高考数学总复习导学 第十二篇 概率、随机变量及其分布第1讲　随机事件的概率 理 新人教A版.doc

第1讲随机事件的概率【2013年高考会这样考】1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法【复习指导】随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键基础梳理1随机事件和确定事件(1)在条件s下，一定会发生的事件叫做相对于条件s的必然事件(2)在条件s下，一定不会发生的事件叫做相对于条件s的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在条件s下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母a，b，c表示2频率与概率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率3互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若ab为不可能事件(ab)，则称事件a与事件b互斥，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若ab为不可能事件，而ab为必然事件，那么事件a与事件b互为对立事件，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中有且仅有一个发生4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率：p(a)1.(3)不可能事件的概率：p(a)0.(4)互斥事件的概率加法公式：p(ab)p(a)p(b)(a，b互斥)p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)(a1，a2，an彼此互斥)(5)对立事件的概率：p()1p(a)一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式p(a)1p()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便双基自测1(人教a版教材习题改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()a必然事件 b随机事件c不可能事件 d无法确定答案b2在n次重复进行的试验中，事件a发生的频率为，当n很大时，p(a)与的关系是()ap(a) bp(a)cp(a) dp(a)解析事件a发生的概率近似等于该频率的稳定值答案a3(2012兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()a至少有一个红球与都是红球b至少有一个红球与都是白球c至少有一个红球与至少有一个白球d恰有一个红球与恰有二个红球解析对于a中的两个事件不互斥，对于b中两个事件互斥且对立，对于c中两个事件不互斥，对于d中的两个互斥而不对立答案d4(2011陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()a. b. c. d.解析若用1,2,3,4,5,6代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为1,1、1,2、1,3、6,6，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括1,1、2,2、3,3、6,6，共6个基本事件，所以所求的概率值为.答案d5(2011湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为_(结果用最简分数表示)解析所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为p，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率1p.答案考向一互斥事件与对立事件的判定【例1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”审题视点 可用集合的观点判断解(1)是互斥事件，不是对立事件原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系【训练1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件a表示向上的一面出现奇数点，事件b表示向上的一面出现的点数不超过3，事件c表示向上的一面出现的点数不小于4，则()aa与b是互斥而非对立事件ba与b是对立事件cb与c是互斥而非对立事件db与c是对立事件解析根据互斥事件与对立事件的意义作答，ab出现点数1或3，事件a，b不互斥更不对立；bc，bc，故事件b，c是对立事件答案d考向二随机事件的概率与频率【例2】(2011湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量x(单位：毫米)有关据统计，当x70时，y460；x每增加10，y增加5.已知近20年x的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率审题视点 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的x，y的函数关系，求出y490或者y530对应的x的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知得y425，故p(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)p(y490或y530)p(x130或x210)p(x70)p(x110)p(x220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率【训练2】 某市统计的20082011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2008年2009年2010年2011年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)；(2)该市男婴出生的概率约是多少？解(1)2008年男婴出生的频率为fn(a)0.524.同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.510.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.考向三互斥事件、对立事件的概率【例3】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率审题视点 (1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和(2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概率和：1,2月份各被投诉1次；1,2月份各被投诉0,2次；1,2月份各被投诉2,0次解法一(1)设事件a表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件b表示“一个月内被投诉的次数为1”，p(ab)p(a)p(b)0.40.50.9.(2)设事件ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件d表示“两个月内共被投诉2次”p(ai)0.4，p(bi)0.5，p(ci)0.1(i1,2)，两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为p(a1c2a2c1)，一、二月份均被投诉1次的概率为p(b1b2)，p(d)p(a1c2a2c1)p(b1b2)p(a1c2)p(a2c1)p(b1b2)，由事件的独立性得p(d)0.40.10.10.40.50.50.33.法二(1)设事件a表示“一个月内被投诉2次”，事件b表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”p(a)0.1，p(b)1p(a)10.10.9.(2)同法一 本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力【训练3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a、b、c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)p(a)，p(b)，p(c).故事件a，b，c的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc.a、b、c两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.难点突破24事件对立与互斥的辨别问题对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若a，b互斥，则p(ab)p(a)p(b)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然