南京航空航天大学《高等数学》65功、水压力、引力.pdf

1 第五节功 水压力 引力第五节功 水压力 引力 变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 水压力水压力 引力引力 2 由物理学知道 如果物体在作直线运动的过程中 有一个不变的力 由物理学知道 如果物体在作直线运动的过程中 有一个不变的力F作用在这物体上 且这力的方向与 物体的运动方向一致 那么 在物体移动了距离 作用在这物体上 且这力的方向与 物体的运动方向一致 那么 在物体移动了距离 s 时 力 时 力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的 就 不能直接使用此公式 而采用 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的 就 不能直接使用此公式 而采用微元法 即 积分元素 法 微元法 即 积分元素 法思想思想 一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功 3 问题 物体在变力 问题 物体在变力F x 的作用下 从的作用下 从x轴上轴上a点移动到点移动到b点 求变力所做的功 点 求变力所做的功 用积分元素法用积分元素法 1 在 在 a b 上考虑小区间上考虑小区间 x x x 在此小区间上 在此小区间上 w dw F x dx 2 将 将dw从从a到到b求定积分 就得到所求的功求定积分 就得到所求的功 b a b a dxxFdwW 4 例 1例 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐 标原点处 它产生一个电场 这个电场对周围的电 荷有作用力 由物理学知道 如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 轴上坐 标原点处 它产生一个电场 这个电场对周围的电 荷有作用力 由物理学知道 如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方 那么电场 对它的作用力的大小为 的地方 那么电场 对它的作用力的大小为 2 r q kF k是常数 当 这个单位正电荷在电场中从 是常数 当 这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动 到 轴移动 到 br 处时 计算电场力处时 计算电场力 F 对它所作的功 对它所作的功 5 解解取取r为积分变量 为积分变量 ro q a b 1 r bar drr 取任一小区间取任一小区间 drrr 功元素功元素 2 dr r kq dw 所求功为所求功为dr r kq w b a 2 b a r kq 1 11 ba kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a 2 a r kq 1 a kq 6 点击图片任意处播放点击图片任意处播放 暂停暂停 例 2例 2 一圆柱形蓄水池 高为 一圆柱形蓄水池 高为 5米 底半径为米 底半径为 3 米 池内盛满了水米 池内盛满了水 问要把池内的水全部 吸出 需作多少功 问要把池内的水全部 吸出 需作多少功 解建立坐标系如图解建立坐标系如图 x o x dxx 取取x为积分变量 为积分变量 5 0 x 5 取任一小区间取任一小区间 dxxx 用积分元素法用积分元素法 7 x o x dxx 5 这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为 dx 2 38 9 功元素功元素 2 88dxxdw dxxw 2 88 5 0 5 0 2 2 2 88 x 3462 千焦千焦 8 解 设木板对铁钉的阻力为解 设木板对铁钉的阻力为 kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 1 0 1 dxxfw 2 k 0 h h dxxfw 例3 用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入 例3 用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米 若每次锤击所作的功 相等 问第 次锤击时又将铁钉击入多少 厘米 若每次锤击所作的功 相等 问第 次锤击时又将铁钉击入多少 n 设 次击入的总深度为 厘米设 次击入的总深度为 厘米hn 次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n 9 h h kxdxw 0 2 2 kh 依题意知 每次锤击所作的功相等 依题意知 每次锤击所作的功相等 1 nwwh 2 2 kh 2 k n nh 1 nn 次击入的总深度为次击入的总深度为n 第 次击入的深度为第 次击入的深度为n 10 由 物 理 学 知 道 在 水 深 为由 物 理 学 知 道 在 水 深 为h处 的 压 强 为处 的 压 强 为 hp 这里 这里 是水的比重 如果有一面积为是水的比重 如果有一面积为A的 平板水平地放置在水深为 的 平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所 受的水压力为 处 那么 平板一侧所 受的水压力为ApP 如果平板垂直放置在水中 由于水深不同的点 处压强 如果平板垂直放置在水中 由于水深不同的点 处压强p不相等 平板一侧所受的水压力就不能直 接使用此公式 而采用 不相等 平板一侧所受的水压力就不能直 接使用此公式 而采用 积分元素法积分元素法 思想 思想 二 水压力二 水压力 11 例 4例 4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为 水的比重为 计算桶的一端面 上所受的压力 计算桶的一端面 上所受的压力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图 x o 取取x为积分变量 为积分变量 0 Rx 取任一小区间取任一小区间 dxxx x dxx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为小矩形片的面积为 2 22 dxxR xp 12 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为dxxRxdP 22 2 端面上所受的压力端面上所受的压力 dxxRxP R 22 0 2 22 0 22 xRdxR R R xR 0 3 22 3 2 3 2 3 R 13 例 5例 5 将直角边各为 将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板 垂直地浸人水中 斜边朝下 直角边的边长与水 面平行 且该边到水面的距离恰等于该边的边 长 求薄板所受的侧压力 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中 斜边朝下 直角边的边长与水 面平行 且该边到水面的距离恰等于该边的边 长 求薄板所受的侧压力 解建立坐标系如图解建立坐标系如图 x o a2 a2 a 面积微元面积微元 2dxxa dxxaaxdP 1 2 2 dxxaaxP a 2 2 0 3 7 3 a 14 由物理学知道 质量分别为由物理学知道 质量分别为 21 m m相距为相距为 r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为 2 21 r mm kF 其中 其中k为引力系数 引力的方向沿着两质点的 连线方向 为引力系数 引力的方向沿着两质点的 连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的 且各点对该质点的引力方向也是变化的 就不能用此公式计算 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的 且各点对该质点的引力方向也是变化的 就不能用此公式计算 三 引力三 引力 15 例 6例 6 有一长度为有一长度为l 线密度为 线密度为 的均匀细棒 在其中垂线上距棒 的均匀细棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点 M 计算该棒对质点 计算该棒对质点M的引力 的引力 2 l 2 l x y o Ma 解建立坐标系如图解建立坐标系如图 取取y为积分变量为积分变量 取任一小区间取任一小区间 dyyy 2 2 ll y 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 dy r y dyy 16 小段与质点的距离为小段与质点的距离为 22 yar 引力引力 22 ya dym kF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素 2 3 22 ya dyam kdFx 2 3 2 2 22 ya dyam kF l lx 4 2 2 1 22 laa lkm 由对称性知 引力在铅直方向分力为由对称性知 引力在铅直方向分力为 0 y F 17 利用 利用 积分元素法 微元法积分元素法 微元法 思想求 变力作功 水压力和引力等物理问题 思想求 变力作功 水压力和引力等物理问题 注意熟悉相关的物理知识 注意熟悉相关的物理知识 四 小结四 小结 18 思考题思考题 4 20 3050 静压力求闸门一侧所受的水的米高出水面 如果闸门顶部米高为米米和分别为 梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门 静压力求闸门一侧所受的水的米高出水面 如果闸门顶部米高为米米和分别为 梯形的上下底如