南京航空航天大学《高等数学》118正弦级数和余弦级数.pdf

奇函数和偶函数的傅里叶级数奇函数和偶函数的傅里叶级数 函数展开成正弦级数或余弦级数函数展开成正弦级数或余弦级数 一 奇函数和偶函数的傅里叶级数一 奇函数和偶函数的傅里叶级数 1 当周期为 1 当周期为 2的奇函数的奇函数 xf展开成傅里 叶级数时 它的傅里叶系数为 展开成傅里 叶级数时 它的傅里叶系数为 2 1 sin 2 2 1 0 0 0 nnxdxxfb na n n 定理定理 一般说来一般说来 一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项 一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项 又含有余弦项又含有余弦项 但是但是 也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 2 当周期为 2 当周期为 2的偶函数的偶函数 xf展开成傅里叶级 数时 它的傅里叶系数为 展开成傅里叶级 数时 它的傅里叶系数为 2 1 0 2 1 0 cos 2 0 nb nnxdxxfa n n 证明证明 1 是奇函数设是奇函数设xf nxdxxfancos 1 0 3 2 1 0 n 奇函数奇函数 0 sin 2 nxdxxf 3 2 1 n 同理可证同理可证 2 定义定义 如果 如果 xf为奇函数 傅氏级数为奇函数 傅氏级数nxb n n sin 1 称为称为正弦级数 正弦级数 如果如果 xf为偶函数 傅氏级数为偶函数 傅氏级数nxa a n n cos 21 0 称为称为余弦级数 余弦级数 nxdxxfbnsin 1 偶函数偶函数 定理证毕定理证毕 例 1例 1 设设 xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数 它在它在 上的表达式为上的表达式为xxf 将将 xf展开展开成成 傅氏级数傅氏级数 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件 2 1 0 12 处不连续在点处不连续在点 kkx 2 0 0 ff 收敛于收敛于 2 0 12 xfkxx处收敛于在连续点处收敛于在连续点 2 2 3 3 x y 0 2 12 为周期的奇函数是以时 为周期的奇函数是以时 xfkx 和函数图象和函数图象 2 1 0 0 nan 0 sin 2 nxdxxfbn 0 sin 2 nxdxx 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 2 1 n n 2 1 n 3sin 3 1 2sin 2 1 sin2 xxxxf sin 1 2 1 1 n n nx n 3 xx 5sin 5 1 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 sin2xxxxxy xy 观 察 两 函 数 图 形 观 察 两 函 数 图 形 例 2 例 2 将周期函数将周期函数tEtusin 展开成傅氏级数 其中 展开成傅氏级数 其中E是正常数 是正常数 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件 在整个 数轴上连续 在整个 数轴上连续 为偶函数为偶函数tu 0 解解 n b 0 0 2 dttua t tu 0 2 2 E 0 sin 2 tdtE 4 E 2 1 n 0 cos 2 ntdttuan 0 cossin 2 ntdttE 0 1sin 1 sin dttntn E 12 0 2 1 2 4 2 kn kn k E 当 当 当 当 2 1 k 0 1 1cos 1 1cos n tn n tnE 1 n 01 cos 2 tdttua 0 cossin 2 tdttE 0 6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 4 ttt E tu x 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE 二 函数展开成正弦级数或余弦级数二 函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓 2 0 xF xf 函数 为周期的延拓成以上定义在设 函数 为周期的延拓成以上定义在设 0 0 xxg xxf xF令令 2 xFxF 且且 则有如下两种情况则有如下两种情况 偶延拓 奇延拓 偶延拓 奇延拓 奇延拓奇延拓 xfxg 0 00 0 xxf x xxf xF则则 x y 0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数 xf 1 sin n n nxbxf 0 x 偶延拓偶延拓 xfxg 0 0 xxf xxf xF则 的傅氏余弦级数 则 的傅氏余弦级数 xf 1 0 cos 2 n n nxa a xf 0 x x y 0 例 3例 3 将函数 将函数 0 1 xxxf分别展开成 正弦级数和余弦级数 分别展开成 正弦级数和余弦级数 解解 1 求正弦级数 1 求正弦级数 进行奇延拓对进行奇延拓对xf 0 sin 2 nxdxxfbn 0 sin 1 2 nxdxx coscos1 2 nn n 6 4 2 2 5 3 1 22 n n n n 当 当 当 当 3sin 2 3 1 2sin 2 sin 2 2 1 xxxx 0 x 1 xy 5sin 2 5 1 4sin 4 3sin 2 3 1 2sin 2 sin 2 2 1xxxxxx 2 求余弦级数 2 求余弦级数 进行偶延拓对进行偶延拓对xf 0 0 1 2 dxxa 2 0 cos 1 2 nxdxxan 1 cos 2 2 n n 5 3 1 4 6 4 20 2 n n n 当 当 当 当 5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 1 2 1 22 xxxx 0 x 1 xy 7cos 7 1 5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 1 2 1 222 xxxxx 小结小结 1 基本内容 基本内容 奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数 正弦级数与余 弦级数 正弦级数与余 弦级数 非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓 2 需澄清的几个问题 需澄清的几个问题 误认为以下三情况正确