dt dy dt yd yx 2 1 23 23 23 2 2 3 3 3 yDDDyDDD dt dy dt yd dt yd yx 1 1 ykDDDyx kk 将上式代入欧拉方程 则化为以 为自变量将上式代入欧拉方程 则化为以 为自变量t 的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程 求出这个方程的解 后 求出这个方程的解 后 t把 换为 把 换为 xln即得到原方程的解即得到原方程的解 一般地 一般地 0 2ln22 2 2 xxxxyxyyx的通解求的通解求 xtex t ln 令 令 2 12 2 2 12 22 2 12 22 1 2 2 2 t t t ety dt dy dt yd etyDDD etyDyyDD 即即 1 202 21 2 rrrr tt ececy 2 21 221 2 2 1 的一个特解是自然 的一个特解是自然 y dt dy dt yd y 例例1 解解 t etbbty 1 10 2 令是特征单根又 令是特征单根又 定出代入方程定出代入方程 t ety dt dy dt yd 12 2 2 2 t ettybb 9 1 3 1 3 1 9 1 2 210 的解是故的解是故 9 1 3 1 1 2 1 t ettyyy ttt ettececy 9 1 3 1 1 2 21 的通解为的通解为 还原得原方程的解还原得原方程的解 xxxxcxcy ln 9 1 ln 3 1 1 22 21 例例2 求欧拉方程求欧拉方程 223 34xyxyxyx 的通解的通解 解解 作变量变换作变量变换 ln xtex t 或或 原方程化为原方程化为 34 1 2 1 2t eDyyDDyDDD 即即 332 223t eDyyDyD 或或 332 2 2 2 3 3 t e dt dy dt yd dt yd 1 方程方程 1 所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为 032 2 2 3 3 dt dy dt yd dt yd 其特征方程其特征方程 032 23 rrr 特征方程的根为特征方程的根为 3 1 0 321 rrr 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为 3 3 2 1 3 321 xC x C CeCeCCY tt 设特解为设特解为 22 bxbey t 代入原方程 得代入原方程 得 2 1 b 所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为 2 1 23 3 2 1 xxC x C Cy 2 2 x y 即即 小结小结 欧拉方