南京航空航天大学《高等数学》13数列的极限.pdf

1 概念的引入概念的引入 数列的定义数列的定义 数列的极限数列的极限 数列极限的性质数列极限的性质 2 割之弥细 所 失弥少 割之又 割 以至于不可 割 则与圆周合 体而无所失矣 割之弥细 所 失弥少 割之又 割 以至于不可 割 则与圆周合 体而无所失矣 1 割圆术 1 割圆术 刘徽刘徽 一 概念的引入一 概念的引入 S S 3 4 R 正六边形的面积正六边形的面积 1 A 正十二边形的面积正十二边形的面积 2 A 正形的面积正形的面积 1 26 n n A 321n AAAA S 26 2 1r sinr23A 1n 2 1n n 5 2 截丈问题 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 一尺之棰 日截其半 万世不竭 2 1 1 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为 2 1 2 1 2 2 X为第二天截下的杖长总和为第二天截下的杖长总和 2 1 2 1 2 1 2n n Xn 天截下的杖长总和为第 天截下的杖长总和为第 n n X 2 1 1 1 6 定义定义 按自然数按自然数 3 2 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 21n xxx 1 称为无穷数列称为无穷数列 简称数列简称数列 其中的每个数称为数其中的每个数称为数 列的项列的项 n x称为通项称为通项 一般项一般项 数列数列 1 记为记为 n x 例如例如 2 8 4 2 n 2 1 8 1 4 1 2 1 n 2 n 2 1 n 二 数列的定义二 数列的定义 1 1 1 1 1 n 1 1 n 7 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 动点在数轴上依次取 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 动点在数轴上依次取 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 数列是整标函数数列是整标函数 nfx n 1 3 4 2 1 2 1 n n n 1 1 n n n 333 33 3 f n 具有函数的一些性质 如单调性xf n 具有函数的一些性质 如单调性xn 1 n 1 x xn n 有界性 x有界性 xn n M 等 M 等 注注 8 1 1 1 时的变化趋势当观察数列 时的变化趋势当观察数列 n n n 三 数列的极限三 数列的极限 9 n 19n 32 n 42 n 50 10 问题问题 1 当当 n 无限增大时无限增大时 x n 是否无限接近于 某一确定的数值 是否无限接近于 某一确定的数值 如果是如果是 如何确定如何确定 2 无限接近无限接近 意味着什么意味着什么 如何用数学语 言刻划它 如何用数学语 言刻划它 1 1 1 1 无限接近于无限增大时当无限接近于无限增大时当 n xn n n 通过演示实验的观察通过演示实验的观察 11 1 n x nn n 11 1 1 随着随着n的增加 的增加 1 n会越来越小 例如会越来越小 例如 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的 距离距离 来刻化两个数的来刻化两个数的 接近程度接近程度 1 1 1 1 n n 100 1 给定 给定 100 11 时只要 n 100 1 1 时只要 n 1000 1 1 n x有有 1000 1 给定 给定 10000 1 1 时只要 n 10000 1 给定 给定 12 0 给定 给定 1 时只要时只要 Nn 1成立有成立有 确保 时的一切时的一切 n x 不等式 不等式 axn都成立 那末就称常数都成立 那末就称常数a是数列是数列 n x的极限 或者称数列的极限 或者称数列 n x收敛于收敛于a 记为 记为 limaxn n 或 或 naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限 就说数列是发散的就说数列是发散的 的无限接近与刻划了不等式的无限接近与刻划了不等式axax nn 定义定义N 其中其中 每一个或任给的 每一个或任给的 至少有一个或存在至少有一个或存在 0 0 lim axNnN ax n n n 恒有时使恒有时使 15 数列极限的定义未给出求极限的方法 我们 可以用定义来证明极限的存在 数列极限的定义未给出求极限的方法 我们 可以用定义来证明极限的存在 例1例1 1 1 lim 1 n n n n 证明证明 证证 1 n x 1 1 1 n n n n 1 0 任给 任给 1 n x要要 1 1 1 1 n n n 就有就有 1 1 lim 1 n n n n 即即 1 n x就有就有 16 例2例2 lim CxCCx n n n 证明为常数设证明为常数设 证证 Cxn CC 成立 成立 任给任给 所以 所以 0 n对于一切自然数对于一切自然数 limCxn n 说明 说明 常数列的极限等于同一常数 常数列的极限等于同一常数 注注 用定义证明数列极限存在时 关键是 从主要不等式出发 由 0 找到使主要 不等式成立的N 并不在乎N是否最小 用定义证明数列极限存在时 关键是 从主要不等式出发 由 0 找到使主要 不等式成立的N 并不在乎N是否最小 17 例3例3 1 0lim 任给 任给 0 n n qx要要 lnln 0 n q就有就有 0lim n n q 0 q若若 00limlim n n n q则则 10 即 即 18 例4例4 lim 0lim 0 ax axx n n n n n 求证 且设 求证 且设 证证 0 任给任给 limaxn n 故故 limaxn n aaxNnN n 时恒有使得当时恒有使得当 ax ax ax n n n 从而有 从而有 a axn a a 19 1 有界性有界性 定义定义 对数列对数列 n x 若存在正数若存在正数M 使得一切自 然数 使得一切自 然数n 恒有恒有Mxn 成立成立 则称数列则称数列 n x有界有界 否则否则 称为无界称为无界 例如 例如 1n n xn 数列 数列 n n 2y 数列 数列 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 n x都落在闭区间都落在闭区间 MM 上上 有界 无界 有界 无界 四 四 数列极限的性质数列极限的性质 20 定理1 收敛的数列必定有界 定理1 收敛的数列必定有界 证证 limaxn n 设设由定义由定义 1 取取 1 axNnN n 时恒有使得当则时恒有使得当则 11 1 axNn n 时恒有当时恒有当 2 bxNn n 时恒有当时恒有当 max 21 NNN 取取 时有则当时有则当Nn axbxba nn axbx nn 2 时才能成立上式仅当时才能成立上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一 22 例例5 1 1 是发散的证明数列是发散的证明数列 n n x 证证 limaxn n 设设由定义由定义 2 1 对于 对于 2 1 成立有时使得当则 成立有时使得当则 axNnN n 2 1 2 1 aaxNn n 时即当时即当区间长度为区间长度为1 1 1两个数无休止地反复取而两个数无休止地反复取而 n x 不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内 但却发散是有界的事实上但却发散是有界的事实上 n x 23 数列 数列 研究其变化规律研究其变化规律 数列极限 数列极限 极限思想极限思想 精确定义精确定义 几何意义几何意义 收敛数列的性质 收敛数列的性质 有界性唯一性有界性唯一性 五 小结五 小结 24 思考思考指出下列证明指出下列证明1lim n n n中的错误 中的错误 证明证明要使要使 1 n n只要使只要使 1ln ln 1 n n 从而由从而由 2ln 1ln ln 1ln 1 取取 1 1ln 2ln N 当时 必有成立当时 必有成立Nn 10 n n 1lim n n n 25